深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)，精心選取課程內(nèi)容

李樹臣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》提出了五條“課程基本理念”，并且對教材編寫提出了“科學(xué)性、整體性、過程性、現(xiàn)實(shí)性、彈性和可讀性”的具體建議。這些理念建議從宏觀上體現(xiàn)了國家的意志，具有強(qiáng)制性和規(guī)范性，是我們進(jìn)行教材編寫、教學(xué)改革必須遵循的總原則。本文以青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七—九年級）為例，就課程內(nèi)容選取的主要原則介紹如下：

1整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心

《課標(biāo)（2011年版）》針對“課程內(nèi)容”指出，“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識?！笨梢?，這十個(gè)關(guān)鍵詞應(yīng)成為課程內(nèi)容的核心，課程內(nèi)容的選取要突出它們的核心地位，以其為主線進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。

例如，模型思想是指把現(xiàn)實(shí)世界中有待解決或未解決的問題，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，并綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求得解決的一種數(shù)學(xué)思想和方法。青島版教科書十分注重對模型思想的滲透，可以說滲透模型思想的意識幾乎體現(xiàn)在教科書的每一個(gè)章節(jié)里。數(shù)學(xué)中的各種基本概念、法則、知識等，都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的。如正、負(fù)數(shù)是表示“具有相反意義的量”的數(shù)學(xué)模型；有理數(shù)的加法法則是借助于數(shù)軸模型探索得到的；分式是表示兩個(gè)整式相除的數(shù)學(xué)模型；方程及不等式都是在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一個(gè)數(shù)學(xué)模型；函數(shù)是表示兩個(gè)集合之間對應(yīng)關(guān)系的一個(gè)數(shù)學(xué)模型；三角形全等是描述圖形重合的數(shù)學(xué)模型；相似形則是表示形狀相同的數(shù)學(xué)模型；400個(gè)同學(xué)的學(xué)校里一定有兩個(gè)同學(xué)是同一天出生的數(shù)學(xué)模型叫做抽貼原理；轉(zhuǎn)盤游戲的評判與設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于建立概率模型；測量不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離，就是通過建立全等或相似三角形的模型加以解決的典型例子……?？梢姡瑪?shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上就是教給學(xué)生前人構(gòu)建的一個(gè)一個(gè)的數(shù)學(xué)模型，并逐步形成模型思想的過程。

2突出科學(xué)性，反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)

《課標(biāo)（2011年版）》明確指出：“科學(xué)性是對教材編寫的基本要求。教材一方面要符合數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，另一方面要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律?！蔽覀冊诰帉懬鄭u版教科書時(shí)，始終把準(zhǔn)確理解《課標(biāo)（2011年版）》的精神、全面體現(xiàn)其基本理念和具體落實(shí)它的各項(xiàng)目標(biāo)作為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，所選課程內(nèi)容都是與數(shù)學(xué)有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的、符合學(xué)生認(rèn)知水平和年齡特點(diǎn)的素材，這些材料能幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，提高對數(shù)學(xué)的興趣。

案例1：零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的建立過程（七（下））。

零指數(shù)冪是在學(xué)生學(xué)過的正整數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上，對指數(shù)范圍進(jìn)行的第一次擴(kuò)充。教科書巧妙地把一則國際象棋發(fā)名者的數(shù)學(xué)故事作為情境。通過表格形式，引導(dǎo)學(xué)生利用正整數(shù)指數(shù)冪，發(fā)現(xiàn)棋盤中從第2個(gè)方格開始，各個(gè)方格中麥粒數(shù)目的排列規(guī)律，然后提出挑戰(zhàn)性問題：能把棋盤中第1格中的麥粒數(shù)寫成底數(shù)是2的冪的形式嗎？啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想。教科書又通過卡通人物的對話，說出學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知的喜悅和隨之而來的困惑：“20=1，這在數(shù)學(xué)上合理嗎？”從而轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)自身對零指數(shù)冪產(chǎn)生背景的探索：在同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)中，被除式指數(shù)與除式指數(shù)大小限制如果放寬，即在除式am÷an=am-n中，允許m=n，將會(huì)得出a0=1（a≠0）的結(jié)果。經(jīng)歷這一過程，學(xué)生不僅可以了解數(shù)學(xué)上指數(shù)概念是怎樣擴(kuò)充的，掌握有關(guān)的知識技能，而且還能感受零指數(shù)冪意義“規(guī)定”的合理性。

負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的引進(jìn)是在將指數(shù)范圍擴(kuò)充到自然數(shù)范圍后，指數(shù)范圍的又一次擴(kuò)充。教科書先從2的正整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的意義出發(fā)，利用動(dòng)點(diǎn)從數(shù)軸上原點(diǎn)的右側(cè)向原點(diǎn)跳動(dòng)的背景，從動(dòng)點(diǎn)依次落在數(shù)軸上的點(diǎn)23=8，22=4，21=2，20=1，引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繼續(xù)跳動(dòng)時(shí)將會(huì)出現(xiàn)2-1，2-2，2-3，…的情況，并且依照上面跳動(dòng)的規(guī)律將會(huì)得到2-1=112，2-2=114，2-3=118，…的結(jié)果，由此引出負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義；然后借助學(xué)習(xí)零指數(shù)冪所獲得的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)擴(kuò)大同底數(shù)冪的除法中對被除式指數(shù)不小于除式指數(shù)的限制，從而對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”。

最后再通過具體的驗(yàn)證，讓學(xué)生體會(huì)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪意義的“規(guī)定”與原有的冪的運(yùn)算性質(zhì)是無矛盾的，從而完成指數(shù)概念和運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)展。

3貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)中的許多知識點(diǎn)都有“生活”基礎(chǔ)。因此，《課標(biāo)（2011年版）》要求“素材的選用應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些素材應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能的貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法的過程?！边@里的現(xiàn)實(shí)，主要包括生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科的現(xiàn)實(shí)。

青島版教科書中的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、性質(zhì)等，都是以各種各樣的現(xiàn)實(shí)問題作為情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考、操作、探究發(fā)現(xiàn)的。這樣的素材可使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)就在自己的身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味和作用、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力，逐步樹立起“數(shù)學(xué)生活化”、“生活即數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)，真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)問題生活化”的目的。

案例2：抽樣調(diào)查概念的形成過程（七（上））。

普查和抽樣調(diào)查是兩種不同的調(diào)查方式，運(yùn)用普查可以獲得準(zhǔn)確全面的數(shù)據(jù)資料。然而對于許多問題，沒有必要甚至也不可能得到與問題有關(guān)的所有數(shù)據(jù)，這時(shí)應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，為了引出這個(gè)概念，青島版教科書是用以下三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析與思考的：

（1）某部門要調(diào)查全省七年級學(xué)生每周課外活動(dòng)的時(shí)間；

（2）質(zhì)量監(jiān)督部門要檢測某種品牌的復(fù)合木地板的耐磨程度；

（3）河務(wù)部門要了解7月份流經(jīng)某水文站的黃河河水的泥沙含量。endprint

顯然這些問題都是與學(xué)生的生活實(shí)際有關(guān)的，它們說明：問題（1）中的學(xué)生人數(shù)多，如果采用普查的方法，要耗費(fèi)大量人力物力和財(cái)力，并且這種調(diào)查的結(jié)果也不需要準(zhǔn)確值；問題（2）中如果采用普查的方法，需要對該品牌的每塊地板都進(jìn)行試驗(yàn)，這種試驗(yàn)是破壞性的；問題（3）中，不可能將7月份流經(jīng)該地的黃河水全部封存，然后讓泥沙沉淀，再測出泥沙的質(zhì)量。因此，問題（1）（2）（3）不能通過普查來收集數(shù)據(jù)。這時(shí)，引出抽樣調(diào)查概念恰到好處。這樣的生活素材能讓學(xué)生體會(huì)到引進(jìn)抽樣調(diào)查的必要性，幫助學(xué)生理解抽樣調(diào)查的意義，也說明了數(shù)學(xué)的發(fā)展是為了解決生活、生產(chǎn)中實(shí)際問題的需要。

4體現(xiàn)螺旋式上升的原則

《課標(biāo)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的?！薄敖滩脑诔尸F(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與思想方法時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級推進(jìn)、螺旋上升的原則”。

案例3：函數(shù)概念的形成與發(fā)展。

函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的一個(gè)重要模型，也是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容。在傳統(tǒng)的教科書中，代數(shù)式與函數(shù)的知識都是分別獨(dú)立出現(xiàn)的，并且函數(shù)概念出現(xiàn)的較晚。國際數(shù)學(xué)課程改革的研究和實(shí)踐表明，對變化規(guī)律的探索、描述應(yīng)從低年級非正式的開始，早期讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)的形成與變化過程對其發(fā)展是十分重要的。

青島版教科書對函數(shù)的處理安排就吸收了最新的研究成果，采取了“提前滲透、分層推進(jìn)、及時(shí)穿插、不斷深化”的編排方式，具體說來，對函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)是分三個(gè)階段完成的：

第一階段安排在七（上），初步感受函數(shù)概念：主要內(nèi)容是結(jié)合代數(shù)式的學(xué)習(xí)及早給出函數(shù)概念。鑒于代數(shù)式與函數(shù)知識存在著內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)，我們利用這一關(guān)聯(lián)，在學(xué)生學(xué)習(xí)完求代數(shù)式的值后，通過一些具體例子讓他們感受到當(dāng)代數(shù)式中字母的取值發(fā)生變化時(shí)代數(shù)式的值也相應(yīng)發(fā)生變化，并適時(shí)給出變量與函數(shù)的概念。

第二階段安排在八（下），函數(shù)知識的理解與應(yīng)用階段：主要內(nèi)容有一次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及利用一次函數(shù)圖象解二元一次方程組及一元一次不等式。本階段首次經(jīng)歷用初等方法研究函數(shù)的過程，如用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，以及通過圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)使學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合思想，并體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程、一元一次不等式的聯(lián)系，從而對函數(shù)有進(jìn)一步的認(rèn)識。

第三階段安排在九（下），主要是深化對函數(shù)的認(rèn)識：在“對函數(shù)的再探索”中，學(xué)生將在已有認(rèn)識的基礎(chǔ)上，從函數(shù)的自變量取值范圍和對應(yīng)這兩個(gè)要素深化對函數(shù)概念的認(rèn)識。這里再次給出的函數(shù)定義比七（上）給出的定義進(jìn)了一步，更加接近函數(shù)的近代定義。本階段，學(xué)生將再次利用初等方法研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，進(jìn)一步獲取用初等方法研究函數(shù)的體驗(yàn)，為高中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)打下必要的基礎(chǔ)。

5注重知識的形成和應(yīng)用過程

《課標(biāo)（2011年版）》提出“課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系?！苯滩牡木帉憫?yīng)根據(jù)課程內(nèi)容，盡量體現(xiàn)知識的形成過程和應(yīng)用過程。

5。1體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程

青島版教科書在設(shè)計(jì)一些新知識的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，注意展現(xiàn)“知識背景——知識形成——揭示聯(lián)系”的過程，對于一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)不能直接向?qū)W生作簡單的介紹，而是結(jié)合具體的知識點(diǎn)，精選恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材，設(shè)計(jì)必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流與反思的過程中，以已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)進(jìn)行積極“和諧”的建構(gòu)過程，從而把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容正確地納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

案例4：加法交換律和結(jié)合律的學(xué)習(xí)（七（上））

教科書直接用“觀察與思考”欄目提出了下面兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考、歸納等活動(dòng)。

（1）分別計(jì)算下面的算式，比較每組中兩個(gè)加數(shù)的位置和運(yùn)算結(jié)果。你能得出什么結(jié)論？

①（-8）+（+5）=；

（+5）+（-8）=；

②（-3。5）+（-4。3）=；

（-4。3）+（-3。5）=。

再任取兩個(gè)數(shù)相加，并交換加數(shù)的位置，還能得出同樣的結(jié)論嗎？

（2）任意取三個(gè)有理數(shù)a，b，c，如a=-2，b=5，c=-8，分別計(jì)算（a+b）+c與a+（b+c），比較兩個(gè)算式的運(yùn)算順序及運(yùn)算結(jié)果。你發(fā)現(xiàn)了什么？再換三個(gè)數(shù)試一試，你能得到什么結(jié)論？與同學(xué)交流。

第（1）個(gè)問題是為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納加法交換律的。教材安排這兩組題目的目的是讓學(xué)生通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)每組中兩個(gè)加數(shù)的位置雖然不同，但結(jié)果是一樣的。“再任取兩個(gè)數(shù)相加，并交換加數(shù)的位置，還能得出同樣的結(jié)論嗎？”，是為了歸納的需要，這里“任取”二字很重要，是由特殊到一般的過程。在學(xué)生完成以上問題后，學(xué)生已經(jīng)意識到加法交換律在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然是適用的。教材適時(shí)給出了加法交換律，并給出了字母表示。學(xué)生借助探究加法交換律的經(jīng)驗(yàn)，不難對問題（2）作出回答，并得到加法結(jié)合律。

從這兩個(gè)法則的歸納過程看，該設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的活動(dòng)，這樣做既尊重了學(xué)生的個(gè)性，又促進(jìn)了學(xué)生的發(fā)展。教科書中的許多知識都是用類似這樣的形式呈現(xiàn)的，這樣處理，將有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思考能力，并逐漸形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

5。2反映數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的是利用數(shù)學(xué)知識解答所遇到的實(shí)際問題，在解答這些問題的過程中，形成并發(fā)展同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看待問題的習(xí)慣。教材的編寫應(yīng)精心設(shè)計(jì)能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動(dòng)，這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的要求。

青島版教科書對于所有的教學(xué)內(nèi)容，在引導(dǎo)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)得到新的數(shù)學(xué)知識后，都設(shè)計(jì)了運(yùn)用新知識解決問題的活動(dòng)。另外，還精心設(shè)計(jì)了綜合與實(shí)踐活動(dòng)。一方面在學(xué)習(xí)了相關(guān)的知識后，就安排一些能利用這些知識進(jìn)行的簡單實(shí)踐活動(dòng)，如學(xué)習(xí)了普查和抽樣調(diào)查的知識后，安排學(xué)生上網(wǎng)查詢第六次全國人口普查的有關(guān)資料；學(xué)習(xí)了三角形全等的知識后，設(shè)計(jì)了如何測量不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離；學(xué)習(xí)了解直角三角形的知識后，引導(dǎo)學(xué)生測量某建筑物的高度等。類似這樣的實(shí)踐活動(dòng)，教科書都會(huì)結(jié)合“恰當(dāng)”的知識點(diǎn)及時(shí)安排學(xué)生去做。另一方面還在每一冊教科書中設(shè)計(jì)了一個(gè)（九（下）兩個(gè)）適用于“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動(dòng)的題材，這樣的題目以“長作業(yè)”的形式出現(xiàn)，目的是以此將課堂內(nèi)的數(shù)學(xué)活動(dòng)延伸到課堂外，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、查閱資料、獨(dú)立思考、合作交流、實(shí)踐檢驗(yàn)、推理論證等多種形式的活動(dòng)。

6突出知識之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系

《課標(biāo)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性”，指出“教材的整體設(shè)計(jì)要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。一些數(shù)學(xué)知識之間存在邏輯順序，教材編寫應(yīng)有利于學(xué)生感悟這種順序。”我們知道，很多數(shù)學(xué)知識之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系既體現(xiàn)在《課標(biāo)（2011年版）》界定的“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“綜合與實(shí)踐”四個(gè)方面中的某一個(gè)方面內(nèi)部，也體現(xiàn)在四個(gè)方面之間。

例如，我們將“勾股定理”和“數(shù)的開方”合為“實(shí)數(shù)”一章。這種處理方式是符合數(shù)學(xué)史實(shí)的。由《課標(biāo)（2011年版）》可知，勾股定理和無理數(shù)分別是“圖形與幾何”和“數(shù)與代數(shù)”兩個(gè)方面的核心內(nèi)容，它們分別代表著“形”和“數(shù)”。從科學(xué)發(fā)展史來看，二者是并存發(fā)展的，硬把它們分開處理既不符合史實(shí)，教學(xué)中也不好處理。如2、3等無理數(shù)是伴隨著勾股定理的發(fā)現(xiàn)而誕生的，所以說無理數(shù)使得勾股定理對于邊長是任意正數(shù)的直角三角形都能成立，反過來，勾股定理使得無理數(shù)有了明確直觀的幾何解釋。

可見，這種安排是還實(shí)數(shù)（勾股定理）到其應(yīng)在的“位置”之中。二者合為一體，揭示了他們之間本來固有的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性和文化價(jià)值。除此之外，這種整體設(shè)計(jì)方式不僅解決了傳統(tǒng)教材中將二者分設(shè)后，究竟先安排勾股定理再安排無理數(shù)，還是先安排無理數(shù)再安排勾股定理的矛盾。還突出了對數(shù)形結(jié)合思想的滲透。

編寫教科書所遵循的原則還有許多，如重視實(shí)驗(yàn)活動(dòng)、充分利用信息技術(shù)等。我們這里陳述的僅是主要原則。希望教師們深入研究《課標(biāo)（2011年版）》及相關(guān)的材料，加強(qiáng)交流，不斷吸收國內(nèi)外對課程研究的新成果，努力為我國的課程建設(shè)作出自己的貢獻(xiàn)。endprint