IFOC感應(yīng)電動機分岔混沌的單雙時滯反饋控制

王東東， 陸益民， 張波

(1.華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣東廣州510641;2.廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西南寧530004)

0 引言

基于間接磁場定向控制(indirect field－oriented control，IFOC)的感應(yīng)電動機系統(tǒng)由于動態(tài)性能優(yōu)越而在實際中廣為應(yīng)用，然而因轉(zhuǎn)子電氣時間常數(shù)估計誤差的存在，使系統(tǒng)容易產(chǎn)生不規(guī)則振蕩現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)的運行性能。文獻［1－2］研究了IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)的Hopf分岔及其在不同PI調(diào)節(jié)器參數(shù)情況下的分岔特性，從定量分析的角度對感應(yīng)電動機的Hopf分岔條件進行了理論推導(dǎo)，獲得Hopf分岔的解析表達式。文獻［3－4］通過對感應(yīng)電動機系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，得到了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的參數(shù)范圍。

自1990年混沌控制的思想提出以來，混沌控制的研究逐漸成為熱門的研究領(lǐng)域，其中時滯反饋控制簡單可操作，只需加入適當(dāng)?shù)难舆t即可實現(xiàn)混沌振蕩的有效控制。Michiels等人分析了時滯反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用時滯反饋對Lorenz系統(tǒng)進行混沌控制［5］。文獻［6］中，利用單時滯反饋對IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)進行Hopf分岔振蕩的抑制［6］。文獻［7］中對幾種變時滯反饋控制進行穩(wěn)定性分析，推導(dǎo)出穩(wěn)定性條件［7］。文獻［8］中研究了IFOC感應(yīng)電動機中的混沌現(xiàn)象，采用0－1混沌判別法對混沌區(qū)域進行量化［8］。文獻［9］中研究討論了IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)的混沌同步控制［9］。文獻［10］中利用龐加萊截面等技術(shù)分析了IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象并進行了實驗驗證，證實在實際的感應(yīng)電機系統(tǒng)中混沌振蕩的存在性［10］。在IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)中，由于轉(zhuǎn)子電氣時間常數(shù)估計不準(zhǔn)確從而導(dǎo)致系統(tǒng)在輕載或空載時原有PI控制器失效，使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性而產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。本文首先對IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)進行分岔分析，由分岔圖獲取其動力學(xué)特性從而得知，系統(tǒng)可以經(jīng)由倍周期分岔進入混沌態(tài)，并產(chǎn)生不規(guī)則振蕩。為抑制這種振蕩，通過在IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)中加入時滯控制項從而實現(xiàn)對感應(yīng)電動機系統(tǒng)的混沌抑制，使系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行，同時分析了延遲控制作用下系統(tǒng)的分岔行為，從分岔圖和最大李雅普努夫指數(shù)中給出合適的控制器參數(shù)的選擇范圍。

1 IFOC感應(yīng)電動機分岔混沌行為

假定感應(yīng)電動機系統(tǒng)由電流逆變器供電，控制量為電流，則系統(tǒng)在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的狀態(tài)方程為［1－2］

其中:δ=npLm/Lr;ψrd，ψrq和 ωr分別為轉(zhuǎn)子d、q 軸磁鏈和電氣角速度;isd、isq為定子d、q軸電流;Tr=Lr/Rr為轉(zhuǎn)子電氣時間常數(shù);Lr為轉(zhuǎn)子自感;Rr為轉(zhuǎn)子電阻;np為極對數(shù);ωe=－ωr轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與給定值的誤差。上標(biāo)“*”表示相應(yīng)變量的給定值。Lm為定轉(zhuǎn)子互感;TL為負載轉(zhuǎn)矩;J為電機轉(zhuǎn)子和聯(lián)接負載的轉(zhuǎn)動慣量;D為粘滯摩擦系數(shù)。根據(jù)文獻［3－4，10］可知在IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)中的粘滯摩擦系數(shù)數(shù)值通常較小，為單獨研究轉(zhuǎn)子電氣時間常數(shù)對感應(yīng)電動機系統(tǒng)穩(wěn)定新的影響，文中粘滯摩擦系數(shù)均取為0。

系統(tǒng)(1)的平衡點為［2］

其中，γ由方程(3)確定，即

其中

電磁轉(zhuǎn)矩Te=TL+D/np。由式(2)可以看出系統(tǒng)平衡點第三個分量為0。根據(jù)文獻［3－4］，感應(yīng)電動機系統(tǒng)參數(shù)取為:Lm=69 mH;Lr=71 mH;J==np/Tr。系統(tǒng)分岔圖如圖1所示，從圖1(a)中可以看出當(dāng)取負載TL為分岔參數(shù)時，隨著負載TL數(shù)值的不斷增加，轉(zhuǎn)子直軸磁場由周期1→周期2，…，混沌，即歷經(jīng)倍周期分岔進入混沌態(tài)，并經(jīng)歷若干個周期窗口，最后由倒分岔退出混沌并進入穩(wěn)態(tài)，從分岔圖中可以較為清晰地觀察到IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)的周期數(shù)，即轉(zhuǎn)子直軸磁場時間響應(yīng)的周期數(shù)目。當(dāng)np=1，負載TL取不同數(shù)值時，感應(yīng)電動機系統(tǒng)在相圖上的周期數(shù)表現(xiàn)為1，2，4，如圖2所示。圖3為感應(yīng)電動機系統(tǒng)的典型混沌吸引子。圖4為np=1，2時的最大李雅普諾夫指數(shù)圖，它與分岔圖中的混沌區(qū)域相對應(yīng)。

圖1 ψrd的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of ψrd

圖2 np=1時的相軌跡Fig.2 Phase trajectories for np=1

圖4 最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.4 Largest Lyapunov exponent

2 分岔混沌的時滯反饋抑制

假定有一非線性混沌系統(tǒng)

將系統(tǒng)(5)在平衡點x*=(x1，x2，…，xn)處進行線性化，則系統(tǒng)變?yōu)?/p>

在其中加入時滯控制項

那么，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

其中，τ(t)=τ0+εf(Ωt)，f:R →［－1，1］是一個周期2π 的函數(shù)，ε ＜ τ0，取一可積函數(shù) w:［－1，1］→ R+由下式定義

對于每一個連續(xù)函數(shù)都有α:［－1，1］→ R。

如果有系統(tǒng)

是漸進穩(wěn)定的，那么，系統(tǒng)(7)是全局一致漸進穩(wěn)定的。它的特征方程為

其中，

假定系統(tǒng)(8)的最右特征值是簡單的且在虛軸上，且記為 jωi，i=1，m。如果

那么，當(dāng)ε值較小時，系統(tǒng)(8)是漸進穩(wěn)定的［4］。文中，將延遲時間取為常數(shù)，即取ε=0。

當(dāng)IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩時，將時滯反饋項式(7)(單時滯)加入系統(tǒng)(1)狀態(tài)方程的第四項，則得時滯狀態(tài)方程為

當(dāng)kτ=10，TL=0.35 N·m時，感應(yīng)電動機系統(tǒng)隨τ變化的分岔圖如圖5所示。

在系統(tǒng)進入混沌態(tài)第10 s加入時滯控制項，系統(tǒng)時間響應(yīng)如圖6，控制器參數(shù)可由分岔圖穩(wěn)態(tài)區(qū)域中選取。由圖6可見混沌現(xiàn)象消失，暫態(tài)時間如表1所示。

表1 暫態(tài)性能Table 1 Transient performance

對于雙時滯情形，即將時滯反饋項加入狀態(tài)方程第三、第四項，可得

圖5 單時滯反饋系統(tǒng)分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of the single time-delayed feedback

圖6 單時滯反饋時間響應(yīng)Fig.6 Time response of the single time-delayed feedback

為研究延遲反饋作用下反饋參數(shù)改變時IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)的動力學(xué)特性。當(dāng)kτ=10，TL=0.35 N·m時，繪制感應(yīng)電動機系統(tǒng)隨延遲時間τ變化的分岔圖如圖7所示，從圖中可以看出延遲控制項的增加使分岔圖中穩(wěn)態(tài)區(qū)域?qū)?yīng)的范圍略大，反應(yīng)了延遲控制項數(shù)目對延遲反饋控制作用的變化趨勢，即雙時滯控制使系統(tǒng)更易穩(wěn)定。

圖7 雙時滯反饋系統(tǒng)分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of the double time-delayed feedback

在系統(tǒng)進入混沌態(tài)第10 s加入時滯控制項，系統(tǒng)時間響應(yīng)如圖8，暫態(tài)時間如表1所示，混沌振蕩隨控制項的引入而消失，系統(tǒng)進入平衡狀態(tài)。由單時滯和雙時滯的分岔圖及時間響應(yīng)圖可以看出，雙時滯穩(wěn)定參數(shù)范圍略大，且過渡過程變短，具有更快的響應(yīng)速度。

圖8 雙時滯反饋時間響應(yīng)Fig.8 Time response of the double time-delayed feedback

4 結(jié)論

間接磁場定向感應(yīng)電動機在轉(zhuǎn)子電氣時間常數(shù)的估計值出現(xiàn)誤差時，將可能引起閉環(huán)系統(tǒng)失去穩(wěn)定性，導(dǎo)致原有PI控制器失效，從而產(chǎn)生不規(guī)則振蕩現(xiàn)象，利用分岔圖該系統(tǒng)進行分岔分析，可知系統(tǒng)在不同負載參數(shù)下可由倍周期分岔的途徑進入混沌態(tài)，使得感應(yīng)電動機系統(tǒng)失去穩(wěn)定性進而產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象。因此，本文利用簡單的時滯反饋控制對這種混沌振蕩進行抑制，采用分岔圖分析延遲反饋控制項對感應(yīng)電動機系統(tǒng)的影響，表明不同極對數(shù)情況下，延遲時間增大時系統(tǒng)的動力學(xué)現(xiàn)象，并從中選取合適的控制參數(shù)以抑制混沌振蕩的出現(xiàn)，數(shù)值仿真結(jié)果證明這種方法是有效的。同時，文中對單時滯和雙時滯的控制效果進行量化對比，可知單時滯反饋即可使系統(tǒng)由混沌振蕩進入穩(wěn)態(tài)，極對數(shù)取不同數(shù)值時IFOC感應(yīng)電動機系統(tǒng)仍然能夠進入穩(wěn)態(tài)，若加入更強的雙時滯反饋控制項將使得系統(tǒng)的暫態(tài)時間變短，控制性能更加優(yōu)越，從而為實際應(yīng)用中感應(yīng)電動機系統(tǒng)不規(guī)則振蕩的抑制提供理論基礎(chǔ)。

［1］BAZANELLA A S，REGINATTO R.Robust tuning of the speed loop in indirect field oriented control of induction motors［J］.Automatica，2001，37(11):1811 －1818.

［2］GORDILLO F，SALAS F，ORTEGA R，ARACIL J.Hopf bifurcation in indirect field-oriented control of induction motors［J］，Automatica，2002，38(7):829 －835.

［3］陸益民，毛宗源，張波.感應(yīng)電動機間接磁場定向控制系統(tǒng)振蕩的功率譜分析［J］.機械工程學(xué)報.2004，40(12):5－9.LU Yimin，MAO Zongyuan，ZHANG Bo.Analysis oscillations in field oriented control of induction motor via power spectra［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering.2004，40(12):5－9.

［4］ZHANG Bo，LU Yimin，MAO Zongyuan.Bifurcations and chaos in indirect field-oriented control of induction motors［J］.Control Theory＆ Applications，2004，2(4)［J］:353－357.

［5］MICHIELS W，ASSCHE V V，NICULESCU S I.Stabilization of time-delay systems with a controlled time－varying delay and applications［J］.Automatic Control，2005，50(4):493 － 504.

［6］LU Yongyao，LI Hongmei and LI Wensheng，Hopf bifurcation and its control in an induction motor system with indirect field oriented control［C］//2009 Fourth Annual IEEE Industrial Electronics and Applications，May 25 －27，2009，Xi’an，China.2009:3438 －3441.

［7］GJURCHINOVSKI A，URUMOV V，Variable-delay feedback control of unstable steady states in retarded time-delayed systems［J］，Physical Review E.2010，81(1):016209 1 －12.

［8］WANG Dongdong，LU Yimin，HUANG Xianfeng.Chaos identification and suppression in an indirect field-oriented control of induction motor drive based on 0 －1 method［C］//2013 First Annual Applied Mechanics，Mechatronics and Intelligent System，Advanced Materials Research，April 19 － 21，Changsha，China，Switzerland:Trans Tech Publications，2013:194 －198.

［9］WANG Dongdong，LU Yimin.Chaos synchronization control of an indirect field-oriented induction motor［C］//2013 Second Annual International Conference on Energy and Environmental Protection，Advanced Materials Research，April 20 － 21，Guilin，China，Switzerland:Trans Tech Publications，2013:1097－1011.

［10］Zou G T，Wang Z，Cheng M.Chaotic Drives and Their Applications［M］，Beijing:Science Press，2009，chap.3.