關(guān)于一階電路時(shí)間常數(shù)求法的討論

田社平，張 峰

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院，上海200240)

一階電路的響應(yīng)由電路的初始狀態(tài)、電路激勵(lì)和電路的時(shí)間常數(shù)所決定，其中時(shí)間常數(shù)反映了一階電路的特性，即電路的響應(yīng)具有隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)形式［1］。對(duì)直流激勵(lì)的一階電路，采用三要素法求解響應(yīng)時(shí)，時(shí)間常數(shù)亦是三要素之一。盡管時(shí)間常數(shù)的定義非常簡(jiǎn)單，對(duì)RC 電路，時(shí)間常數(shù)τ=RC;對(duì)RL 電路，τ=L/R。但筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，隨著一階電路形式的不同，其時(shí)間常數(shù)的確定也有繁簡(jiǎn)之分，學(xué)生在計(jì)算時(shí)間常數(shù)時(shí)也常產(chǎn)生一些疑難之處。具體發(fā)生在:①一階電路由多個(gè)動(dòng)態(tài)元件和/或多個(gè)電阻元件構(gòu)成時(shí);②一階電路包括運(yùn)算放大器時(shí);③一階電路包括全耦合電感元件時(shí)的時(shí)間常數(shù)計(jì)算。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，試對(duì)上述問(wèn)題作一討論。

1 時(shí)間常數(shù)的一般求法

現(xiàn)在，我們介紹幾種確定時(shí)間常數(shù)的常見(jiàn)方法。

［方法1］如果列出的電路方程為

式中，x(t)和w(t)分別為電路電壓或電流變量和電路激勵(lì);τ 和a 為常數(shù)，τ 就是電路的時(shí)間常數(shù)，即時(shí)間常數(shù)等于一階電路方程特征根倒數(shù)的負(fù)值。這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)是比較直觀(guān)，缺點(diǎn)是必須列寫(xiě)電路方程，求解過(guò)程顯得較為復(fù)雜。

［方法2］當(dāng)一階電路僅包含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件(或雖包含若干個(gè)同類(lèi)型的動(dòng)態(tài)元件但這些動(dòng)態(tài)元件可等效為一個(gè)動(dòng)態(tài)元件)時(shí)，首先求出從動(dòng)態(tài)元件(或等效動(dòng)態(tài)元件)兩端看進(jìn)去的等效電阻，然后可利用τ=RC 或τ =L/R 計(jì)算出時(shí)間常數(shù)。這是一種比較簡(jiǎn)單的計(jì)算時(shí)間常數(shù)的方法，大多數(shù)一階電路的時(shí)間常數(shù)都可按該方法確定。

［方法3］從式(1)可以看出，一階電路的時(shí)間常數(shù)與電路的激勵(lì)無(wú)關(guān)。為方便起見(jiàn)，在求時(shí)間常數(shù)時(shí)可將電路的激勵(lì)(電壓源或電流源)置零，然后利用τ=RC 或τ=L/R 就可以計(jì)算出時(shí)間常數(shù)。

［方法4］時(shí)間常數(shù)等于一階電路固有頻率倒數(shù)的負(fù)值，因此如能求得電路的s 域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，則通過(guò)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)也可求得時(shí)間常數(shù)。

對(duì)于簡(jiǎn)單的一階電路，時(shí)間常數(shù)的確定可采用上述任一方法。當(dāng)一階電路具有較復(fù)雜的形式時(shí)，則上述方法的繁簡(jiǎn)程度有較大的區(qū)別。

2 一階電路時(shí)間常數(shù)的計(jì)算

2.1 多個(gè)動(dòng)態(tài)元件/電阻元件構(gòu)成的電路［2］

如圖1所示的電路包含兩個(gè)電容，但兩個(gè)電容和電壓源構(gòu)成一個(gè)回路，因此為一階電路。首先運(yùn)用［方法1］來(lái)求時(shí)間常數(shù)。

圖1 由兩個(gè)電容和兩個(gè)電阻構(gòu)成的電路

以電容電壓為電路變量列寫(xiě)KVL 和KCL 方程，得

由上式得到

比較上式和式(1)，可以看出時(shí)間常數(shù)為

也可運(yùn)用［方法3］來(lái)計(jì)算時(shí)間常數(shù)。將圖1電路的電壓源置零，可以看出，電路由R1、R2、C1、C2并聯(lián)構(gòu)成，因此電路時(shí)間常數(shù)滿(mǎn)足式(4)。

可見(jiàn)，當(dāng)一階電路由多個(gè)動(dòng)態(tài)元件和/或多個(gè)電阻元件構(gòu)成時(shí)，一種較為簡(jiǎn)便的求時(shí)間常數(shù)的方法是將電路的激勵(lì)置零，然后將電路等效變換為RC電路或RL 電路，再直接寫(xiě)出時(shí)間常數(shù)。

2.2 一階電路包含運(yùn)算放大器

如圖2所示為常見(jiàn)的含運(yùn)算放大器的一階電路。由于運(yùn)算放大器工作于線(xiàn)性區(qū)，因此運(yùn)算放大器滿(mǎn)足“虛短”和“虛斷”特性。采用［方法2］求電路的時(shí)間常數(shù)時(shí)，可先求出從電容兩端看出去的等效電阻。值得注意的是，運(yùn)算放大器是有源元件，因此在求等效電阻時(shí)，無(wú)法采用電路的等效變換方法，而必須采用外施電源方法。

圖2 含運(yùn)算放大器的一階電路

對(duì)圖2(a)電路，采用外施電源方法求從電容兩端看出去的等效電阻，將電壓源uS置零，由運(yùn)算放大器的“虛短”特性，可知從電容兩端看出去的等效電阻為R1，因此電路的時(shí)間常數(shù)為τ =R1C。類(lèi)似地，對(duì)圖2(b)電路，電路的時(shí)間常數(shù)為τ=R3C。

對(duì)圖2(c)電路，我們將電壓源uS置零，用電壓源或電流源替換電容C，如圖3所示。由運(yùn)算放大器的“虛短”特性可知，電阻R1兩端電壓為零，因此i1=0。又由“虛斷”特性，得到i2=i1=0。可見(jiàn)，從電容兩端看出去的等效電阻為u/i =R2+R3，因此圖2(c)電路的時(shí)間常數(shù)為τ=(R2+R3)C。

圖3 外施電源法求等效電阻

我們也可采用［方法4］來(lái)求時(shí)間常數(shù)。取運(yùn)算放大器輸出端電壓與輸入電壓之比為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，則圖2(a)和2(c)所示電路的s 域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為

對(duì)于圖2(b)電路，如取運(yùn)算放大器輸出端電壓與輸入電壓之比為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，則無(wú)法求出時(shí)間常數(shù)，此時(shí)可取電容兩端電壓與與輸入電壓之比為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，即

由式(5)和式(6)可以看出，采用［方法4］得到的時(shí)間常數(shù)和［方法2］相同。

2.3 一階電路包含全耦合耦合電感元件

如圖4(a)所示為一含全耦合電感的電路，由于耦合系數(shù)為1，該電路為一階電路。為求時(shí)間常數(shù)，可將圖4(a)電路等效為圖4(b)或圖4(c)電路［3］。

圖4 含全耦合電感的一階電路

采用［方法2］，由圖4(b)電路，L1兩端看出去的等效電阻為R1//(L1/L2)R2，因此時(shí)間常數(shù)為

由圖4(c)電路亦可得到相同的結(jié)果?？梢?jiàn)，對(duì)含全耦合電感元件的一階電路，可采用上述等效變換求出等效電路，再通過(guò)［方法2］求得時(shí)間常數(shù)。

當(dāng)然，采用［方法1］或［方法4］也可得到相同的結(jié)果，由于篇幅所限，不再贅述。

3 結(jié)語(yǔ)

時(shí)間常數(shù)在電路理論或電路分析中是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的概念，其含義十分明確，但具有重要的物理意義，即它決定了一階電路的響應(yīng)特性。或許正是因?yàn)楦拍蠲鞔_，因此在目前的電路教材中沒(méi)有安排專(zhuān)門(mén)的章節(jié)來(lái)討論時(shí)間常數(shù)的計(jì)算。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，討論了三類(lèi)一階電路時(shí)間常數(shù)的求法，這三類(lèi)情況都是筆者在教學(xué)中學(xué)生感到較為疑惑的地方。通過(guò)歸納總結(jié)，可使學(xué)生更好地理解時(shí)間常數(shù)的含義及其計(jì)算方法。

［1］ 李瀚蓀. 簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)［M］. 北京:高等教育出版社.2002

［2］ 陳洪亮，田社平，吳雪等. 電路分析基礎(chǔ)［M］. 北京:清華大學(xué)出版社. 2009

［3］ 田社平，陳洪亮，趙艾萍等. 含全耦合電感電路的求解［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30(1):27 －29