淺談函數(shù)單調(diào)性的一些應(yīng)用

摘 要：函數(shù)單調(diào)性在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用：比較大小、求代數(shù)式的值、證明不等式、求值域、解方程、求參數(shù)范圍。略舉一二，旨在拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；函數(shù)單調(diào)性；應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分廣泛的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)討論函數(shù)值以及不等式等問(wèn)題，往往可以使問(wèn)題更簡(jiǎn)潔。

一、比較大小

例1.若0°<2α<90°<β<180°，α=sinαcosβ，b=cosαsinβ，c=cosαcosβ，比較a，b，c的大小。

解：因?yàn)?°<2α<90°，即0°<α<45°，90°<β<180°，0

由于函數(shù)f （x）=xcosβ（x>0）及g （x）=（cosα）x（x∈R）都是減函數(shù)，并且有sinαcosβ，所以sinαcosβ>cosαcosβ即有a>c。

且cosαcosβ>cosαsinβ，即有c>b，故有a>c>b。

二、求代數(shù)式的值

例2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足（3x+y）5+（x5+4x+y）=0，求證：4x+y=0.

分析：由于對(duì)（3x+y）5的分解因式很復(fù)雜，所以采用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)來(lái)解答較為方便。

證明：等式（3x+y）5+（x5+4x+y）=0變形為（3x+y）5+（3x+y）=-（x5+x），

設(shè)f （x）=x5+x，則由原式有f （3x+y）=-f （x）.又由于f （-x）=f （x），所以f （x）是奇函數(shù)，從而f （3x+y）=-f （x）=f （-x）.而f （x）=x5+x是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故有3x+y=-x，即4x+y=0。

例3.實(shí)數(shù)α與β滿足α3-3α2+5α=1β3-3β2+5β=5，則α+β等于多少？

分析：兩個(gè)式子左端很整齊，但右端常數(shù)值不一樣，所以需要將其進(jìn)行分解，容易得出

α3-3α2+5α-1=0β3-3β2+5β-5=0？圯（α-1）3+2（α-1）=2（β-1）3+2（β-1）=2故構(gòu)造函數(shù)f （x）=x3+2x

解：設(shè)f （x）=x3+2x，顯然f （x）是R上的一個(gè)奇函數(shù)，將題目已知的兩個(gè)等式變形，不難得到f （α-1）=-2，f （β-1）=2.于是f （α-1）=-f （β-1）=f （1-β）。

又由于f （x）=x3+2x在[0，+∞）上是單調(diào)遞增的，再由奇函數(shù)的性質(zhì)知f （x）=x3+2x，在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增的.綜上得到，α-1=1-β，于是α+β=2。

三、證明不等式