兩類(lèi)問(wèn)題情境新題型剖析

張磊磊

進(jìn)入新課改后，各地紛紛出現(xiàn)了問(wèn)題情境型新題型. 該題型背景新穎、設(shè)問(wèn)巧妙，能有效考查學(xué)生的自學(xué)能力以及觀察分析、辨別是非、類(lèi)別操作、抽象概括、數(shù)學(xué)歸納、語(yǔ)言表達(dá)的能力，構(gòu)成近年中考題中一道亮麗風(fēng)景. 該題型的具體模式是：“問(wèn)題情境——建立模型——求解——解釋——應(yīng)用”.下面舉例說(shuō)明.

一、知識(shí)應(yīng)用型

例1 理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整數(shù)解c，則將c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移項(xiàng)得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q與c及m都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù).上述過(guò)程說(shuō)明：整數(shù)系數(shù)方程x3+px2+qx+m=0的整數(shù)解只可能是m的因數(shù).例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因數(shù)為±1和±2，將它們分別代入方程x3+4x2+3x-2=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=-2是該方程的整數(shù)解，-1、1、2不是方程的整數(shù)解.

解決問(wèn)題：（1）根據(jù)上面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)你確定方程x3+x2+5x+7=0的整數(shù)解只可能是哪幾個(gè)整數(shù)？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整數(shù)解？若有，請(qǐng)求出其整數(shù)解；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數(shù)解，它只可能是7的因數(shù)，而7的因數(shù)只有：1、-1、7、-7這四個(gè)數(shù).（2）該方程有整數(shù)解.方程的整數(shù)解只可能是3的因數(shù)，即1、-1、3、-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=3是該方程的整數(shù)解.

點(diǎn)評(píng)：解閱讀新知識(shí)，應(yīng)用新知識(shí)的閱讀理解題時(shí)，首先做到認(rèn)真閱讀題目中介紹的新知識(shí)，包括定義、公式、表示方法及如何計(jì)算等，并且正確理解引進(jìn)的新知識(shí)，讀懂范例的應(yīng)用；其次，根據(jù)介紹的新知識(shí)、新方法進(jìn)行運(yùn)用，并與范例的運(yùn)用進(jìn)行比較，防止出錯(cuò).

二、方法模擬型

例2 實(shí)際問(wèn)題：某學(xué)校共有18個(gè)教學(xué)班，每班的學(xué)生數(shù)都是40人.為了解學(xué)生課余時(shí)間上網(wǎng)情況，學(xué)校打算做一次抽樣調(diào)查，如果要確保全校抽取出來(lái)的學(xué)生中至少有10人在同一班級(jí)，那么全校最少需抽取多少名學(xué)生？

建立模型：為解決上面的“實(shí)際問(wèn)題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個(gè)（除顏色外完全相同），現(xiàn)要確保從口袋中隨機(jī)摸出的小球至少有10個(gè)是同色的，則最少需摸出多少個(gè)小球？

為了找到解決問(wèn)題的辦法，我們可把上述問(wèn)題簡(jiǎn)單化：

（1）我們首先考慮最簡(jiǎn)單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個(gè)是同色的，則最少需摸出多少個(gè)小球？

假若從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，它們的顏色可能會(huì)出現(xiàn)多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再?gòu)拇忻?個(gè)小球就可確保至少有2個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3=4（如圖1）；

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個(gè)是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有3個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×2=7（如圖2）

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個(gè)是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有4個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×3=10（如圖3）：

……

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個(gè)是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有10個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×（10-1）=28（如圖4）

進(jìn)入新課改后，各地紛紛出現(xiàn)了問(wèn)題情境型新題型. 該題型背景新穎、設(shè)問(wèn)巧妙，能有效考查學(xué)生的自學(xué)能力以及觀察分析、辨別是非、類(lèi)別操作、抽象概括、數(shù)學(xué)歸納、語(yǔ)言表達(dá)的能力，構(gòu)成近年中考題中一道亮麗風(fēng)景. 該題型的具體模式是：“問(wèn)題情境——建立模型——求解——解釋——應(yīng)用”.下面舉例說(shuō)明.

一、知識(shí)應(yīng)用型

例1 理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整數(shù)解c，則將c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移項(xiàng)得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q與c及m都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù).上述過(guò)程說(shuō)明：整數(shù)系數(shù)方程x3+px2+qx+m=0的整數(shù)解只可能是m的因數(shù).例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因數(shù)為±1和±2，將它們分別代入方程x3+4x2+3x-2=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=-2是該方程的整數(shù)解，-1、1、2不是方程的整數(shù)解.

解決問(wèn)題：（1）根據(jù)上面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)你確定方程x3+x2+5x+7=0的整數(shù)解只可能是哪幾個(gè)整數(shù)？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整數(shù)解？若有，請(qǐng)求出其整數(shù)解；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數(shù)解，它只可能是7的因數(shù)，而7的因數(shù)只有：1、-1、7、-7這四個(gè)數(shù).（2）該方程有整數(shù)解.方程的整數(shù)解只可能是3的因數(shù)，即1、-1、3、-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=3是該方程的整數(shù)解.

點(diǎn)評(píng)：解閱讀新知識(shí)，應(yīng)用新知識(shí)的閱讀理解題時(shí)，首先做到認(rèn)真閱讀題目中介紹的新知識(shí)，包括定義、公式、表示方法及如何計(jì)算等，并且正確理解引進(jìn)的新知識(shí)，讀懂范例的應(yīng)用；其次，根據(jù)介紹的新知識(shí)、新方法進(jìn)行運(yùn)用，并與范例的運(yùn)用進(jìn)行比較，防止出錯(cuò).

二、方法模擬型

例2 實(shí)際問(wèn)題：某學(xué)校共有18個(gè)教學(xué)班，每班的學(xué)生數(shù)都是40人.為了解學(xué)生課余時(shí)間上網(wǎng)情況，學(xué)校打算做一次抽樣調(diào)查，如果要確保全校抽取出來(lái)的學(xué)生中至少有10人在同一班級(jí)，那么全校最少需抽取多少名學(xué)生？

建立模型：為解決上面的“實(shí)際問(wèn)題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個(gè)（除顏色外完全相同），現(xiàn)要確保從口袋中隨機(jī)摸出的小球至少有10個(gè)是同色的，則最少需摸出多少個(gè)小球？

為了找到解決問(wèn)題的辦法，我們可把上述問(wèn)題簡(jiǎn)單化：

（1）我們首先考慮最簡(jiǎn)單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個(gè)是同色的，則最少需摸出多少個(gè)小球？

假若從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，它們的顏色可能會(huì)出現(xiàn)多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再?gòu)拇忻?個(gè)小球就可確保至少有2個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3=4（如圖1）；

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個(gè)是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有3個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×2=7（如圖2）

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個(gè)是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有4個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×3=10（如圖3）：

……

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個(gè)是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有10個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×（10-1）=28（如圖4）

進(jìn)入新課改后，各地紛紛出現(xiàn)了問(wèn)題情境型新題型. 該題型背景新穎、設(shè)問(wèn)巧妙，能有效考查學(xué)生的自學(xué)能力以及觀察分析、辨別是非、類(lèi)別操作、抽象概括、數(shù)學(xué)歸納、語(yǔ)言表達(dá)的能力，構(gòu)成近年中考題中一道亮麗風(fēng)景. 該題型的具體模式是：“問(wèn)題情境——建立模型——求解——解釋——應(yīng)用”.下面舉例說(shuō)明.

一、知識(shí)應(yīng)用型

例1 理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整數(shù)解c，則將c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移項(xiàng)得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q與c及m都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù).上述過(guò)程說(shuō)明：整數(shù)系數(shù)方程x3+px2+qx+m=0的整數(shù)解只可能是m的因數(shù).例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因數(shù)為±1和±2，將它們分別代入方程x3+4x2+3x-2=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=-2是該方程的整數(shù)解，-1、1、2不是方程的整數(shù)解.

解決問(wèn)題：（1）根據(jù)上面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)你確定方程x3+x2+5x+7=0的整數(shù)解只可能是哪幾個(gè)整數(shù)？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整數(shù)解？若有，請(qǐng)求出其整數(shù)解；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數(shù)解，它只可能是7的因數(shù)，而7的因數(shù)只有：1、-1、7、-7這四個(gè)數(shù).（2）該方程有整數(shù)解.方程的整數(shù)解只可能是3的因數(shù)，即1、-1、3、-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=3是該方程的整數(shù)解.

點(diǎn)評(píng)：解閱讀新知識(shí)，應(yīng)用新知識(shí)的閱讀理解題時(shí)，首先做到認(rèn)真閱讀題目中介紹的新知識(shí)，包括定義、公式、表示方法及如何計(jì)算等，并且正確理解引進(jìn)的新知識(shí)，讀懂范例的應(yīng)用；其次，根據(jù)介紹的新知識(shí)、新方法進(jìn)行運(yùn)用，并與范例的運(yùn)用進(jìn)行比較，防止出錯(cuò).

二、方法模擬型

例2 實(shí)際問(wèn)題：某學(xué)校共有18個(gè)教學(xué)班，每班的學(xué)生數(shù)都是40人.為了解學(xué)生課余時(shí)間上網(wǎng)情況，學(xué)校打算做一次抽樣調(diào)查，如果要確保全校抽取出來(lái)的學(xué)生中至少有10人在同一班級(jí)，那么全校最少需抽取多少名學(xué)生？

建立模型：為解決上面的“實(shí)際問(wèn)題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個(gè)（除顏色外完全相同），現(xiàn)要確保從口袋中隨機(jī)摸出的小球至少有10個(gè)是同色的，則最少需摸出多少個(gè)小球？

為了找到解決問(wèn)題的辦法，我們可把上述問(wèn)題簡(jiǎn)單化：

（1）我們首先考慮最簡(jiǎn)單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個(gè)是同色的，則最少需摸出多少個(gè)小球？

假若從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，它們的顏色可能會(huì)出現(xiàn)多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再?gòu)拇忻?個(gè)小球就可確保至少有2個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3=4（如圖1）；

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個(gè)是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有3個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×2=7（如圖2）

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個(gè)是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有4個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×3=10（如圖3）：

……

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個(gè)是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎(chǔ)上，再?gòu)拇忻?個(gè)小球，就可確保至少有10個(gè)小球同色，即最少需摸出小球的個(gè)數(shù)是：1+3×（10-1）=28（如圖4）