利用幾何畫板分析平面幾何中的折疊問題

李鳳娟

摘 要：圖形折疊問題的解決在平面幾何研究中獨具一格，它深入淺出，涵蓋了圖形變換、數(shù)形結合等重要的思想與方法.就圖形折疊所具備的對稱性展開，對其所涉及的知識要點和研究方法進行了逐一剖析與探討.學生要經(jīng)歷由數(shù)到形的突變，往往會感到不適應，利用幾何畫板可以幫助學生有更直觀的感受，進而幫助解題.以2005年廣東高考最后一題為例，以兩種解法利用幾何畫板分析折痕在不同位置所形成的函數(shù)的分段討論，使學生的思路更為清晰，其中第二種方法以直線l在y軸上的截距b為參數(shù)進行討論，幾何意義更明確.此外還可以直接利用幾何畫板中的“度量”工具度量折痕的長度，使學生先對長度的最值有一個直觀的認識以后，再尋找嚴謹?shù)拇鷶?shù)解法，從而降低了試題的難度，更益于學生的理解和接受.

關鍵詞：幾何畫板；折疊問題；平面幾何

折疊問題是解析幾何中常見的問題之一，利用幾何畫板可以對折疊所形成的對稱關系進行分析與探索.

類型一：已知點A與直線l，若以l為折痕，求折疊后A的位置A′，利用直線l與線段AA′的垂直平分關系可得如下作法：

1.過點A作直線l的垂線，交l與點C.

2.以C點為圓心，AC長為半徑作圓，

交垂線于一點A′，則A′即為所要求的點A折后的位置.

其中第二步也可由標記點C為中心，對點A進行旋轉完成.

運動點A或直線l皆可觀察點A′的位置變化.

類型二：已知點A關于直線l折疊后所對應的點為A′，此時確定折痕所在直線l的位置只需作線段AA′的垂直平分線即可。（圖略）

下面以2005年廣東高考最后一題說明這個問題，題目如下：

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖5所示）.將矩形折疊，使A點落在線段DC上.

（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；

（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

利用幾何畫板可以幫助學生更好地理解此題的不同解法.

解法一：設折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，1），則該問題轉化為如何由點A、G尋找折痕l的位置。

解題關鍵應為A、G關于l對稱，具體如下：

第一步：構造線段DC上的G，并做線段AG的垂直平分線l，則l即為折痕所在的直線.

第二步：做關于G點的動畫，觀察折痕的位置.

易得到以下結論：

（1）由圖1、圖2、圖3可知，折痕的長度會因l的位置不同而有三種不同的求法.

（2）當l過點D、B為分界點（圖略）.

（3）當點G與D點重合時如圖4.

（4）當點G與C點重合時，折痕為對角線BD（圖略）.

解法如下：

解（I）（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y= .

（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，1）.

所以，A與G關于折痕所在的直線對稱.

有kOG·k=-1， k=-1？圯a=-k

故G點坐標為G（-k，1）

從而折痕所在的直線l與OG的交點坐標（線段OG的中點）為- ，

折痕所在的直線方程y- =k（x+ ），即y=kx+ + .

由（1）（2）得折痕所在的直線l方程為：y=kx+ + .

解（II）若折痕所在的直線過點D（0，1）則k=-1；若折痕所在的直線過點B（2，0）則k=-2+ ；若點G與點D（0，1）重合，則k=0；若點G與C點重合，則k=-2.

（1）當-2+ ≤k≤0時（如圖3），直線l交BC于N（2，2k+ + ）.

y=MN2=22+ -（2k+ + ）2=4+4k2≤4+4（7-4 ）=32-16 .

（2）當-1≤k≤-2+ 時（如圖2），

y=MN2=（ ）2+（- ）2=

y′=

令y′=0，解得k=- ，此時y=MN2= .

（3）當-2≤k≤-1時（如圖1），直線交DC于M（ - ，1）.

y=MN2=12+ -（2k+ + ）2=1+ ≤1+1=2.

所以，折痕的長度的最大值為：MNmax= =2（

- ）.

解法二：若設折痕所在直線l的方程為y=kx+b，則l與y軸的交點為P（0，b），該題解題關鍵轉化為利用AP=PG確定G點與折痕位置的問題.具體解法如下：

第三步：運動點P，可以得到三類不同的折痕圖形，以l過點D、B為分界點（圖略）.

解題過程如下：

I（1）由題知當b=0.5時，k=0，折痕所在的直線方程為y=0.5.

（2）當0.5

因為G為⊙P與DC的交點，易得G（ ，1）.

由A與G關于折痕所在的直線對稱，

有kOG·k=-1，得k=- .

所以折痕所在的直線方程y=kx+b，即y=kx+ + .

由（1）（2）得折痕所在的直線l方程為：

y=kx+ + .

II.k≠0時直線l在x軸上截距為- ，

當直線l過點B時0=2k+b，解得b=4-2 .

當直線l過點D時b=0.

（1）0.5≤b≤4-2 時（如圖3（3））.

直線l交BC于點N（2，2k+b）；

PN2=22+[b-（k+b）]2=8b≤8（4-2 ）；

（2）4-2

直線l交AB于點N（- ，0）；

y=PN2=b2+（- ）2= ；

y′= ，若y′=0則b= ；

此時y=PN2= .

（3）當1≤b≤2.5時（如圖3（2））；

直線l交AB于點N（- ，0）；

直線l交DC于點M（ ，1）；

NM2=（- - ）2+1=- +1≤2；

所以折痕的長度的最大值為：

PNmax= =2（ - ）

這兩種解法利用幾何畫板分析折痕在不同位置所形成的函數(shù)的分段討論，使學生的思路更為清晰，其中第二種方法以直線l在y軸上的截距b為參數(shù)進行討論，幾何意義更明確.此外還可以直接利用幾何畫板中的“度量”工具度量折痕的長度，使學生先對長度的最值有一個直觀的認識后，再尋找嚴謹?shù)拇鷶?shù)解法，從而降低了試題的難度，更益于學生的理解和接受.

我們還可以組織學生開展一次探討活動：利用前面所學知識，根據(jù)需要，選擇不同的圖形，結合不同的折疊方式，通過改變圖形在直角坐標系中的位置，進行編題解答、演算推導.通過集思廣益，發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，從中體會自主學習的樂趣，提高自主學習的能力.

總而言之，折疊問題的解決，必須基于對折疊方法、折疊圖形的特性的了解.我們在折疊時主要是按照“點重合”或“線重合”的要求來進行操作，通過變換重合的方式或折疊的角度來改變折疊的效果；折疊后最基本的特性是“全等”和“垂直”；折疊中最常添設的輔助線是“對稱點的連線”.

另一方面，折疊的對象又不只局限于矩形、圓、正多邊形等簡單、規(guī)則的圖形；折疊的次數(shù)也不僅限于一次，可以是多次的.它在變化中存在許多不定因素，但在解答時常伴隨有三角形、四邊形及全等形、相似形等基礎知識.它需要我們靈活運用數(shù)形結合、方程、化歸等數(shù)學思想方法……所有這些，我們在研究過程中都應予以充分考慮.圖形的折疊問題將為我們留下無限的遐想、發(fā)展空間.

參考文獻：

湯瑩琪.運用《幾何畫板》研究三角形的重心.數(shù)學教學.華東師范大學，2004（7）.

（作者單位 浙江省溫州中學）