高職數(shù)學(xué)函數(shù)和極限課程教學(xué)探索

岳廣峰

摘 要：函數(shù)和極限課程是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，極限的思想和方法是解決各類實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要工具。因此函數(shù)的極限是高職數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。本文對(duì)函數(shù)的極限教學(xué)提出了一些思考并進(jìn)行了實(shí)踐探索。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的極限 高職數(shù)學(xué) 教學(xué)

極限概念是微積分學(xué)最基本的概念之一，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等的定義都建立在極限概念的基礎(chǔ)上。極限的思想和方法貫穿在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終，是人們研究許多問(wèn)題的工具，是從學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)順利過(guò)渡到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所必須牢固掌握的內(nèi)容。正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，這一部分內(nèi)容也是較難掌握的。若極限學(xué)得不扎實(shí)，必然會(huì)影響到整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，因此準(zhǔn)確地掌握極限概念，對(duì)于進(jìn)一步研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)、積分等具有非常重要的意義。筆者在高職數(shù)學(xué)函數(shù)和極限一章教學(xué)實(shí)踐中做了如下思考和探索。

一、做好與初等數(shù)學(xué)的銜接

初等數(shù)學(xué)研究對(duì)象基本上是不變量，而高等數(shù)學(xué)的微積分以函數(shù)、變量為主要研究對(duì)象。初等函數(shù)是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課本采用新課程標(biāo)準(zhǔn)，函數(shù)的有些內(nèi)容被刪去了，如反函數(shù)、三角函數(shù)中的余切、正割、余割及反三角函數(shù)。這些知識(shí)在高等數(shù)學(xué)中是必要的，因此在教學(xué)中筆者加入了這些知識(shí)的講授。

大多數(shù)高職學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握并不牢固，所以筆者在教學(xué)中重視復(fù)習(xí)函數(shù)概念、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)，及時(shí)復(fù)習(xí)求函數(shù)極限中用到的數(shù)學(xué)公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等變換常用公式等，為后續(xù)的極限教學(xué)做好鋪墊。

二、創(chuàng)設(shè)情境引入極限概念

學(xué)生由初等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)方法、思維習(xí)慣、認(rèn)知理解上會(huì)出現(xiàn)諸多不適應(yīng)。因此，筆者在引入極限概念時(shí)，利用AutoCAD軟件繪制正多邊形的功能來(lái)演示隨著圓內(nèi)（外）接正多邊形邊數(shù)的不斷增加，正多邊形會(huì)越來(lái)越接近圓這一動(dòng)態(tài)效果，使學(xué)生在具體情境中體會(huì)到這種無(wú)限的過(guò)程，使學(xué)生能夠深刻地理解極限思想的內(nèi)涵。讓學(xué)生體會(huì)從“量變”到“質(zhì)變”，從而真正理解極限這個(gè)概念。在教學(xué)上，我們用多媒體課件動(dòng)態(tài)展示有關(guān)函數(shù)的圖形，幫助學(xué)生理解和觀察函數(shù)的左右逼近值，從而建立左右極限的概念。通過(guò)實(shí)踐“情境—問(wèn)題—探究”這一教學(xué)方式，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步體會(huì)常量與變量、有限與無(wú)限、近似與準(zhǔn)確、動(dòng)與靜，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。學(xué)生只有真正掌握了“極限”的動(dòng)態(tài)實(shí)質(zhì)，才能更好地理解和掌握導(dǎo)數(shù)和積分的概念。

三、精講極限概念中的關(guān)鍵詞

刻畫(huà)極限的語(yǔ)言高度概括抽象，復(fù)雜又邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密。高職學(xué)生難以理解和接受。所以高職數(shù)學(xué)無(wú)需講解極限的定義，采用極限的描述性定義更符合高職學(xué)生的實(shí)際。在極限的描述性定義中有兩個(gè)關(guān)鍵詞，“無(wú)限接近”的含義就是“要多接近就有多接近”，“定義”就是對(duì)“要多接近就有多接近”的定量化。筆者在教學(xué)中利用多媒體課件展示函數(shù)動(dòng)態(tài)圖形，分析一些典型變化趨勢(shì)，通過(guò)比較數(shù)值的變化及函數(shù)圖形解釋“要多接近就有多接近”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討自變量x“無(wú)限接近”x0的各種不同形式，使學(xué)生在圖形上對(duì)“無(wú)限接近”這種“動(dòng)態(tài)”變化有一較清晰的認(rèn)識(shí)，從而強(qiáng)化對(duì)極限概念的理解。

四、針對(duì)學(xué)生易犯的錯(cuò)誤重點(diǎn)講解

學(xué)生在高中階段已初步學(xué)習(xí)過(guò)極限概念，但缺乏深入的理解，特別是對(duì)“無(wú)窮小”和“無(wú)窮大”更感難以理解。例如對(duì)“無(wú)窮大”的概念，很多學(xué)生認(rèn)為它是一個(gè)無(wú)限大的常數(shù)，思想還停留在常量數(shù)學(xué)階段，而缺乏運(yùn)動(dòng)和變化的思想；相應(yīng)地，將無(wú)限小的數(shù)就理解為“無(wú)窮小”。這樣學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)把“無(wú)窮小”和“無(wú)窮大”當(dāng)成一個(gè)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，極限的四則運(yùn)算法則成立的前提是兩個(gè)函數(shù)的極限都存在，部分學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)而造成錯(cuò)誤。學(xué)生還經(jīng)常忽視自變量的變化趨勢(shì)對(duì)函數(shù)極限的影響，分段函數(shù)在分界點(diǎn)的連續(xù)性是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)為什么要計(jì)算左右極限感到不解。分析其原因，問(wèn)題往往出在對(duì)極限概念的理解上，對(duì)自變量的變化趨勢(shì)的理解不夠。對(duì)此，糾正以上錯(cuò)誤對(duì)具體求函數(shù)極限的習(xí)題也會(huì)有很大幫助。

五、及時(shí)總結(jié)求極限的各種方法

學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)極限這一章內(nèi)容感覺(jué)較難的原因還在于極限的求法眾多，且靈活性強(qiáng)，不是每一種方法都適用于求任意函數(shù)的極限，面對(duì)各種題型學(xué)生往往束手無(wú)策。因此，在教學(xué)中我們很有必要對(duì)函數(shù)極限的各種求法加以歸納總結(jié)分類。在本章教學(xué)結(jié)束時(shí)，筆者針對(duì)求極限的各種方法集中上一次習(xí)題課，詳細(xì)總結(jié)各種求極限的方法，取得了較好的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]洪繼科.高等數(shù)學(xué)答問(wèn)·辨析·思考（上、下冊(cè)）[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1987.