培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的批判性和敏捷性

吳志波

【摘 要】數(shù)學(xué)思維的批判性是一種思維品質(zhì)，它指學(xué)生在思維活動(dòng)中善于估計(jì)思維材料、檢查思維過程，不盲從、不輕信。思維的批判性來自學(xué)生對思維活動(dòng)各環(huán)節(jié)、各方面的調(diào)整、校正，即自我意識(shí)。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性，在概括過程中表現(xiàn)為善于快速地概括出數(shù)、式、形和數(shù)量關(guān)系中的數(shù)學(xué)特征、規(guī)律以及相應(yīng)的解題技巧。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；批判性；敏捷性

數(shù)學(xué)思維的批判性是一種思維品質(zhì)，它指學(xué)生在思維活動(dòng)中善于估計(jì)思維材料、檢查思維過程，不盲從、不輕信。思維的批判性來自學(xué)生對思維活動(dòng)各環(huán)節(jié)、各方面的調(diào)整、校正，即自我意識(shí)。這種自我意識(shí)的“調(diào)整”“校正”又來自學(xué)生對問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。只有深刻的認(rèn)識(shí)、周密的思考，才能全面正確地作出判斷。因此，思維的批判性是在深刻性基礎(chǔ)上發(fā)展起來的思維品質(zhì)。

小學(xué)數(shù)學(xué)思維的批判性，在概括過程中表現(xiàn)為善于精細(xì)地估計(jì)數(shù)學(xué)材料，準(zhǔn)確選擇推理?xiàng)l件；善于從正反兩方面思考推理過程，并能及時(shí)調(diào)整和校正。在推理過程中表現(xiàn)為善于從不同角度、正反兩方面去理解概念，區(qū)分相近概念；善于區(qū)別不同的運(yùn)算法則、定律、性質(zhì)及其適用的條件；善于發(fā)現(xiàn)并指出理解過程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤傾向，排除錯(cuò)誤的干擾。在運(yùn)算過程中表現(xiàn)為解決數(shù)學(xué)問題時(shí)善于排除無關(guān)因素的影響；善于進(jìn)行辯證地思索與分析，自覺檢查思維過程，自我控制和調(diào)整思維方向，對解答結(jié)果能自覺作出估計(jì)和檢驗(yàn)。在維理效果上表現(xiàn)為推斷、估計(jì)、自學(xué)以及對結(jié)論與推理過程進(jìn)行評價(jià)的能力較強(qiáng)。

怎樣培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生科學(xué)思維的批判性？

在掌握知識(shí)的過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)表自己的見解，形成“自由爭辯”的學(xué)風(fēng)。小學(xué)生往往受思維定勢的影響，盲目隨從，這不利于增強(qiáng)思維的批判性。為克服學(xué)生的盲從心理，教師有時(shí)可故意制造一些錯(cuò)誤，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、評價(jià)。如教學(xué)三角形面積，出示左圖，要求學(xué)生根據(jù)圖中數(shù)據(jù)用兩種方法求圖形面積（單位：厘米）。學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，兩組相對應(yīng)的底和高求出的面積不相等。這是為什么？教師便引導(dǎo)學(xué)生討論，找原因，從而發(fā)現(xiàn)，兩條直角邊長度之和等于另一條邊，就不可能組成一個(gè)三角形。這樣設(shè)計(jì)，在審題時(shí)即對題目條件的可靠性進(jìn)行論證，無疑培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性。同時(shí)還向?qū)W生滲透了“三角形兩邊之和必大于第三邊”的知識(shí)。

在運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的過程中，教師應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生“自我反省”的習(xí)慣。由于學(xué)生自我意識(shí)的發(fā)展還不成熟，往往忽視自己的內(nèi)部心理活動(dòng)，對自己思維的破綻、錯(cuò)誤不易注意。因此，在組織練習(xí)的過程中，要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反省自己的思維，自覺地表述思維過程，自覺地加以檢驗(yàn)。另外，進(jìn)行多項(xiàng)選擇題的訓(xùn)練，也有利于思維批判性的發(fā)展。多項(xiàng)選擇題和其它類型相比，問題提法改變了，題目雖然不大，涉及內(nèi)容卻很廣，有很多的陷井，要想選出正確的答案，必須用批判的態(tài)度去思考。數(shù)學(xué)思維的敏捷性是指思維過程的簡縮性和快速性。具有這一思維品質(zhì)的人處理問題和解決問題時(shí)能適應(yīng)緊急的情況，迅速作出正確判斷。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，具有這一品質(zhì)的學(xué)生能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過程，“直接”得到結(jié)果。克魯捷茨基的研究表明，推理的縮短取決于概括，“能‘立即進(jìn)行概括的學(xué)生，也能‘立即進(jìn)行推理的縮短?！?/p>

小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性，在概括過程中表現(xiàn)為善于快速地概括出數(shù)、式、形和數(shù)量關(guān)系中的數(shù)學(xué)特征、規(guī)律以及相應(yīng)的解題技巧。在理解過程中表現(xiàn)為善于迅速地抓住數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，熟練地進(jìn)行等價(jià)變換。在運(yùn)用過程中表現(xiàn)為用壓縮了的結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，思路清晰，彎路少。在推理效果上表現(xiàn)為從冗長的分析推理中解脫出來，減少中間環(huán)節(jié)，簡縮數(shù)學(xué)推理過程和相關(guān)的運(yùn)算系統(tǒng)。

培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維的敏捷性，在掌握知識(shí)的過程中，要注意抓基礎(chǔ)促遷移，于簡明的結(jié)構(gòu)中包含較大的知識(shí)容量，把小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念和基本原理放在教材的中心地位，作為教材的基本結(jié)構(gòu)，并充分發(fā)揮這種知識(shí)結(jié)構(gòu)所具有的知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換功能。例如，以“兩商之差”數(shù)量關(guān)系為基本結(jié)構(gòu)的應(yīng)用題，抓住a/b-a/c=f這一結(jié)構(gòu)形式，就可把以下具有可逆關(guān)系的12種題型統(tǒng)一在這個(gè)關(guān)系之中。

（1）原計(jì)劃30天生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，實(shí)際20天完成。實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)多少臺(tái)？（360/20-360/30=f）

（2）生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，原計(jì)劃每天生產(chǎn)12臺(tái)，實(shí)際每天生產(chǎn)18臺(tái)。實(shí)際可提前幾天？（360/12-360/18=f）

（3）原計(jì)劃30天生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，實(shí)際每天多生產(chǎn)6臺(tái)，實(shí)際多少天完成？（360/b-360/30=6）

（4）生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，實(shí)際每天生產(chǎn)18臺(tái)，結(jié)果提前10天完成。原計(jì)劃每天生產(chǎn)幾臺(tái)？（360/b-360/18=10）

（5）生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，實(shí)際20天完成，每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)6臺(tái)，原計(jì)劃多少天完成？（360/20-360/c=6）

（6）生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，原計(jì)劃每天生產(chǎn)12臺(tái)，實(shí)際提前10天完成，實(shí)際每天生產(chǎn)幾臺(tái)？（360/12-360/c=10）

（7）生產(chǎn)一批機(jī)器，原計(jì)劃30天完成，實(shí)際20天完成。實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)6臺(tái)，這批機(jī)器有多少臺(tái)？（a/20-

a/30=6）

（8）生產(chǎn)一批機(jī)器，原計(jì)劃每天生產(chǎn)12臺(tái)，實(shí)際每天生產(chǎn)18臺(tái)，結(jié)果提前10天完成，這批機(jī)器有多少臺(tái)？（a/12-a/18=10）

（9）生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，原計(jì)劃完成的時(shí)間是實(shí)際的1.5倍，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)6臺(tái)，實(shí)際多少天完成？（360/b-360/1.5b=6）

（10）生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，實(shí)際每天生產(chǎn)的是原計(jì)劃的1.5倍，實(shí)際提前6天完成。原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少臺(tái)？（360/b-360/1.5b=6）

（11）生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)器，實(shí)際完成的天數(shù)是原計(jì)劃的2/3，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)6臺(tái)，原計(jì)劃多少天完成？[360/（2c/3）-360/c=6]

（12）要生產(chǎn)360臺(tái)機(jī)（下轉(zhuǎn)第58頁）（上接第44頁）器，原計(jì)劃每天生產(chǎn)的是實(shí)際的2/3，實(shí)際提前10天完成，實(shí)際每天生產(chǎn)多少臺(tái)？[360/（2c/3）-360/c=10]

這是一種結(jié)構(gòu)的方法。這種方法高于用單純分析和說明數(shù)量關(guān)系的解釋方法。其本質(zhì)是從相互聯(lián)系相互作用的內(nèi)在規(guī)律上揭示數(shù)量關(guān)系。而且研究數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式，可以運(yùn)用遷移的規(guī)律解決同構(gòu)異素問題。某些應(yīng)用題盡管在具體內(nèi)容上不同，但實(shí)際上具有相似的結(jié)構(gòu)形式，這就是同構(gòu)異素問題。教學(xué)時(shí)可以使形式超脫內(nèi)容，把不同題材中共同的結(jié)構(gòu)形式分離出來，進(jìn)一步抽象化、符號(hào)化，只研究結(jié)構(gòu)形式之間的關(guān)系。一般來說，概括程度越高，遷移量也就越大。小學(xué)數(shù)學(xué)中按照抓基礎(chǔ)、促遷移、簡結(jié)構(gòu)、大容量的原則來組織教學(xué)內(nèi)容，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性。

在運(yùn)用知識(shí)解決問題的過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生自覺地、合理地聯(lián)想來訓(xùn)練他們思維的敏捷性。聯(lián)想，即把解決簡單問題所采用的手段和所獲得的結(jié)論，類推到較復(fù)雜的情境中，迅速找到解決問題的辦法。解決數(shù)學(xué)問題的聯(lián)想，大都可以看作關(guān)系聯(lián)想。數(shù)學(xué)概念之間、數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的聯(lián)系是多種多樣的。關(guān)系聯(lián)想是這多種多樣聯(lián)想的反映。聯(lián)想豐富了，想象也就豐富了，思維的活力增強(qiáng)，思維的敏捷性自然就提高了。