提高高中數(shù)學解題教學效率的四個視角

姜麗芳

摘 要：著名數(shù)學教育家波利亞說過：“掌握數(shù)學意味著解題”. 解題教學是數(shù)學課堂教學的一個重要組成部分，是實現(xiàn)數(shù)學教學目的的重要手段，本文從四個方面闡述了提高高中數(shù)學解題教學效率的策略.

關鍵詞：引導；思維；問題；反思

高中數(shù)學解題教學是以培養(yǎng)學生解決問題的能力和學生后續(xù)發(fā)展的思維能力為主要教學任務的. 在教學中教師應當以數(shù)學問題為載體，啟發(fā)學生在問題的變化中觀察問題，從問題的遷移中思考問題，掌握數(shù)學問題的思考過程和推理方法. 著名數(shù)學教育家波利亞說過：“掌握數(shù)學意味著解題”. 解題教學是數(shù)學課堂教學的一個重要組成部分，是實現(xiàn)數(shù)學教學目的的重要手段. 目前中學數(shù)學解題教學存在以下幾個問題：（1）關注問題解決教學細節(jié)不夠，重結(jié)果，輕過程，追求快捷式解題，導致學生記得多，理解得少；做得多，想得少. （2）較多關注“怎樣解”，對“為什么這樣解”、“怎樣學會解”缺乏必要的研究，長期徘徊在一招一式的歸類，缺少觀點上的提高或?qū)嵸|(zhì)性的突破；（3）更關注現(xiàn)成的、形式化問題的求解，對問題的“反思”研究不夠.

數(shù)學課堂離不開解題教學，它不僅能有效地增強學生解決問題的能力，而且可以加深學生對基本概念的理解，促進學生良好數(shù)學觀念的形成. 《數(shù)學新課程標準》明確指出：要加強對學生數(shù)學應用意識和解決實際問題能力的培養(yǎng).在平時的課堂教學中，解題教學存在的一些問題應引起足夠的重視，如當學生面對數(shù)學問題時，常常會出現(xiàn)：只可意會，不可言傳的現(xiàn)象，不知道該怎么寫；會做的題目往往會算錯；考試的時候會出現(xiàn)似曾相識但就是不知道該怎么做的現(xiàn)象；用“題目”對付“題目”，碰到新鮮題目卻無從下手的現(xiàn)象. 學生解題處在一種隨意的雜亂無章的思維狀態(tài). 因此，教師在課堂教學中應重視解題教學，要讓學生做到：想得到就要寫得出，做得來就要算得對，能將題目歸類為問題，會將問題進行反思拓展，真正掌握解題的思維程序. 下面筆者將從這四個方面對如何提高高中數(shù)學解題教學的效率進行探討.

[?] 視角一 教師重視課堂板書，引導學生規(guī)范解題

板書、行為和普通話是教師三大基本功. 然而，隨著電腦和多媒體技術進入課堂，越來越多的教師選擇方便、簡捷的課件演示代替?zhèn)鹘y(tǒng)板書. 現(xiàn)代化教學手段增加了課堂容量，節(jié)約了課堂教學時間，減輕了教師板書的工作量. 但長此以往，教師對電腦有了依賴性，學生成了被灌輸?shù)膶ο螅险n也顯得被動，就像看“電視連續(xù)劇”一樣，失去了最為寶貴的“同步思考”.

筆者曾調(diào)查過學生，學生反映：我們更喜歡教師的手寫板書，因為它顯得人性化. 課件的快節(jié)奏和自己的思維節(jié)奏不一樣，總給人冷冷的感覺，有時會影響學習興趣. 比起鼠標點擊，我們更喜歡看教師一邊講解一邊思考一邊寫板書，通過同步思考，超前思考，讓我們更容易理解，產(chǎn)生很深的印象. 很多學生覺得教師的板書就是給自己解題的一個示范，否則只看屏幕上的播放，放過了就忘記了.

每一節(jié)數(shù)學課堂中至少一個例題有詳細的板書過程，向?qū)W生呈現(xiàn)解題的方法和解題的過程以及必要的運算過程和相關的圖形. 在《排列與組合》的教學中，筆者發(fā)現(xiàn)學生的想法很多，但大多數(shù)學生都遇到了書寫的困難，不能很好地展現(xiàn)自己的思維過程，以至于常常發(fā)生“覺得自己的想法很正確，答案卻錯了，但不知道錯在哪里”的困惑.針對這個現(xiàn)象，在課堂上筆者站在學生的角度，站在學生的數(shù)學基礎上將問題講透，注重通性通法，認真板書，引導學生規(guī)范解題.

例1 用0到5這6個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)有多少個？

教師邊聽學生的想法，邊板書詳細過程：

學生1：按末位是否為0分類，有兩類.

教師板書：第1類末位數(shù)是0，共有A=20個；第2類末位是2或4，共有AAA=32個. 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，滿足條件的偶數(shù)個數(shù)是N=20+32=52個.

學生2：按每一位數(shù)的奇偶分類，有四類.

教師板書：第1類三位數(shù)分別是奇、奇、偶，共有AA=18個；第2類三位數(shù)分別是偶、奇、偶，共有CCC=12個；第3類三位數(shù)分別是奇、偶、偶，共有CA=18個；第4類三位數(shù)分別是偶、偶、偶，共有CA=4個. 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，滿足條件的偶數(shù)個數(shù)是N=18+12+18+4=52個.

學生3：排除法，先允許0在首位，求出總數(shù)，再求出末位是偶數(shù)的數(shù)，再減去首位是0的數(shù).

教師板書：先允許0在首位，共有A=120個三位數(shù)，因為這6個數(shù)中，奇數(shù)與偶數(shù)個數(shù)相同，所以共有=60個末位是偶數(shù)的三位數(shù)，其中首位是0，末位是偶數(shù)的共有AA=8個數(shù)，故滿足條件的偶數(shù)個數(shù)是N=60-8=52個數(shù).

教師點評：三位學生給出了不同的思路，其他學生看看解題過程，在分類時注意不重不漏，我們在具體做題時盡量選擇比較簡潔的做法，更快捷地解決問題.

如果說教師的課堂板書演示給學生起到了很好的示范作用，那么學生的板演就是對這個作用的很好的肯定. 蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 而在少年的世界中，這種需要特別強烈”，“學生板演”給了學生作為發(fā)現(xiàn)者的欣喜體現(xiàn)，同時課堂中“學生板演”是教學中一條重要反饋渠道. 板演中學生的思維過程得以展現(xiàn)，特別是學生板演中暴露出來的錯誤，能夠引起教師與學生的共同反思.

于是在教師示范的基礎上，筆者再給出一個變式題：用0到5這6個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中能被3整除的有多少個？讓多位學生同時板演. 學生的板演讓筆者感到很欣慰，有按三位數(shù)字中有沒有0來分類的，有按和為3的倍數(shù)來分類的，過程都寫的相當漂亮.

通過教師的示范，學生知道了怎樣書寫過程，也明白了自己的想法錯在哪里. 能夠?qū)⒆约旱乃季S過程完整地表述出來，這也是數(shù)學學習能力的體現(xiàn).

[?] 視角二 展示運算過程，提高運算能力

教師依賴電腦，學生依賴計算器是現(xiàn)在的一個普遍現(xiàn)象. 而運算能力作為一項基本的數(shù)學能力，無論是中學數(shù)學的《教學大綱》，還是《考試說明》，都把它列在諸項數(shù)學能力的首位，同時它也是其他數(shù)學能力的基礎. 提高學生的計算能力不僅有利于提高學生數(shù)學成績，也有利于學生邏輯、推理、創(chuàng)新等各種能力全方面發(fā)展，從而更好適應時代需要.所以筆者認為教師在課堂中也要充分展示計算過程，而不能把計算過程略掉，或者習慣性地對學生說：“這個計算過程同學們課后好好算算，由于時間關系課堂上就不展開了”，看似節(jié)約了時間，其實是錯過了教育良機，在課堂上教師應該有耐心地和學生一起將計算進行到底.

例2 為了展示運算過程，讓學生充分體驗過程，筆者在講解“橢圓標準方程的推導”這一部分內(nèi)容時是這樣處理的：

首先，復習回顧：（1）求曲線方程的一般方法：坐標法；（2）求曲線方程的一般步驟：建系、設點、列式、化簡.

引導學生從對稱美、簡潔美等角度建立平面直角坐標系，使求出的方程最為簡單，得到兩種方案：

先選定方案1，推導方程.

接下來的化簡就是難點，為了更好地突破難點，筆者先舉一個實例：已知a=5，c=3，由學生嘗試化簡+=10.

教師提示：這個方程形式復雜，應該化簡. 化簡的目的是去掉根式，可以兩邊平方. 這里有兩個根式，如何平方更簡捷？應該使用先移項再平方，再移項再平方的方法.

學生動手體驗：移項得=10-，兩邊平方，化簡得5=25-3x，再平方，整理得16x2+25y2=252-25×9=25×16，可以整理得+=1.

教師引導學生觀察發(fā)現(xiàn)：25=a2，16=25-9=a2-c2.

在學生對具體的運算過程有所體驗的基礎上，教師對一般方程的化簡作以示范：將這個方程移項后兩邊平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，整理得a2-cx=a. 上式兩邊再平方，得a2-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）. 由橢圓定義知， 2a>2c，即 a>c，所以a2-c2>0. 令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式，得b2x2+a2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，得+=1.

到此，完成了對課本上算理的分析. 問題解決是一種學習方式，提出問題更是新課程的較高要求. 教師在課堂中要適度引入問題解決的思想，引導學生自主解決課本中的探究. 同時也要不斷利用追問，培養(yǎng)學生通過提問來推動問題解決的前進. 通過師生共同計算，學生知道了該怎么化簡，此時教師要把握教育契機，引導學生大膽地思考其他方法. 師生共同探討：

方法二：用均值換元法

書上介紹的方法直接通過移項平方進行化簡，這是課堂示范的重點，屬于通性通法；方法二通過均值換元，把問題轉(zhuǎn)化為含一個根式的化簡；方法三利用三角換元，運用三角恒等式，也把問題轉(zhuǎn)化為含一個根式的化簡. 不同的解法有不同的優(yōu)點，通過不同的化簡途徑，及時總結(jié)出各種化簡技巧，提高運算能力.

[?] 視角三 依托教材問題，研究問題變式

在新課程標準的指引下，數(shù)學教學方法也在不斷改進、創(chuàng)新. 數(shù)學教學不應局限于一個狹窄的課本知識領域里，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步地深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三. 應用數(shù)學“變式教學”的方法是十分有效的手段，所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化，即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式，配置實際應用的各種環(huán)境，但應保留好對象中的本質(zhì)因素，從而使學生掌握數(shù)學對象的本質(zhì)屬性.

數(shù)學教材是數(shù)學知識的載體，是學生學習和掌握數(shù)學知識的基本工具，也是教師向?qū)W生系統(tǒng)傳授知識、進行教學活動的主要依據(jù). 新課程所倡導的“用教材”的主要精髓在于教師在課堂教學過程中能夠?qū)滩倪M行靈活的處理和運用，靈活的處理和運用的關鍵在于吃透教材，只有在熟悉課程標準、吃透教材的基礎上，教材的精神才能內(nèi)化為教師自己的教學思想，才能在課堂上對教學內(nèi)容揮灑自如、得心應手. 因此，深入鉆研教材，正確使用教材是非常重要的，它是優(yōu)化課堂教學的前提，更是顯示教師教學能力和學識水平的重要標志. 教材中的數(shù)學問題內(nèi)容豐富，層次分明，有例題、練習題、習題、復習參考題等，對其中的不少問題稍作改編，就能得到一道高考試題.

例3 （人教版A版選修2-1第47頁例7）已知橢圓+=1，直線l：4x-5y+40=0. 橢圓上是否存在一點，使得它到直線l的距離最小？最小距離是多少？

在解完整個題的基礎上，教師可以引導學生將原題的問題提煉成一個新的概念，在數(shù)學上可以定義此最小值為曲線到直線的距離，把學生熟悉的“點到直線的距離”定義成了“曲線到直線的距離”，甚至還可以將定義類比推廣為“兩條曲線間的距離”，比如說兩圓之間的距離. 類似這樣考查新概念的問題在高考中屢見不鮮. 例如下面一道題：

（2012年高考數(shù)學浙江卷理科第16題）定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離. 已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實數(shù)a=_______.

解析：和書上例題類似，教師引導學生在理解“曲線到直線的距離”的概念的基礎上，將它轉(zhuǎn)化為普通的求點到直線的距離的題型，最后利用類比思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

幾乎每年的高考數(shù)學試題中都有一些“似曾相識”的題目，而這些“似曾相識”的題目大多數(shù)是源于教材問題的 “變式”. 在課堂教學中，如果我們圍繞教材重點、難點，通過改變課本例題、練習題、習題中的某些條件或結(jié)論，使之成為一個新題，或者得到一種解決問題的新的方法，這樣的變式教學必將激發(fā)學生的學習興趣，拓展學生的數(shù)學視野，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

[?] 視角四 引導學生反思，成就思維高度

在數(shù)學學習中，如果僅僅致力于做題，從本質(zhì)上講只是一種重復訓練，它確實能提高學生解題的熟練程度，但對解題能力的真正發(fā)展卻不一定起到很大的作用. 著名數(shù)學教育家G·波利亞講過：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”. 所謂回顧，就是指解題后的反思與總結(jié). 那么，該如何反思與總結(jié)呢？筆者認為可以從以下幾點去考慮：

首先解完一道題，教師引導學生對這道題作進一步的思考：答案是否合理？解題過程是否使用了題中所有條件？題目所要求的問題解決了嗎？解題思路是否嚴密？解題過程是否合理？……反思整個解題過程，能避免偏離題設的錯誤，并及時修正解題中的錯誤.

其次由于數(shù)學知識之間是有機聯(lián)系、縱橫交錯的，所以很多數(shù)學問題的解法并不唯一. 解完題后，教師引導學生從多個角度進行思考，看看是否還有其他解法. 通過探求一題多解，可以防止思維定式，及時總結(jié)出各類解題技巧，找出最合適的解題方式，更快捷地解決問題.

再次解完一個問題以后，教師還可以引導學生想想看：命題的逆命題是否成立？題目中有沒有蘊涵規(guī)律性的內(nèi)容？問題經(jīng)過拓展，能否得到一般性的結(jié)果？養(yǎng)成這種“打破砂鍋問到底”的習慣，有助于增加知識存儲量和思維深度，更有助于促進學生完善認知結(jié)構(gòu).

在復習課中，筆者曾就一個高考題中的結(jié)論引導學生進行了反思拓展.

例4 （2011年高考數(shù)學山東卷（理科）第22題第1問）已知動直線l與橢圓C：+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩個不同的點，且△OPQ的面積S△OPQ=， 其中O為坐標原點. 證明：x+x和y+y均為定值.

解析：如圖3所示，當直線l的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，所以x2=x1，y2=-y1.

綜上所述，x+x=3，y+y=2，結(jié)論成立.

做完這樣一道似乎含有結(jié)論性內(nèi)容的題目后，如果把它丟在一邊，那真是非常可惜. 筆者引導學生反思如下幾個問題：（1）只要△OPQ的面積為定值，x+x和y+y就一定為定值嗎？通過研究可以發(fā)現(xiàn)，“S△OPQ=”是一個非常重要的條件，如果△OPQ的面積取任意一個常數(shù)，而不是取，則x+x和y+y就不一定為定值.（2）S△OPQ=，x+ x=3，y+y=2，這些數(shù)據(jù)與橢圓標準方程+=1中的a，b是什么關系？這樣的問題是由思維的拓展性所產(chǎn)生的，也就是由特殊到一般的思考方式. 不難發(fā)現(xiàn)，如果推廣到一般的情況，似乎有“若S△OPQ=ab，則x+x=a2，y+y=b2”，讓學生思考能否證明這個結(jié)論. （3）如果橢圓的方程為+=1，那么當△OPQ的面積為多少時，x+x和y+y就一定為定值，這個定值是多少？由第2問，這個問題的結(jié)論顯而易見. （4）如果x+x或y+y取定值，△OPQ的面積能否為定值？如果是定值，這兩個定值與橢圓標準方程+=1中的a，b是什么關系？這是對原題的反向提問，也就是對問題的逆向思維，實際上，如果x+x=a2或y+y=b2，△OPQ的面積才能為定值，且S△OPQ=ab. 通過對這幾個問題的思考，可以得到以下結(jié)論：當且僅當S△OPQ=ab時，x+x=a2，y+y=b2. 教師還可以引導學生思考一下，在雙曲線或者拋物線中有沒有類似的結(jié)論.

教師引導學生經(jīng)常對問題作出合理的猜想和適度的拓展，勢必能提高學生分析問題和解決問題的能力，更重要的是有助于提高學生提出問題的能力，形成創(chuàng)新思維.

古人云：“授之以魚，不如授之以漁.”因此在日常教學中，教師不僅僅是教知識，更重要的是讓學生知道怎樣去學習知識，獲取知識，如何把所學的知識運用到具體的問題解決中去. 讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學思考過程，明確研究的問題，選取研究的方法，構(gòu)建研究的過程，從而獲得研究的結(jié)論. 波利亞認為，教書是一種有無數(shù)大小訣竅的行業(yè)，通過努力，總可以講得更深刻更生動. 只要教師肯下功夫，學生的思維一旦被激活，數(shù)學教育的成功就自然在我們的期待之中了.