“錯誤”是數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的一筆重要資源

黃如養(yǎng)

摘 要：在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會犯各種各樣的錯誤，這些“錯誤”是學(xué)生自己“創(chuàng)造”出來的寶貴教育教學(xué)資源.就如何挖掘“錯誤”的教育教學(xué)價值談幾點做法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；“錯誤”；教學(xué)價值

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常遇到學(xué)生出現(xiàn)的一些“錯誤”，如對概念、定義理解的錯誤，對公式、定理應(yīng)用的錯誤，對解題策略方法的錯誤等.因此，我們要重視學(xué)生的“錯誤”，充分挖掘“錯誤”的教育教學(xué)價值，善于把這些“錯誤”轉(zhuǎn)化為教育教學(xué)的資源，在“錯誤”的基礎(chǔ)上取得教育教學(xué)實效.

一、利用“錯誤”教育資源，培養(yǎng)學(xué)生正確的人生態(tài)度

課堂上常常會見到下面這種現(xiàn)象：教師提出問題，希望學(xué)生就此問題發(fā)表看法時，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)學(xué)生將目光回避老師，低頭不語，他們的神情表明他們不愿發(fā)表自己的想法.因此，當(dāng)學(xué)生回答錯時，教師要發(fā)揮自己的教育智慧，對學(xué)生回答中的閃光之處給予肯定和鼓勵，讓他們下次還勇于滿懷信心地發(fā)出自己的聲音.

一次，在課堂上做這樣一道習(xí)題：已知圓O1：x2+y2=1和圓O2：x2+y2+10y+16=0都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程.

請一個學(xué)生在黑板上寫出他的解題過程，他是這樣解的：

圓O2：x2+y2+10y+16=0，即為x2+（y+5）2=9，所以圓O2的圓心為O2（0，-5），半徑r2=3.

而圓O1：x2+y2=1的圓心為O1（0，0），半徑為r1=1.

則O1M=r-1，且O2M=r-3，所以O(shè)1M-O2M=2；故點M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點，實軸長為2的雙曲線，其軌跡方程為：（y+）2-=1.

當(dāng)時有的學(xué)生對此表示認(rèn)同，有的提出異議，經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)錯在將O1M-O2M=2看成│O1M-O2M│=2，誤認(rèn)為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是對雙曲線概念理解不透所致，事實上，O1M-O2M=2表示動點M到定點O1與O2的距離差為一常數(shù)2，且O1O2=5>2，故點M的軌跡為雙曲線下支，方程為：（y+）2-=1（y≤-）.

糾錯后，教師首先對學(xué)生能有勇氣到黑板上寫出自己的解題過程及解題過程中可取之處給予肯定，提高學(xué)生自信心.另外，應(yīng)讓每個做錯的學(xué)生看到解錯的不只是自己，不必妄自菲薄.而且，讓學(xué)生從“錯誤”中領(lǐng)悟“不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎能見彩虹”這個簡單而有詩意的人生哲理.

二、利用“錯誤”教學(xué)資源，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生出錯時，正確的處理方法不是簡單地告訴正確結(jié)論就了事，應(yīng)對錯誤作出具體分析，設(shè)法使學(xué)生看到認(rèn)知沖突之所在，從而使認(rèn)知結(jié)構(gòu)更合理，思維更嚴(yán)謹(jǐn).

例如，實數(shù)列{an}的前項和為Sn，有下列幾個命題：

①若{an}是等比數(shù)列，且anam=apaq，（m，n，p，q∈N*），則m+n=p+q；

②若{an}是等差數(shù)列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等差數(shù)列；

③若{an}是等比數(shù)列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比數(shù)列；

④若{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{Sn}可能是等比數(shù)列.

其中正確命題的序號是（ ）

A.②④ B.②③④

C.①②③④ D.①②③

有的學(xué)生認(rèn)為A對，有的學(xué)生認(rèn)為B對，他們的意見分歧就在命題③，教師請持不同意見的甲、乙兩個學(xué)生陳述他們的理由，認(rèn)為③對的甲同學(xué)說：設(shè){an}的公比為q，則Sn=，S2n-Sn=-=qn，同理得S3n-S2n=q2n，故Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是公比為q的等比數(shù)列.認(rèn)為③不對的乙同學(xué)舉例反駁：如數(shù)列1，-1，1，-1，…是公比為-1的等比數(shù)列，但S2=0，S4-S2=0，S6-S4=0，可見S2，S4-S2，S6-S4不能構(gòu)成等比數(shù)列，認(rèn)為③對的同學(xué)意識到他們的判斷是錯的.至此，教師繼續(xù)引導(dǎo)大家分析甲同學(xué)的判斷有何不妥，分析后他們認(rèn)為：（1）甲同學(xué)只用了等比數(shù)列在公比q≠1時的求和公式sn=，沒考慮q=1的情形，思維不嚴(yán)謹(jǐn)；（2）當(dāng)q=-1且n為偶數(shù)時，Sn=0，S2n-Sn=0，S3n-S2n=0，此時，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…不能構(gòu)成等比數(shù)列.教師繼續(xù)問：“那么命題③作何補充可以成為真命題呢？”學(xué)生對這一問題反應(yīng)熱烈，并作出準(zhǔn)確回答.

在教學(xué)中，我們經(jīng)常遇到上述情況，教師引導(dǎo)學(xué)生糾錯的過程就是調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)使思維嚴(yán)密的過程，從而使學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性得到訓(xùn)練，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

三、利用“錯誤”教學(xué)資源，培養(yǎng)學(xué)生辨別意識，提高辨別能力

教育心理學(xué)指出：“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息.”錯解的剖析，不僅能深化對知識的理解，還可以使學(xué)生以批判的眼光看待問題，提高獨立思考的能力，不人云亦云.

例如，計算（）10

解法1：（）10=[（）3]=1=1

解法2：（）10=（）9+1=（）9（）=[（）3]3（）=

這兩個結(jié)果鮮明的對比，使學(xué)生的認(rèn)知發(fā)生強烈沖突，通過師生剖析，學(xué)生認(rèn)識到冪的運算性質(zhì)（am）n=amn在復(fù)數(shù)集中成立的條件是m，n均為整數(shù).通過這樣的糾錯教學(xué)，清理了學(xué)生隱蔽的思維障礙，調(diào)整了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了辨別意識，提高了辨別能力.

四、利用“錯誤”教學(xué)資源，培養(yǎng)反思意識，提高反思能力

在解數(shù)學(xué)題時犯錯誤的機會很多，解題后的反思是檢查錯誤的重要方法，也是形成反思習(xí)慣、提高反思能力的重要途徑.

例如：已知直線（2m2+m-3）x+（m2-m）y-2m=0與直線x-y=1平行，求m的值.

解：由=≠得m=1或m=-1.

若不加反思，很可惜答案是錯的.事實上我們反思一下，當(dāng)m=1時，第一條直線的方程變?yōu)?=-2，這不可能；當(dāng)m=-1時，兩直線重合.可見，反思確實是檢查錯誤的一面“鏡子”，反思的過程就是精益求精的過程.

每個學(xué)生都有著自己獨特的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，他們以自己的方式建構(gòu)自己對知識的理解，所以在學(xué)習(xí)過程中，犯錯通常是不可避免的.學(xué)生在學(xué)習(xí)中所犯的“錯誤”是寶貴的教育教學(xué)資源，教師要善于挖掘“錯誤”的教育教學(xué)價值，使學(xué)生能在錯誤中獲得豐厚的收益，提高教育教學(xué)實效.

（作者單位 廣東省開平市風(fēng)采中學(xué)）