立意于“過程”觀點的課例

余黎剛　鄔云德

[摘 要] 立意于“過程”觀點的教學怎樣操作？本文以“認識三角形”為載體進行了探索. 初步實踐驗證表明，探索中形成的教學操作方法對落實“過程”觀點有積極的影響.

[關鍵詞] 初中數(shù)學；過程觀點；認識三角形；教學操作

引言

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“數(shù)學課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學的結果，也包括數(shù)學結果的形成與應用的過程和蘊涵的數(shù)學思想方法.”這意味著概念的形成過程、原理的發(fā)現(xiàn)與推導過程、概念或原理與外部的聯(lián)系及與內(nèi)部的聯(lián)系的探索過程、概念或原理的特殊化及一般化的探索過程、發(fā)現(xiàn)和提出問題及分析和解決問題的過程、問題解決后的反思過程等是數(shù)學課程內(nèi)容的有機組成部分，特別是數(shù)學思維和思想的展開過程是數(shù)學課程的重要內(nèi)容.

這個“過程”觀點符合數(shù)學教學是以數(shù)學知識為資源和手段來“育”人的教育學立場. 立意于“過程”觀點的教學怎樣操作？筆者以浙教版《義務教育課程標準教科書·數(shù)學》八年級上冊“1.1認識三角形（1）”為載體，采用研究性變革實踐的方式進行了探索. 初步實踐驗證表明，探索中形成的教學操作方法對落實這個“過程”觀點有積極的影響. 本文簡錄其教學過程，并提供教后反思，供讀者參考、研究.

教學過程簡錄

環(huán)節(jié)1：明確“研究對象”

在現(xiàn)實世界中，存在著各種各樣與三角形有關的物體. 例如，鐵塔中的三角形支架、自行車中的三角檔、三角形的警示牌等（教師可用多媒體展示三角形的生活實例）. 因此，研究三角形的“形狀、大小、位置關系及其組成要素之間的基本關系”，有助于數(shù)學地認識世界和改造世界，也能在研究過程中發(fā)展我們的智力和能力. 這節(jié)課的研究對象就是重要的基本圖形——三角形. （揭示課題）

環(huán)節(jié)2： 定義“研究對象”

（1）畫圖：請你用合適的畫圖工具在白紙的適當位置上畫一個三角形.

（2）觀察：數(shù)學地看畫三角形的過程，三角形是怎樣形成的？其幾何特征是什么？請大家合作研討并發(fā)表自己的觀點?。ㄈ切蔚奶卣饔校菏欠忾]圖形，有三條線段，有三個角，三條線段不在同一條直線上，三條線段首尾順次相接等. 其本質(zhì)特征是：三條線段不在同一條直線上且三條線段首尾順次相接）

（3）歸納：再畫一個三角形，它有同樣的幾何特征嗎？一般地，三角形共同的幾何特征是什么？

（4）定義：像研究其他幾何圖形一樣，為了以后研究與敘述方便的需要，我們給這種幾何圖形一個名稱——由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 并介紹表示三角形的符號“△”，頂點、邊、內(nèi)角等組成要素，及表示三角形的方法等.

（5）反思：①產(chǎn)生三角形還有哪些方法？②數(shù)學中的三角形與生活中的三角形有何關系？能再舉一個三角形的實例嗎？③上述過程中蘊涵了哪些數(shù)學思想方法？

環(huán)節(jié)3：生成“研究內(nèi)容”

（1）討論：平面幾何主要研究幾何圖形的“形狀、大小、位置關系及組成要素之間的基本關系”. 如圖1，三角形任意兩邊之和有何關系？為什么？再畫一個三角形，這個三角形任意兩邊之和是否也有這個關系？怎樣用符號來表示你發(fā)現(xiàn)的結論？

（2）反思：①三角形任意兩邊之差有何關系？你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？②三角形任意兩邊之積有何關系？（從運算的角度思考，是發(fā)現(xiàn)問題的常用方法，但這個問題不要求學生課內(nèi)解決）③三角形任意兩邊之和大于第三邊，那么，如果有三條線段a，b，c，且有a+b>c，a+c>b，c+b>a，則線段a，b，c能否組成三角形？為什么？（從逆命題角度思考也是發(fā)現(xiàn)問題的常用方法）④在研究性質(zhì)的過程中蘊涵了哪些思想方法？

（3）總結：①三角形邊與邊之間的數(shù)量關系有a+b>c，b+c>a，c+a>b，a-b

環(huán)節(jié)4：嘗試“知識應用”

問題1（知識技能）：請說出圖2中所有的三角形及每一個三角形的三條邊和三個內(nèi)角.？搖

教師在個別學生回答的基礎上進行點評.

問題2（運用規(guī)則）：如圖3，在△ABC中，D是AB邊上一點，且AD=AC，連結CD. 將“>”或“<”填入下面的橫線，并說明理由.

（1）AB______AC+BC.

（2）2AD______CD.

教師請個別學生回答，并及時進行點評.

問題3（理解概念）：判斷下列各組線段中，哪些能組成三角形，哪些不能組成三角形，并說明理由.

（1）a=2.5 cm，b=3 cm，c=5 cm.

（2）e=6.3 cm，f=6.3 cm，g=12.6 cm.

追問：有沒有簡單的判斷方法？

問題4（解決問題）：（1）一個三角形有兩邊相等，已知其中一邊是3 cm，另一邊是9 cm，則這個三角形的周長是多少？（2）要做一個三角形的鐵架子，已有兩根長分別為1 m和1.5 m的鐵條，需要再找一根鐵條，把它們首尾相接焊在一起. 小紅拿來的鐵條長2.2 m，小明拿來的鐵條長0.4 m， 這兩根鐵條合適嗎？你是怎樣判斷的？

先讓學生合作解答，再請個別學生陳述問題的答案，然后教師進行評價.

環(huán)節(jié)5：進行“課堂小結”

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）三角形是怎樣產(chǎn)生的？其本質(zhì)特征是什么？

（2）三角形邊與邊之間有何關系？你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

（3）判斷三條線段能否組成三角形的經(jīng)驗是什么？

（4）你在認識三角形的過程中，感受到了哪些思想方法？

（5）學習三角形有何意義？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

第三，教師讓學生欣賞三角形的自述（這部分內(nèi)容可以移至課后）：

Hi！我是三角形. 我的基本特征是不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接. 盡管我的結構比較簡單，但我有許多奇妙的性質(zhì)，并且生活中隨處可見我的身影. 告訴你，認識我要運用抽象問題具體化和一般問題特殊化的思維策略、定性與定量相結合的研究方法，要學會發(fā)現(xiàn)我組成要素之間關系的科學視角，要善用數(shù)形結合思想、分類討論思想、抽象概括的方法和演繹推理的方法，并且認識我的“基本套路”（明確對象—定義對象—研究性質(zhì)—廣泛應用）對認識其他幾何圖形有示范作用. 你在認識我的過程中，能理解和掌握我的有關知識與技能，能體會和運用蘊涵的數(shù)學思想與方法，能積累有關的數(shù)學活動經(jīng)驗，這對你增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力和形成良好的個性有積極的作用.

教后反思

之所以這節(jié)課立意于“過程”觀點，是因為其教學操作以“過程”觀點作為指導思想，具體教學操作方法如下.

（1）在分析基礎上確定教學內(nèi)容. 如“認識三角形（1）”這節(jié)課，先根據(jù)知識的邏輯體系構建如下“知識框圖”（圖4）.

再對知識之間的邏輯關系進行解析，并論證認知所需要的條件，然后以全面的內(nèi)容觀和辯證的哲學觀為指導確定教學內(nèi)容……在分析基礎上確定教學內(nèi)容是落實“過程”觀點的前提.

（2）把知識結構轉化為教學結構. 知識結構刻畫的是知識之間的邏輯關系，一般不能作為教學的過程結構，教師必須依據(jù)數(shù)學的發(fā)展規(guī)律、學生學習數(shù)學的認知規(guī)律和教育的規(guī)律，把學術形態(tài)的知識結構轉化為易于學生接受的教學結構. 如“認識三角形（1）”的教學結構可用框圖表示. （圖5）

這是一個自然、簡單、動態(tài)、和諧的數(shù)學教育過程，能使學生經(jīng)歷完整的數(shù)學思考過程. 將知識結構轉化為合適的教學結構是落實“過程”觀點的關鍵.

（3）運用先“放”后“收”的方法. 先“放”后“收”就是“先教師組織學生進行價值引導下的有適度指導的自主學習基礎上的合作學習，再教師進行必要的示范、講解、歸納或總結”的適度開放式教學方法. 如定義三角形的教學方法是先組織學生在畫圖基礎上自主觀察三角形的特征；再組織學生討論三角形的本質(zhì)特征；然后教師講述三角形及其有關概念，以及引導學生在反思基礎上進行總結. 這種先“放”后“收”適度開放的教學方法的基本特點是教師價值引導與學生自主建構相結合，并使用了有導學味的問題引導、有啟發(fā)性的語言點撥、必要的講解與歸納等的教學指導方法. 這是落實“過程”觀點的基本保障.

總之，“過程”觀點體現(xiàn)了“數(shù)學教育是以數(shù)學知識為資源和手段來育人”的教育學立場和數(shù)學教學是“以知識教學為基點、以能力培養(yǎng)為核心、以個性教養(yǎng)為目標”的和諧教學理念，而這節(jié)課形成的教學操作方法對落實“過程”觀點有積極的影響，對促進學生理解和掌握數(shù)學知識與技能、領悟數(shù)學思想和積淀數(shù)學活動經(jīng)驗、增強發(fā)現(xiàn)和提出問題及分析和解決問題的能力、形成良好的個性有積極的影響.