讓課本習(xí)題“開放”起來

羌鋒建

[摘 要] 本文從“條件開放”“結(jié)論開放”“過程開放”三個角度舉例說明了如何充分利用教材中的課后習(xí)題進行改編或開放探索，即教師應(yīng)在平時的教學(xué)中進行“開放型”問題訓(xùn)練，從而提高學(xué)生解決本類問題的能力.

[關(guān)鍵詞] “開放型”問題；課本習(xí)題；條件開放；結(jié)論開放；過程開放

近年來，開放探索型問題在中考試題中屢見不鮮. 所謂“開放型”問題，是相對于有明確條件和結(jié)論的傳統(tǒng)封閉型問題而言的，它內(nèi)容新穎、形式活潑，具有背景新、解法活、綜合性強、無現(xiàn)成模式等特點. 在類型上，它可能條件不夠完備，結(jié)論也不唯一確定，解題的過程具有探索性，重在考查學(xué)生的獨立分析能力和探索能力，以及思維的創(chuàng)造發(fā)散性與完整條理性. 這類試題是在教學(xué)實踐和考試改革中逐步發(fā)展起來的，要求學(xué)生在解題過程中把觀察、試驗、猜想、證明等活動有機地結(jié)合在一起，屬于難度較大的問題. 實踐也表明，學(xué)生在考試中此類試題的得分率不高. 這種綜合解題的能力顯然也不能通過考前的一些專題練習(xí)就起到立竿見影的效果，需要在平時的教學(xué)中就有意識地進行訓(xùn)練.

如何在不加重學(xué)生另外的負擔(dān)前提下，解決開放試題的能力得到訓(xùn)練和提高呢？這就需要教師在備課和教材中動腦筋、做文章. 應(yīng)該指出的是，一方面，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教材中這類開放試題在課后習(xí)題里偶有出現(xiàn)，但有時卻沒有得到師生足夠的重視，并沒有將它們真正“開放”起來；另一方面，這類問題畢竟還是太少，而且“開放”的程度并不夠，經(jīng)常有淺嘗輒止之感. 所以，適當(dāng)?shù)貙⒄n本上的某些習(xí)題進行改造，讓一些封閉題開放起來，長此以往，對學(xué)生綜合解決開放試題能力的提高將大有裨益. 本文根據(jù)開放試題的常見類型，以江蘇科學(xué)技術(shù)出版社（簡稱“蘇科版”）《數(shù)學(xué)》七年級教材為例，說明如何讓書本的習(xí)題開放起來的一些方法.

類型1：條件開放題

教材中的例、習(xí)題的條件一般都是結(jié)論的充分條件. 若把條件減弱，有時題目的解法和結(jié)論會有很大的變化，從而使題目具有開放性.

例1 （原題，《數(shù)學(xué)》七年級上冊第110頁第11題）甲、乙兩站相距448 km，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為60 km/h；一列快車從乙站出發(fā)，速度為100 km/h. 兩車同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)后多少時間兩車相遇？

這是一道典型的行程問題中的相遇問題，學(xué)生解答時沒有什么困難. 這時可以將題目中的條件減弱，改造成一道綜合性“開放”題.

改編題 甲、乙兩站相距448 km，一列慢車和一列快車同時從兩站出發(fā)，速度為60 km/h和100 km/h. 出發(fā)后多少時間兩車相距48 km？

這里僅告訴兩車相距48 km，并沒有說明兩車相距的類型. 條件的減弱，可使思維的空間拓寬，思維的難度加大，結(jié)論不唯一，是典型的條件開放題. 事實上，經(jīng)過改造，本題共有兩種不同的情況，學(xué)生通過完成此題，對于行程問題會有更全面的認識和提高.

例2 （原題，《數(shù)學(xué)》七年級下冊第116頁第2題）如圖1，若AB=DC，AC=DB，則△ABC與△DCB全等嗎？為什么？

三角形全等的問題是平面幾何中最基本的問題之一，在中考試題中一般不僅有獨立的考點，而且有基本概念、圖形定理滲透到綜合題中，因此對三角形全等的判定和性質(zhì)應(yīng)有熟練的掌握. 如本題可將條件完全舍去，改造成一道似乎沒有條件的“開放題”.

改編題 如圖1，你能只增加兩個條件，使△ABC與△DCB全等嗎？你有多少種不同的增加方法？

在本題中，學(xué)生首先要看到BC是公共邊這個條件，然后可以分別按照三角形全等的判定方法——“AAS”“ASA”“SAS”“SSS”等分類考慮有多少種不同的增加方法（所添加的條件既可以是直接的，也可以是間接使得這兩個三角形全等）. 這樣的一個問題就幾乎包含了全部三角形全等判定的方法的運用.

另外，執(zhí)果溯因是解題時常用的思維方法，也可用這種方法改編一些習(xí)題使之開放.

例3 （原題，《數(shù)學(xué)》七年級下冊第76頁練習(xí)）把m 2-9n 2分解因式.

改編題 請寫出一個多項式，使之可以運用平方差公式進行因式分解，且有一個因式為m+3n.

類型2：結(jié)論開放題

傳統(tǒng)的例、習(xí)題結(jié)論大都有明確的指向，但由題目的條件并非僅能推得唯一的結(jié)論，所以教師可把明確指向的結(jié)論改為探究結(jié)論的可能性，從而使題目具有開放性.

例5 （原題，《數(shù)學(xué)》七年級上冊第133頁第25題）圖2和圖3分別由6個小正方形組成，這兩個圖形中，能通過折疊圍成一個正方體的是______（填“圖2”或“圖3”）.

這個問題滲透了轉(zhuǎn)化的思想，因為學(xué)生經(jīng)過折疊就能感受立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，知道有些立體圖形可以按不同的方式展開成平面圖形，而有些平面圖形也可以折疊成立體圖形.

改編題 請你為紙盒廠設(shè)計一些平面圖形，使它們可以折疊成正方體. 你有多少種不同的設(shè)計方案？（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或翻折能夠重合的只能算一種）

在這個問題的探索，討論過程中，學(xué)生會對正方體在展開與折疊過程中的一些特性有更深入理解的同時，會讓他們感受到原來數(shù)學(xué)內(nèi)容離自己這么近，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)可以這樣開放，探索與合作交流的過程可以如此豐富. 而這正是新課標(biāo)、新教材的目標(biāo)所在，也是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的真正目的所在.

例6 （原題，《數(shù)學(xué)》七年級上第58頁第17題）桌子上有3只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使它們翻成杯口全部朝下？如果用“+1”“-1”分別表示杯口的不同朝向，你能用有理數(shù)的運算說明其中的道理嗎？

這是一道很好的“用數(shù)學(xué)”試題. 通過本題，學(xué)生可以加深對正負數(shù)性質(zhì)的理解；同時，本題也可以用“奇偶分析”的方法進行探索、研究.

改編題 桌子上有4只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使它們翻成杯口全部朝下？如果有5只杯子，每次翻轉(zhuǎn)4只呢？如果有m只杯子，每次翻轉(zhuǎn)n（n

這樣的改編，有一定的層次和梯度，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；學(xué)生在對m和n取值的討論中，不僅能充分達成原題的任務(wù)，而且對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法有更進一步的認識和提高.

例7 （原題，《數(shù)學(xué)》七年級下冊第31頁第8題）如圖4，小明從六邊形草地ABCDEF的邊AB上的一點S出發(fā)，沿著這個六邊形的邊步行一周，最后仍回到起點S處. 小明轉(zhuǎn)過的角度是多少？

圖中的虛線與各邊的夾角實際上就是小明每次轉(zhuǎn)過的角度，如果說這道題僅僅是計算出小明一共轉(zhuǎn)了360°，那么就辜負了這樣一道“好題”. 其實這道題的意圖更在于讓學(xué)生明白外角和的實際意義. 事實也是如此，更多的學(xué)生對于外角和的理解僅局限在360°這個數(shù)上.

改編題 如果將上題中的六邊形改成七邊形、八邊形呢？n邊形呢？

通過探索學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，不論邊數(shù)怎樣改變，這個角度并沒有改變（為360°），究其本質(zhì)，正是因為每次所轉(zhuǎn)角度即為這個多邊形的一個外角，回到出發(fā)處時也即是轉(zhuǎn)了一圈（360°），轉(zhuǎn)過的角度即為多邊形的外角和360°. 這樣，學(xué)生對外角和的理解就不再僅停留在一個具體的數(shù)上，正所謂，“知其然，更知其所以然”.

類型3：過程開放題

如果說題目的開放還僅僅是形式上的改變的話，那教師和學(xué)生還應(yīng)在教學(xué)過程中從思想上進行開放，才能真正達到開放題的訓(xùn)練效果.

例8 （原題，《數(shù)學(xué)》七年級上冊第174頁第14題）

（1）若平面內(nèi)有點A，B，C，過其中任意兩點畫直線，最少可以畫幾條直線？最多可以畫幾條直線？

（2）若平面內(nèi)有點A，B，C，D，過其中任意兩點畫直線，最多可以畫幾條直線？

（3）若平面內(nèi)有5個點呢？有n個點呢？

應(yīng)該說這已經(jīng)是一個很不錯的開放題了，學(xué)生通過分析、歸納可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而得出一般性的結(jié)論. 在這樣的問題探索過程中，學(xué)生的情緒是積極的，興趣是濃厚的，但假如教師再“開放”一些，趁熱打鐵，也許還能有更大的收獲.

改編題1 全班連同老師共42人，每兩人之間握一次手，一共會握手多少次？

改編題2 在南京到上海的鐵路線上，中途還有7個?？空荆敲?，在往返南京和上海的火車上應(yīng)準(zhǔn)備多少種不同的車票？

學(xué)生能夠主動地發(fā)現(xiàn)這些類型題的相似性，做出相同的推理，即“類比”方法的自覺應(yīng)用，這是比得到問題的解更令人欣喜的事情. 可以這樣說，學(xué)生會不會學(xué)習(xí)，能不能主動、有意識地進行同一系統(tǒng)、不同系統(tǒng)間的類比是一個很重要的指標(biāo)，而這樣的兩個改編題則為培養(yǎng)學(xué)生的“類比”能力提供了很好的示例和機會. 改編還在繼續(xù).

改編題3 平面上有n個點（n≥3），且任意三個點不在同一條直線上，過任意三個點作三角形，一共能作出多少個不同的三角形？（說明：三角形的頂點必須是所給出的點）

一石激起千層浪. 改編題3可以看成是將原題的一個推廣或者叫“一般化”，從已知對象的研究到包含已知對象的更大一類對象的研究——通常所謂的“舉一反三”. 學(xué)生自己都可以進行改編了（以下兩題為學(xué)生的改編題）.

改編題4 平面上有n個點（n≥4），且任意三個點不在同一條直線上，過任意四個點作四邊形，一共能作出多少個不同的四邊形？

改編題5 平面上有n個點（n≥5），且任意三個點不在同一條直線上，過任意五個點作五邊形，一共能作出多少個不同的五邊形？

……

學(xué)生若具有推廣意識（這是提出問題的一種有效方式），就會主動地發(fā)現(xiàn)和提出問題，并且具有解決問題的強烈動機，因為問題是自己提出的，是自己感興趣的，而不是外界強加的或逼迫的，所以學(xué)生能夠積極主動地進行探究.

在此基礎(chǔ)上，有人索性總結(jié)出一般性結(jié)論：

平面上有n個點（n≥m），且任意三個點不在同一條直線上，過任意m個點作m邊形，一共能作出■個不同的m邊形.

還有人提出這樣的問題：用1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字，任選三個可以組成多少個不同的三位數(shù)？

課堂的“混亂”讓老師“快樂”得根本不想去控制，而是不失時機地“趁亂添一把火”. 課堂真正的活躍是指學(xué)生思維活動的活躍，而不是指學(xué)生對那種沒有思考性的問題答來答去的表面熱鬧. 而貫穿于課堂始終的是“問題”，所以，教師在教學(xué)中適當(dāng)把握時機地給學(xué)生創(chuàng)設(shè)存在問題和發(fā)現(xiàn)問題的情境的話，能使學(xué)生的思維活躍起來，從而使他們生動活潑地、主動地探求和掌握知識.

對于開放試題類型的分類并沒有也無需確定的標(biāo)準(zhǔn)，對于習(xí)題的改編或開放題的編制也沒有固定的方法，教師可以根據(jù)學(xué)生的實際情況和教學(xué)內(nèi)容靈活地進行選擇. 總之，教師通過開放試題的設(shè)問，能為學(xué)生提供廣闊的思維空間和探求知識的機會，同時激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，任學(xué)生的思維縱橫馳騁. 更由于這些開放試題似乎與課本習(xí)題息息相關(guān)，所以學(xué)生不會有距離或抵觸感，加上教師適時的點撥、啟發(fā)、鼓勵，甚至和學(xué)生一起加入到探求知識的行列之中，從而使教師的主導(dǎo)作用真正得到發(fā)揮. 在這個過程中，學(xué)生由于擺脫了固定答案、單一思路的束縛，自主地動眼、動腦、動手、動口，積極地觀察、分析、探索、思維，潛在智力會不斷開發(fā)，良好的思維品質(zhì)會不斷得到培養(yǎng)，學(xué)生深層次的思維領(lǐng)域和情感領(lǐng)域會真正參與學(xué)習(xí)過程，主體作用也會得到充分體現(xiàn). 長期的訓(xùn)練，能力自然能得到我們所期望的程度.