巧用“數(shù)形結(jié)合”思想處理“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”

張燕新

[摘 要] 本文通過(guò)實(shí)例詳細(xì)闡述了如何利用“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合、相輔相成”解決與圓有關(guān)的位置關(guān)系問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 與圓有關(guān)的位置關(guān)系；以形助數(shù)；以數(shù)解形

初中教材所涉及的“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”共有三方面，即點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系. 教材充分強(qiáng)調(diào)了數(shù)（數(shù)量關(guān)系）形（位置關(guān)系）結(jié)合思想，而在處理“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”時(shí)，我們就可以充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行互換，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題的目的.

“以形助數(shù)”

當(dāng)所遇問(wèn)題比較抽象時(shí)，可以根據(jù)題意畫出圖形，利用圖形直觀、形象的優(yōu)點(diǎn)幫助分析題意.

例1 矩形ABCD的長(zhǎng)AB為4 cm，寬AD為3 cm，以點(diǎn)A為圓心作圓，若B，C，D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍.

分析 可以首先畫出符合題意的矩形ABCD（如圖1），再分別找到B，C，D三點(diǎn)與圓心A的距離：AB=4，AC=5，AD=3. 通過(guò)這些數(shù)據(jù)可以判斷，點(diǎn)D距圓心A最近，點(diǎn)C距圓心A最遠(yuǎn)，由此可得點(diǎn)D一定在圓內(nèi)，點(diǎn)C一定在圓外，所以⊙A的半徑r的取值范圍為3

在利用“以形助數(shù)”時(shí)，首先要正確繪制圖形，只有正確的圖形才能正確反映相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；其次要善于觀察圖形，由于條件的變化，圖形中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系也隨之發(fā)生變化，如例2中“斜邊AB”就提示了本題雖然出于直線與圓的位置關(guān)系，但還有“線段”這個(gè)條件的限制，增加了題目的難度；最后綜合各方面因素，切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的關(guān)系，做到以圖識(shí)性.

“以數(shù)解形”

當(dāng)有些圖形過(guò)于簡(jiǎn)單，直接觀察看不出什么規(guī)律，且利用幾何方法無(wú)從下手時(shí)，不妨把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，再通過(guò)計(jì)算獲得簡(jiǎn)捷而一般化的解答.

例3 如圖4所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的關(guān)系？

（1）試寫出點(diǎn)A，B之間的距離d（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)A出發(fā)后多少秒兩圓相切？

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.” 這就明確告訴我們，“數(shù)”和“形”是互相聯(lián)系的，也可以相互轉(zhuǎn)化. 例4利用空間想象與數(shù)量計(jì)算相結(jié)合的方法使得解題明朗化.

總之，數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，使許多問(wèn)題的解決有事半功倍的效果. “以形助數(shù)”是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法；“以數(shù)解形”將圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，借助“數(shù)”的精確性來(lái)闡明“形”的某些屬性. 只有在點(diǎn)滴的教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，才能使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)看“數(shù)”想“形”、看“形”想“數(shù)”，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.