重溫經(jīng)典新解再現(xiàn)

李玉榮

[摘 要] 經(jīng)典的幾何題一是體現(xiàn)在題目的簡(jiǎn)潔美，二是體現(xiàn)在解法的多樣性，打造經(jīng)典幾何題成中考精品. 研究經(jīng)典幾何題解法是數(shù)學(xué)教師的一份職責(zé)，對(duì)教師自身專業(yè)發(fā)展也具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

[關(guān)鍵詞] 經(jīng)典；幾何題；翻折；旋轉(zhuǎn)；證法

題目 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，在斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，求證：MN2=AM 2+BN 2.

這是一道經(jīng)典的幾何題，最早出自何時(shí)何處已無(wú)從考證，但它的證法卻常常被解題者津津樂(lè)道，堪稱經(jīng)典. 特別是第一次接觸原題且自己獨(dú)立想出證法的同學(xué)，感受更為深刻，會(huì)從中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和解法的神奇美，從此愛上數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué). 此外，睿智的命題者也青睞此題，將其適度演變并打造成中考優(yōu)秀試題，讓更多的同學(xué)有機(jī)會(huì)體驗(yàn)，領(lǐng)略經(jīng)典證法的神奇.

案例1 （2008天津中考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°、半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M和點(diǎn)N.

（1）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖2，求證：MN 2=AM 2+BN 2.

思路點(diǎn)撥 考慮MN 2=AM 2+BN 2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化在直角三角形中解決.可將△ACM沿直線CE對(duì)折，得△DCM，連DN，只需證DN=BN，∠MDN=90°就可以了.

請(qǐng)完成證明過(guò)程.

（2）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，關(guān)系式MN 2=AM 2+BN 2是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【證法點(diǎn)評(píng)】 此考題設(shè)置了一種證法，通過(guò)翻折變換將原來(lái)在同一條直線上的三條線段放置在一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理即可證之.

案例2 （2012寧德中考）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：

如圖4，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E.

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連結(jié)AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC. 請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

（2）當(dāng)0°<α ≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD，CE，DE之間存在如下等量關(guān)系：BD 2+CE 2=DE 2.

同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決.

小穎的方法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△AFD，連結(jié)EF（如圖5）.

（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出：當(dāng)45°<α <135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD 2+CE 2=DE 2仍然成立.現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)探究：當(dāng)135°<α <180°時(shí)（如圖7），等量關(guān)系BD 2+CE 2=DE 2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【證法點(diǎn)評(píng)】 此考題設(shè)置了兩種證法，通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)變換將原來(lái)在同一條直線上的三條線段放置在一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理即可證之.

上述兩道中考題將經(jīng)典證法蘊(yùn)涵在試題中，給我們解決類似或相關(guān)問(wèn)題帶來(lái)的啟示是不言而喻的，但尊重經(jīng)典并不意味著拘泥經(jīng)典，數(shù)學(xué)的趣味性就在于我們推理和創(chuàng)造能力的充分發(fā)揮，超越經(jīng)典才是解題的最高境界. 筆者在欣賞、體會(huì)經(jīng)典證法的同時(shí)，思維并沒(méi)就此打住──還有其他證法嗎？用心尋覓，終有發(fā)現(xiàn)，愿與大家分享.

數(shù)學(xué)教育大師波利亞在《怎樣解題》一書中這樣告誡我們：一個(gè)好的教師必須使他的學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做，在經(jīng)過(guò)充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)，而且無(wú)論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解. 在日常解題教學(xué)中，教師要努力做出表率：“你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？”