求二次函數(shù)解析式方法探析

田桂珍

函數(shù)是描述變化的一種數(shù)學(xué)工具，而二次函數(shù)是函數(shù)家庭中的重要成員，對抽象思維的訓(xùn)練起著不可替代的作用 ，更是高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的一個基礎(chǔ). 在二次函數(shù)這章內(nèi)容中，求二次函數(shù)解析式又是非常重要的問題，在考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，學(xué)生又不能找出適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓旅嫖揖颓蠼馕鍪椒椒ㄗ鞒鲆韵路治?

（一）一般式法

已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過三點(diǎn)的坐標(biāo)，求函數(shù)解析式.像這樣的題型可以設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)拋物線所經(jīng)過三點(diǎn)的坐標(biāo)可列出關(guān)于a，b，c的方程組，解出a，b，c.這種題型相對比較簡單，下面看例題：

例題已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，當(dāng)x≥0時，其圖像如圖所示.求拋物線的解析式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).

分析通過圖像可以看出，拋物線經(jīng)過A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三點(diǎn)，我們可以借助二次函數(shù)一般式求出其解析式，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo).

點(diǎn)評可以看出這是數(shù)形結(jié)合的一道題目，通過圖像可以看出拋物線所經(jīng)過的三點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的一般解析式，解出a，b，c.需要注意的是：如果這道題是求“圖像所表示的函數(shù)解析式”，那就必須加上自變量的取值范圍x≥0.對于二次函數(shù)的一般式和頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，學(xué)生必須要靈活掌握，可以通過配方，也可以通過頂點(diǎn)式.

（二）頂點(diǎn)式法

已知二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），并且圖像上另一點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)解析式.對于這樣的問題，我們可以設(shè)函數(shù)的解析式為y=a（x-h）2+k，將另一點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a.

例題已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，3），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）求這個函數(shù)解析式.

點(diǎn)評對于這種題型，設(shè)頂點(diǎn)式比較簡單，但這并不是唯一的方法，也可以設(shè)一般式，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，再通過代入一點(diǎn)的坐標(biāo)列出相關(guān)等式，解出a，b，c.這種方法計算比較煩瑣，不建議用，但要讓學(xué)生知道一道題往往有多種方法.

（三）交點(diǎn)式法

已知二次函數(shù)圖像上的一點(diǎn)坐標(biāo)及x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)（c，0）（b，0），求函數(shù)解析式.我們可以設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-b）（x-c），再將另一點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a.

例題（2005蕪湖）已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過（2，-3），對稱軸x=1，拋物線與x軸兩交點(diǎn)距離為4，求這個二次函數(shù)的解析式.

分析解這類題將點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的長互相轉(zhuǎn)化非常重要，但要注意坐標(biāo)的符號，會運(yùn)用拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線對稱軸的關(guān)系這塊知識及x軸上兩點(diǎn)之間的距離確定拋物線與x軸的交點(diǎn)，再利用交點(diǎn)式法求拋物線的表達(dá)式.

點(diǎn)評本題考查了拋物線的對稱性和用頂點(diǎn)式法求拋物線的表達(dá)式，題目比較典型，并且運(yùn)用拋物線的對稱性迅速地求出該拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo).

小結(jié)求二次函數(shù)的解析式的常用幾種方法是：一般式法、頂點(diǎn)式法、交點(diǎn)式法， 如果學(xué)生都掌握好了， 擁有看圖的能力了， 具備找點(diǎn)的能力了， 遇到具體求二次函數(shù)解析式的問題能迅速設(shè)出相應(yīng)解析式， 使用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)， 進(jìn)一步求出拋物線的解析式， 這幾種方法學(xué)生都掌握了， 無論題設(shè)怎樣變化， 相信學(xué)生都能將函數(shù)的解析式求出來， 一定能很輕松地過求二次函數(shù)解析式這一關(guān).