與MH凸函數(shù)有關的積分不等式和單調函數(shù)

時統(tǒng)業(yè)，李照順，夏　琦

(海軍指揮學院 信息系， 江蘇 南京 211800)

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與MH凸函數(shù)有關的積分不等式和單調函數(shù)

時統(tǒng)業(yè)，李照順，夏琦

(海軍指揮學院 信息系， 江蘇 南京 211800)

摘要:利用MH凸函數(shù)與凸函數(shù)的關系，證明了MH凸函數(shù)單側導數(shù)的存在性和單調性，并通過不等式建立了MH凸函數(shù)與其單側導數(shù)的聯(lián)系．從MH凸函數(shù)的定義和基本性質出發(fā)，用普通數(shù)學分析的方法建立了若干MH凸函數(shù)的不等式，并證明了若干與MH凸函數(shù)有關的函數(shù)的單調性．

關鍵詞:MH凸函數(shù)；積分不等式；單調性；單側導數(shù)

0引言和引理

定義1[1]設f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)在I上稱為凸(凹)函數(shù)，當且僅當：對任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2)．

定義2[2]設I(0,+∞)，f：I→(0,+∞)，若對任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，存在r∈R，使得

(1)

則稱f為I上的MH-凸函數(shù)；若不等式(1)中的不等號反向，則稱f為I上的MH-凹函數(shù)．

當r=0時，MH-凸函數(shù)即GH-凸函數(shù)[3]．本文只考慮r≠0的情形．

引理1[2]設I=[a，b](0,+∞)，f：I→(0,+∞)，則f為I上的MH-凸(凹)函數(shù)的充要條件是為Ir={xr|x∈[a,b]}上的凹(凸)函數(shù)．

引理2[2]設I(0,+∞)，f：I→(0,+∞)，且二階可導，則f(x)為I上的MH-凸(凹)函數(shù)的充要條件是x[2(f′(x))2-f(x)f″(x)]-(1-r)f(x)f′(x)≤(≥)0 (x∈I)．

引理3[4]設f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在開區(qū)間(a，b)I內處處存在左、右導數(shù)(從而處處連續(xù))，且對x，y∈(a，b)，x

注1當f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù)時，也有相應結論，即引理3中的不等號反向．

引理4設f(x)為[a，b]上的凸(凹)函數(shù)，則對任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，有

證明當x=y時結論顯然成立.由凸(凹)函數(shù)的定義，對任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，x≠y，t∈(0，1)，有f(tx+(1-t)y)≤(≥)tf(x)+(1-t)f(y)，由此得

(i) f在(a，b)內任意點處的單側導數(shù)存在；

(ii) 當x，y∈(a，b)，x

(2)

(iii) 對任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，有

(3)

證明只證明r>0情形，當r<0時同理可證．

也即對任意x∈(ar，br)有

(ii) 當x，y∈(ar，br)，x

由此證得式(2)成立．

(iii) 因g(x)是[ar，br]上的凹(凸)函數(shù)，故由引理3證得式(3)成立．

本文首先建立一些MH凸函數(shù)的積分不等式，所采用的思想方法來自文獻[7]和[8]．然后建立一些與MH凸函數(shù)有關的四個單調函數(shù)，第一個來自于MH凸(凹)函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式，第二個是在研究MH凸函數(shù)的變上限積分的凸性時產生的，第三個單調函數(shù)由MH凸函數(shù)的定義生成，第四個由引理5關于單側導數(shù)的單調性得到．

1與MH凸函數(shù)有關的不等式

(4)

證明由MH凸函數(shù)的定義，對任意t∈[0，1]，有

(5)

當brf(b)≠arf(a)，且f(b)≠f(a)時，

當brf(b)=arf(a)時，

當f(b)=f(a)時，

(6)

證明由引理5，對任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，得

(7)

(8)

式(7)、(8)乘以xr-1然后分別在[a，y]和[y，b]上對x積分，然后相加即得式(6)．

(9)

其中

證明因為對任意x∈[a，b]有

分別取x=a和x=b，得s∈(-1,1)．在推論1中取y=Ar(a,b)，則式(9)的左邊不等式得證．

(10)

證明由引理5(iii)，對任意x∈[a，b]，有

(11)

同理可得

(12)

式(11)、(12)相加可得式(10)．

(13)

其中

s0∈(0,1)是方程1+cs=c(1-s2)[d+ln(1+s)-ln(1-s)]的唯一解．

證明在推論3中取y=Ar(a,b)，則式(13)的左邊不等式得證．又由引理6，式(13)的右邊不等式得證．

(14)

其中

證明由引理5(iii)，對任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，有

(15)

(16)

將式(15)、(16)乘以p(x)然后分別在[a，y]和[y，b]上對x積分，然后相加得

(17)

在式(17)中取y=y0，則y0∈(a,b)，且

2與MH凸函數(shù)有關的單調函數(shù)

在(a，b)上單調增加(減少)．

證明對任意x∈(a，b)，有

其中

-xf(x)f″(x)≤(1-r)f(x)f′(x)-2x(f′(x))2，

于是有

v(x)≤-x2(f′(x))2+2p(1-r)xf(x)f′(x)+(p+r)(1-r)f2(x)=

在(a，b)單調增加(減少)．

證明設f為單調增加的MH凸函數(shù).對任意x∈(a，b)，有

其中

由引理5及f的單調增加性有

又由MH凸函數(shù)定義有

證明對任意x∈(a，b)，有

因為x

參考文獻：

[1] 裴禮文．數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]．2版．北京：高等教育出版社，2006：268．

[2] 宋振云．MH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J]．杭州師范大學學報(自然科學版)，2015，14(2)：156-160．

[3] 陳少元．GH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J]．首都師范大學學報(自然科學版)，2013，34(5)：1-5．

[4] 劉三陽，李廣民．數(shù)學分析十講[M]．北京：科學出版社，2011:89．

[5] 楊軍．用單側導數(shù)判斷函數(shù)的單調性[J]．四川師范學院學報(自然科學版)，2000，21(1)：108-109．

[6] 李丹衡，鄧遠北．函數(shù)的左、右導數(shù)的應用[J]．高等數(shù)學研究，1999，2(3)：26-28．

[7] 張小明，褚玉明．解析不等式新論[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2009：139-148,180-184,198-200,208-212.

[8]DRAGOMIRSS，PEARCECEM．SelectedtopicsonHermite-Hadamardinequalitiesandapplications[EB/OL].[2015-10-12].http://rgmia.vu.edu.au/SSDragomirweb.html．

收稿日期：2015-11-16

作者簡介：時統(tǒng)業(yè)，男, 河北張家口人，海軍指揮學院信息系副教授.

中圖分類號：O178

文獻標識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0023-07

Integral Inequalities and Monotone Functions Related to MH-Convex Functions

SHI Tong-ye， LI Zhao-shun， XIA Qi

(Department of Information， PLA Naval Command College， Nanjing， Jiangsu,211800， P.R.China)

Abstract:With the aid of relationship between MH-convex functions and convex functions，the existence and monotonicity of unilateral derivatives of MH-convex functions are proved，and the relation between MH-convex function and its unilateral derivative is established through inequalities. Starting from the definition and basic properties of MH-convex functions，integral inequalities for MH-convex functions are obtained by using mathematical analysis，and the monotonicities of several functions related to MH-convex functions are proved．

Key words:MH-convex function；integral inequality；monotonicity；unilateral derivative