中學生對“字母表示數(shù)”認知發(fā)展的歷史相似性研究

陳靜安，黃啟亮，凡加云，鄔鴻欽

(1.廣東第二師范學院 數(shù)學系， 廣東 廣州 510303；2.六盤水第七中學， 貴州 六盤水 555300)

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中學生對“字母表示數(shù)”認知發(fā)展的歷史相似性研究

陳靜安1，黃啟亮1，凡加云2，鄔鴻欽1

(1.廣東第二師范學院 數(shù)學系， 廣東 廣州 510303；2.六盤水第七中學， 貴州 六盤水 555300)

摘要:“用字母表示數(shù)”是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，同時也是中學生從文字代數(shù)向符號代數(shù)過渡的重要階段.運用測試卷對七年級和高一年級學生關(guān)于“用字母表示數(shù)”的理解進行抽樣測試的結(jié)果顯示，學生對“用字母表示數(shù)”的認知發(fā)展過程與“字母表示數(shù)”意義演進的歷史發(fā)展過程存在顯著的相似性.這種歷史相似性對“用字母表示數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的教學與教材的編寫都有著重要的啟示意義.

關(guān)鍵詞:用字母表示數(shù)；文字代數(shù)；簡寫代數(shù)；符號代數(shù)；歷史相似性

1問題背景

在數(shù)學發(fā)展的歷史長河中，從算數(shù)到代數(shù)飛躍的標志是數(shù)學符號的引進.符號的引進，是數(shù)學準確并簡捷地表達概念、命題、證明及方法的必由之路[1]75.沒有符號的數(shù)學猶如沒有文字的語言一樣難以傳承、發(fā)展和不可思議.特別地，“用字母表示數(shù)”不僅是人類由自然的“算術(shù)語言”向抽象的“代數(shù)語言”過渡的開始，也是學生代數(shù)學習的入門知識以及后續(xù)學習方程式、不等式、函數(shù)等知識的重要基礎(chǔ).為此，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》在各學段中都將“數(shù)與代數(shù)”作為數(shù)學課程的重要組成部分，并且在第二學段目標明確要求“在具體的情景中能用字母表示數(shù)；了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，在第三學段目標強調(diào)“借助現(xiàn)實情景了解代數(shù)式，進一步理解用字母表示數(shù)的意義.能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示.”[2]

但是，教學實踐中，對“用字母表示數(shù)”的認知、理解和運用是學生代數(shù)學習中的難題和高門坎，因此成為課堂教學的難點.如蒲淑萍和汪曉勤研究了上海市七年級學生對字母的認知水平，結(jié)果顯示學生對字母意義的認知水平大多停留在“記數(shù)符號”和“未知量”的層次，對于字母表示“一類量”的思想存在認知困難[3]；虞琳娜針對小學生在自然數(shù)的表示中感悟字母的含義的研究發(fā)現(xiàn)，學生對“用字母表示數(shù)”的理解停留在“理解用字母表示一個數(shù)，但是難以想象這里字母表示的數(shù)可以是任意的”[4]；薛文敘關(guān)于學生對數(shù)和數(shù)的表示形式認知情況的案例研究發(fā)現(xiàn)，學生關(guān)于“用字母表示數(shù)”的理解存在諸多問題和障礙，例如學習了字母表示數(shù)后，對字母表示一類量并不理解、依然依賴于文字敘述的方式解題[5].受斯賓塞、波利亞等人關(guān)于“個體知識發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程”的歷史發(fā)生原理，以及克萊因“生物發(fā)生學的一項基本定律指出,個體的成長要經(jīng)歷種族成長的所有階段,順序相同,只是所經(jīng)歷的時間縮短……我想教授數(shù)學和其他任何事情一樣,至少在原則上要遵照這項定律”的啟發(fā)，本研究選取中學學段七年級和高一年級兩個具有典型代表性的年級作為樣本進行測試分析，并比對“用字母代表數(shù)”的歷史演進過程，旨在了解七年級和高一年級學生對“用字母表示數(shù)”的認識、理解和運用與歷史發(fā)展的相似性，以期對用字母表示數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學提供一些有益的啟示.

2研究過程與方法

為檢驗歷史相似性，首先采用文獻分析法，以厘清“用字母代表數(shù)”的歷史發(fā)展和已有研究對學生“用字母代表數(shù)”理解存在的困難分析.其次，為檢驗歷史相似性，運用問卷測試法和隨機抽樣對云南省某中學七年級30人和高一年級28人進行調(diào)查測試.問卷選取文[3]設(shè)置的3道測試題，測試卷緊扣《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》對“用字母表示數(shù)”的目標要求:“在具體的情景中能用字母表示數(shù)；了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，圍繞“用字母表示數(shù)”的意義理解及其對應(yīng)的3個歷史發(fā)展階段，旨在了解學生對用字母表示數(shù)的理解和運用水平，由此分析學生對字母表示數(shù)的認知發(fā)展過程與該知識發(fā)展的歷史是否存在相似性.具體測試題目如下： 試題1：游樂場的大轉(zhuǎn)盤的最高點、最低點分別距離地面110m、10m，這個大轉(zhuǎn)盤的半徑是多少？

試題2：已知圓的周長為r，圓的面積是多少？

試題3：已知兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差，求這兩個數(shù)？

3字母表示數(shù)的歷史演進過程

追溯歷史，不難發(fā)現(xiàn)，“用字母表示數(shù)”作為代數(shù)學最基礎(chǔ)的內(nèi)容，是四大文明古國和希臘人、阿拉伯人、西歐人接力完成的偉大成就，其間主要經(jīng)歷了古老的文字表達算術(shù)、丟番圖用字母表示未知數(shù)、直至韋達與笛卡爾系統(tǒng)的符號表達3個質(zhì)變、關(guān)鍵時期.19世紀德國數(shù)學史家內(nèi)塞爾曼依據(jù)時間順序并結(jié)合代數(shù)的表達方式在其《希臘代數(shù)》中首次將代數(shù)學的歷史演進過程劃分為3個主要階段：文字代數(shù)、縮寫代數(shù)、符號代數(shù)(或者修辭代數(shù)→縮略代數(shù)→符號代數(shù))[1]75.

3.1文字代數(shù)階段

公元3世紀以前、即古希臘丟番圖以前的時期，無論是河谷文明著稱的四大文明古國、還是海洋文明的領(lǐng)軍者古希臘，人們都還沒有想到使用任何符號表示數(shù)，所有數(shù)學問題及討論解決都是用文字來表達和說明[6]65.如我國用天、地、人、物表示未知數(shù)，甲、乙、丙、丁表示已知數(shù)而命名的天元術(shù)、四元術(shù)等代數(shù).總之數(shù)學停留在用文字作為記數(shù)符號階段，故這一時期的代數(shù)史稱文字代數(shù)或文詞代數(shù)、修辭代數(shù).

3.2簡寫代數(shù)階段

公元3世紀到15世紀的代數(shù)以引入字母代表未知量為典型特征，其中公元250年左右的數(shù)學家丟番圖被稱為古希臘代數(shù)學的鼻祖，是這一時期的典型代表.他在其《算術(shù)》中首次創(chuàng)用了一套縮寫符號，特別是他使用特殊的符號ζ表示未知數(shù)并用于計算，使得后人相信，盡管他的思想受到前期古希臘的深刻影響，但是他已經(jīng)完全擺脫古典時期的束縛.此外，他還創(chuàng)用↑表示減號，用專門的符號表達乘冪等[6]65.之后盡管越來越多的數(shù)學家使用不同的字母表示不同的量，但是可以看出字母總是表示未知量，而沒有一帆風順地朝著代表“一般量”、“一類量”繼續(xù)發(fā)展.這一時期是真正的符號代數(shù)出現(xiàn)之前的一個重要階段，數(shù)學史上稱為簡寫代數(shù)或縮寫代數(shù)、縮略代數(shù)階段.

3.3符號代數(shù)階段

16世紀法國杰出的數(shù)學家韋達在其1591年的著作《分析引論》中第一次有意識地系統(tǒng)引進字母來表示未知量、系數(shù)和方冪，體現(xiàn)了他對符號系統(tǒng)深刻的認識.他采用輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量.同時規(guī)定算術(shù)與代數(shù)的分界，他認為算術(shù)運算是施行于具體的數(shù)，而代數(shù)運算則施行于事物的類或者形式，因此把符號代數(shù)稱作“類的算術(shù)”以區(qū)別舊的“數(shù)的算術(shù)”，使代數(shù)學成為研究一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應(yīng)用更為廣泛[6]129，為算術(shù)到代數(shù)的飛躍作出了卓越的貢獻.值得一提的是，17世紀的笛卡爾進一步對韋達使用的字母作了改進，創(chuàng)造性地用拉丁字母前面的字母a,b,c,d,…等表示已知數(shù)，用后面的字母x,y,z,w,…等表示未知數(shù)，使字母表示得到了統(tǒng)一[7]，并且一目了然、系統(tǒng)全面，基本形成了現(xiàn)今的習慣用法.至此，代數(shù)學進入了符號代數(shù)、又稱字母代數(shù)的時代.

總之，人類對“用字母表示數(shù)”及其意義的認知呈循環(huán)往復、螺旋上升的過程，并經(jīng)歷了“表示特定的數(shù)→表示未知量→表示一類量”的歷史演進過程，代數(shù)學歷經(jīng)3個階段、3 000多年緩慢曲折和艱辛的發(fā)展，最終得以演進成今天成熟、完善的符號代數(shù)體系.

4問卷測試結(jié)果與分析

4.1問題1的測試結(jié)果及分析

測試結(jié)果包括如下3類：

(i)沒有使用字母的文字解法：此圓半徑為(110-10)/2=50m.七年級和高一年級學生對應(yīng)的解題方法和過程：(110-10)÷2=100÷2=50(m),答:半徑是50m.

(ii) 使用字母表示半徑的簡寫代數(shù)解法：R=(110-10)/2=50m.七年級和高一年級學生對應(yīng)的解法:

(iii)沒有或者不能解決問題(換言之，學生的解法中缺失用字母表示未知數(shù)、解一元一次方程的符號代數(shù)方法).

圖1七年級使用字母情況統(tǒng)計

結(jié)果分析：七年級和高一年級在問題1解法中使用字母的統(tǒng)計結(jié)果如圖1和圖2所示.其中，采用算術(shù)解法(i)、即沒有使用字母的七年級學生有28人，占被試的93.3%；高一年級有7人，占比25%.這表明剛從小學升入初中的七年級學生總體還停留在代數(shù)初始階段的文字代數(shù)即小學算術(shù)思維水平，而高一年級學生雖然在課堂教學上已經(jīng)進入符號代數(shù)階段，依然有兩成多的學生習慣于文字代數(shù)思維，尚未養(yǎng)成用字母表示數(shù)的意識和習慣，沒能夠與時俱進上升到簡寫代數(shù)與符號代數(shù)認知水平.

采用R表示半徑的簡寫代數(shù)解法(ii)，七年級學生人數(shù)為0，高一年級學生有20人、占被試的71.4%；但高中生被試中依然沒人采用字母表示未知量的方程解法.這說明七年級學生雖然已經(jīng)接觸簡寫代數(shù)方法，但是他們習慣于或更擅長用算術(shù)方法分析和解決問題；高一年級相對七年級學生學習和運用簡寫代數(shù)與符號代數(shù)的時間較久，七成進入了簡寫代數(shù)水平，但仍然沒有學生用字母表示未知量，總體仍停留在較低層次的“記數(shù)符號”認知水平.此外，有初中生被試2人和高中生被試1人沒有或者不能解決問題(iii).綜上，或許說明相對于用字母表示特定的數(shù)，用字母表示未知量除了解題策略不同，還因為涉及對字母表示數(shù)的意義的認知水平、思維和表達習慣等多個層面的質(zhì)變，無論對于初中生或者高中生都更為困難，而成為認知和教學的難點與高門檻.

這啟示我們：一方面，簡寫代數(shù)與符號代數(shù)思想的獲得不是一帆風順、一蹴而就的，學生需要相對較長的時間來理解和接受；另一方面，高一年級被試隨著年級遞進、浸泡在字母代數(shù)里的時間增加，“用字母表示數(shù)”的意識與能力相比七年級學生得以增強.這從兩個方面映射出學生對于“用字母表示數(shù)”意義的認知演進過程與簡寫代數(shù)到符號代數(shù)歷經(jīng)3 000年漫長的歷史發(fā)展過程存在明顯的相似性.

4.2問題2的測試結(jié)果及分析

測試結(jié)果包括如下3類：

(i) 把字母r視為半徑和已知量求得面積的錯誤算法：這個圓的面積是πr2.

(iii)其他，即沒有或者不能解決問題.

結(jié)果分析：問題2解法中七年級和高一年級學生對字母r的理解的統(tǒng)計結(jié)果如圖3和圖4所示.其中，采用錯誤解法(i),即把r視為半徑并看做已知量的學生，七年級被試有6人，占20%；高一年級有3人，占了10.7%.甚至有些學生以為題目出錯了，把題目中的周長改為半徑.究其原因，這或許受制于被試在小學通常用字母r表示圓的半徑的影響，一味地、機械認為r只能表示半徑，對字母r可以表示任意未知量還存在困難，沒有達到字母可以“表示一類量”的認知水平，因此這部分學生對字母意義的理解與運用還停留在簡寫代數(shù)的記數(shù)水平.

采用解法(ii),即把r看作已知量周長，并得到正確結(jié)果的七年級學生有16人，占53.3%；高一年級有21人，占70%.值得注意的是，在大多數(shù)學生采用的解法(ii)中，r既表示已知量周長、同時又表示未知量半徑，這或許說明這部分七年級和高一學生對用字母表示數(shù)中的已知量和未知量都有一定的認知，但同時受小學一個字母常常表示一個特定的數(shù)的影響，對于字母作為“記數(shù)符號→表示未知量→表示一類量”3個層級意義的區(qū)別與聯(lián)系的認知還不夠明確與清晰，以致在具體的情景中涉及用字母表示數(shù)去解決問題時，往往容易陷入模糊不清和混亂膠著狀態(tài).

圖2高一年級使用字母情況統(tǒng)計

測試結(jié)果(iii),即沒有或者不能解答此題的被試比例如圖3和圖4中的其他所示.排除學生粗心等原因，并結(jié)合測試結(jié)果(i)中“將字母r當作半徑的理解, 甚至有些學生以為題目出錯了，把題目中的周長改為半徑”的做法，這一方面折射出學生心目中r這個字母的特定意義對認知和理解具體問題(這里表現(xiàn)為本測試題)中字母r的意義形成負面干擾，導致被試不知所措、無從下手；同時也反映了這部分學生對字母表示數(shù)的認知水平停留在“一個字母只能代表一個確定的量”的認知水平.這與歷史上曾經(jīng)只用某個字母表示一個特定的量不謀而合、具有相似性.

總之，七年級有近五成、高一年級有三成的被試對于字母r可以表示任意一類量的認知存在困難，沒有達到字母可以表示一類量的認知水平；高一年級相對七年級學生，把r看作已知量周長并得到正確結(jié)果的學生數(shù)提高了近20個點.這清楚地表明，學生隨著學習經(jīng)驗的豐富、年級的遞增，對字母表示數(shù)的認知與運用得到了提升和發(fā)展，整體上符合人類對“用字母表示數(shù)”意義的認知呈循環(huán)反復、螺旋狀緩慢上升的過程.

4.3問題3的測試結(jié)果及分析

測試結(jié)果包括如下3類：

(i) 文字代數(shù)解法：文字表達.

七年級和高一年級對應(yīng)的文字代數(shù)解法：把這兩個數(shù)的和和差加起來，設(shè)其中一個數(shù)為x，另一個數(shù)為y，那么x+y和x-y加起來可以寫成x+y+x-y，化簡為2x,2x就等于這兩個數(shù)的和加差，把這個方程化簡出來就得到了x,再用這兩個數(shù)的和減去x的值就等于y.(注：題目中已知兩個數(shù)的和與差)

(ii)簡寫代數(shù)的解法，以丟番圖的解法為例：設(shè)兩數(shù)之和為m，兩數(shù)之差為n，設(shè)較小數(shù)為x，則較大數(shù)為x+n，據(jù)題設(shè)有2x+n=m，所以較小數(shù)為(m-n)/2，較大數(shù)為(m+n)/2.

學生對應(yīng)的解法：

甲-乙=19,甲+乙=29，

設(shè)乙為x；當甲-乙=19時，則甲=乙+19.又甲+乙=29.即(乙+19)+乙=29,(x+19)+x=29,2x=29-19,2x=10,x=5.所以甲=乙+19=5+19=24.答:乙為5，甲為24.

(iii)符號代數(shù)的解法，以韋達的解法為例：設(shè)兩數(shù)之和為a，兩數(shù)之差為b，其中a、b為常數(shù)，又設(shè)大數(shù)為x，小數(shù)為y，則有x+y=a，x-y=b構(gòu)成方程組，解得x=(a+b)/2；y=(a-b)/2.

七年級和高一年級被試對問題4具體解法的統(tǒng)計結(jié)果如圖5和圖6所示.其中，使用文字代數(shù)解法(i)的七年級學生有4人、占13.3%，高一只有1人、占3.6%.高中生接觸較長時間的簡寫代數(shù)和符號代數(shù)后，依然有少部分學生用文字敘述的方式解決該問題，說明少部分學生與學生整體認知水平的差異客觀存在.

采用丟番圖解法(ii)的七年級中僅有兩2人，占比7%.究其原因，或許因為七年級學生的學習限于一元一次方程解法，對于二元一次方程組簡寫代數(shù)和符號代數(shù)的解法尚未系統(tǒng)學習，客觀上存在困難.高一年級則沒有人使用這種方法，他們更傾向于運用符號代數(shù)中的韋達法，整體而言符合高初中學生的認知發(fā)展規(guī)律和水平.

采用韋達解法(iii)的七年級學生數(shù)為0，高一年級有26人、占被試的92.9%.究其原因，或許因為七年級尚未學習解二元一次方程組，而高中生則在八年級系統(tǒng)學習了二元一次方程組的代數(shù)解法，采用韋達的符號代數(shù)解法相對駕輕就熟、便捷簡單.

總體測試結(jié)果顯示，七年級只有極少數(shù)(20%)的被試能用文字代數(shù)和丟番圖法解決此題，但完全沒有呈現(xiàn)符號代數(shù)的策略與方法，考慮到七年級學生尚未學習含兩個未知量的方程，大多數(shù)被試不能解決此問題(即圖5中的其他)，其表現(xiàn)與其認知發(fā)展水平一致.高一年級則有九成多的被試采用了韋達法成功解決問題，僅有一位學生未能解答此題.整體而言再次印證了隨著學習經(jīng)驗的豐富、年級的遞增，學生對字母表示數(shù)的認知和運用得到了顯著提升和發(fā)展.

5結(jié)論與思考

“用字母表示數(shù)” 意義的演進伴隨代數(shù)學3 000年的發(fā)展歷程，經(jīng)歷了“表示特定的數(shù)→表示特定未知量→表示一類量(任意的已知量或未知量)”的發(fā)展過程；“用字母表示數(shù)”的發(fā)展并不是一帆風順的，其發(fā)展路徑是緩慢、艱辛而曲折的，總體呈螺旋上升.“用字母表示數(shù)”的功能在人類探索現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系中，經(jīng)由從特殊到一般、由具體到抽象的反復認知與發(fā)展過程才得以逐步推進和完善.

測試結(jié)果表明，七年級和高一年級的學生雖然已經(jīng)或多或少學習過符號代數(shù)，但是對應(yīng)于“用字母表示數(shù)”3個發(fā)展階段的3種方法仍然出現(xiàn)在這兩個學段學生的解法中，為數(shù)不少的七年級和高一年級學生對“字母表示數(shù)”的理解與運用還停留在文字代數(shù)和簡寫代數(shù)階段，對字母意義的認知水平大多停留在記數(shù)符號和未知量的水平.特別地，對于符號代數(shù)的“一類量”思想無論是七年級還是高一年級學生都存在認知困難，但是隨著年級遞增,尤其到高一年級，學生理解和運用字母表示“一類量”的思想解決問題的能力顯著增強.

綜上對比發(fā)現(xiàn)，中學生對“用字母表示數(shù)”的認知發(fā)展過程與歷史上從文字代數(shù)到符號代數(shù)“字母表示數(shù)”意義演進的發(fā)展過程存在明顯的相似性；學生對“用字母表示數(shù)”的認知發(fā)展與知識的歷史演進過程一樣，并非一帆風順、而是呈循環(huán)反復、螺旋狀緩慢上升，期間需要經(jīng)歷緩慢、曲折甚至反復的過程.研究結(jié)果印證和支持斯賓塞、波利亞、克萊因等人關(guān)于“個體知識發(fā)生過程必然遵循人類知識的發(fā)生過程”的歷史發(fā)生原理，以及蒲淑萍、汪曉勤等人的相關(guān)研究結(jié)論.

以上研究結(jié)論啟示我們，中學生對“用字母表示數(shù)”的理解與運用不會一蹴而就、一帆風順，學生對于用字母表示的數(shù)“從已知數(shù)到未知量，從有個限數(shù)到無限個數(shù)、進而到一類量”每一個水平層次字母意義的認知、理解、運用，都是困難重重、甚至會互相干擾，常常表現(xiàn)為在具體的情景中涉及用字母表示數(shù)和解決問題時，容易陷入模糊不清和混亂膠著狀態(tài).因此，在教學中教師要深入了解和把握“用字母表示數(shù)”的歷史發(fā)展脈絡(luò)，以“記數(shù)符號→表示未知量→表示一類量”這3個認知水平的過渡環(huán)節(jié)為抓手，注重憶舊迎新，創(chuàng)設(shè)并借助豐富的問題情景，引領(lǐng)學生對新舊對象進行比較，為“用字母表示數(shù)”每一個認知水平層次的新知探究搭建相應(yīng)的思維臺階，用適合學生認知規(guī)律的方式去設(shè)計和組織教學，以幫助學生跨越“歷史障礙”，促進學生對“用字母表示數(shù)”的理解和掌握，提高課堂教學的質(zhì)量和效率.

來自課堂實踐的觀察還發(fā)現(xiàn)，具備數(shù)學史知識的教師比較善于在知識的具體源頭和抽象形式之間構(gòu)建通往學生理解的橋梁.在一個缺乏數(shù)學史知識的教師眼中，往往只看到一堆形式化的符號與邏輯關(guān)系，因此難以從數(shù)學知識的歷史發(fā)生視角、依據(jù)知識的發(fā)展規(guī)律來設(shè)計教學，促成學生的理解，難以引領(lǐng)學生透過數(shù)學史的獨特視角把握其中蘊含的思維方法.可見數(shù)學史素養(yǎng)是每位數(shù)學教師必備的素養(yǎng)之一.

研究結(jié)果還在思想方法上啟示著教材編寫者，在教材的編寫中應(yīng)適度關(guān)注相關(guān)數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的歷史根源及變遷，適當呈現(xiàn)數(shù)學知識產(chǎn)生、建構(gòu)的思想方法和背景，這樣的背景、過程和方法對于學生體會與把握數(shù)學的本質(zhì)無疑是有益的.如果教材編寫時能夠兼顧歷史發(fā)生原理，這樣的教材會給予師生的教與學更多啟迪和智慧.

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收稿日期：2015-08-30

基金項目：國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練項目(1427815032)；廣東第二師范學院教授博士專項科研項目(2013ARF21)

作者簡介：陳靜安, 女，云南昆明人,廣東第二師范學院數(shù)學系教授.

中圖分類號：G 633.6

文獻標識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0090-06

A Study of Historical Parallelism on Middle School Students’UnderstandingoftheLettersRepresentingNumbers

CHENJing-an1，HUANGQi-liang1，F(xiàn)ANJia-yun2，WUHong-qin1

(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou,Guangdong,510303,P.R.China;2.LiupanshuiNo.7MiddleSchool,Liupanshui,Guizhou, 555300,P.R.China)

Abstract:"Letters Represent Numbers" is an important part of middle school mathematics, and also a significant stage for middle school students to learn the transition from rhetorical algebra to symbolic algebra. Sample tests for the Seventh Grade students and Senior Grade One students on their understanding of "Letters Represent Numbers" have been conducted. The results indicated that the development process of students′understanding of "Letters Represent Numbers" is similar to the historical evolvement process of the meaning of "Letters Represent Numbers" itself. Such similarity is essential to assist the preparation of teaching method and learning materials that are related to the topic of "Letters Represent Numbers".

Key words:to represent numbers in letters; rhetorical algebra; syncopated algebra; symbolic algebra; historical parallelism