弧線足球的數(shù)字仿真

林佩珠

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

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弧線足球的數(shù)字仿真

林佩珠

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

摘要:在現(xiàn)有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上對(duì)弧線足球的研究進(jìn)行了兩方面的改進(jìn):考慮了空氣阻力矩; 足球轉(zhuǎn)動(dòng)軸不再局限于豎直方向. 這些改進(jìn)使得本文所模擬的物理?xiàng)l件更接近實(shí)際，而且能夠比較各種不同初始角速度0的足球運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 我們先推導(dǎo)出足球的動(dòng)力學(xué)微分方程組, 進(jìn)而用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法求解微分方程組、給出足球飛行的動(dòng)畫(huà)片. 選擇三種典型的初始角速度0進(jìn)行了具體的數(shù)值研究, 數(shù)值結(jié)果表明：以相同的初速度0踢出足球, 對(duì)應(yīng)于不同的初始角速度0, 足球的運(yùn)動(dòng)情況有明顯的差別. 對(duì)于相同的 m/s，當(dāng)無(wú)旋轉(zhuǎn)ω0=0時(shí)，足球的軌跡是平常的拋體運(yùn)動(dòng)軌跡；當(dāng)rad/s時(shí)，足球的軌跡是典型的香蕉球軌跡；當(dāng) rad/s時(shí)，足球的軌跡呈現(xiàn)出左右飄動(dòng)的現(xiàn)象，類似于落葉球.

關(guān)鍵詞:足球；旋轉(zhuǎn)；馬格努斯效應(yīng)；弧線球; 數(shù)字模擬

0引言

弧線足球是運(yùn)動(dòng)和學(xué)術(shù)界感興趣的話題. 文獻(xiàn)[1-3]從力學(xué)角度，對(duì)弧線足球進(jìn)行受力分析，定性地解釋了弧線球的形成機(jī)制。實(shí)際上,弧線球的定性解析不算復(fù)雜：如果球在起飛前，對(duì)球施以足夠的旋轉(zhuǎn)，球就會(huì)沿著曲線飛行. 球旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)帶著與它接觸的那部分空氣一起旋轉(zhuǎn)，形成一個(gè)跟球一起旋轉(zhuǎn)的附著空氣層，所以球的一側(cè)氣流運(yùn)動(dòng)速度比另一側(cè)的大. 根據(jù)流體力學(xué)原理，氣流運(yùn)動(dòng)速度較大一側(cè)的壓力較小、氣流運(yùn)動(dòng)速度較小一側(cè)的壓力較大. 球兩側(cè)壓力不同，使球的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，形成弧線球.簡(jiǎn)言之，弧線球是由于足球在飛行過(guò)程中存在自轉(zhuǎn)而引起的.但是，要定量計(jì)算出給定初始條件的具體運(yùn)動(dòng)規(guī)律卻是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題. 為了便于計(jì)算，文獻(xiàn)[4]和[5]做了一系列簡(jiǎn)化，忽略了空氣阻力矩和豎直方向的空氣阻力，并限制轉(zhuǎn)動(dòng)軸為豎直方向，這與實(shí)際情況有較大的差距；文獻(xiàn)[6]改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]和[5]的一個(gè)不足,考慮了豎直方向的空氣阻力.

本文在文獻(xiàn)[4-6]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮空氣阻力矩,轉(zhuǎn)動(dòng)軸也不再限制于豎直方向，使物理模型更加接近實(shí)際情況；用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法求解動(dòng)力學(xué)微分方程組，比較三種不同旋轉(zhuǎn)速度的足球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并用動(dòng)畫(huà)方式定量模擬弧線球的三維運(yùn)動(dòng)軌跡.

1動(dòng)力學(xué)微分方程組

使飛行中自轉(zhuǎn)的球發(fā)生偏轉(zhuǎn)的力稱為馬格努斯力，其大小和方向由下式給出[4-6]

(1)

即

(2)

解方程組(2)得

式中μ=η/I. 所以，式(1)可改寫(xiě)成

(3)

(4)

把式(3)和式(4)及重力代入牛頓第二定律，得到足球動(dòng)力學(xué)方程組：

(5)

2足球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)值模擬

kjiiijkω0kjω0V0V0V0

圖2　三種情況下足球軌跡在水平面內(nèi)的投影長(zhǎng)劃線：無(wú)旋轉(zhuǎn)ω0=0；實(shí)線短劃線

1) 當(dāng)ω0=0時(shí)，足球到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為0.836 95s、落地時(shí)間為1.811 3s、最大高度為4.097 4m，運(yùn)動(dòng)軌跡在xoy平面和yoz平面內(nèi)的投影分別如圖2和圖3的長(zhǎng)劃線所示，軌跡在xoy平面的投影是一條直線，足球軌跡是垂直于地面的平面曲線.

圖3　三種情況下足球軌跡在yoz平面內(nèi)的投影細(xì)實(shí)線：出射方向; 長(zhǎng)劃線：無(wú)旋轉(zhuǎn)ω0=0；粗實(shí)線短劃線

t=0.924111s024681012141618x/m302520151050543210y/mz/mt=1.81522s30252015105y/m0543210z/m024681012141618x/m圖4 當(dāng)ω0=2i-2j+16k時(shí),足球在最高點(diǎn)附近的位置以及所經(jīng)過(guò)的軌跡 圖5 當(dāng)ω0=2i-2j+16k時(shí),足球入網(wǎng)前夕的位置以及所經(jīng)過(guò)的軌跡

024681012141618x/mt=1.67435s109876543210z/m30252015105y/m045403530252015105y/m0454035109876543210z/m024681012141618x/mt=3.46416s圖6 當(dāng)ω0=13i+0j+0k時(shí),足球在最高點(diǎn)附近的位置以及所經(jīng)過(guò)的軌跡 圖7 當(dāng)ω0=13i+0j+0k時(shí), 足球落地的位置以及所經(jīng)過(guò)的軌跡

3結(jié)論

當(dāng)無(wú)旋轉(zhuǎn)ω0=0時(shí)，足球的軌跡是平常的拋體運(yùn)動(dòng)軌跡；

109876543210z/m-12-7-23813182328y/m-10-8-6-4-202468x/mt=3.34869s

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐慶玉，侯振福，楊懷英.對(duì)足球弧線球的力學(xué)分析及訓(xùn)練[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1995,(4):69-70.

[2] 羅英和，馬碩章.淺談足球的弧線運(yùn)動(dòng)[J].南寧師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2008(2):125-126.

[3] 王偉,劉欣.淺談“香蕉球”的力學(xué)原理[J].體育科技文獻(xiàn)通報(bào)，2008(3)：25,43.

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[5] 馬濤. 數(shù)字化大學(xué)物理[M]. 浙江: 浙江大學(xué)出版社, 2008:116-119.

[6] 江俊勤. 基于Mathematica的數(shù)字化物理學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2015:141-145.

收稿日期：2016-03-04

基金項(xiàng)目：廣東省高等學(xué)校物理專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目(XM060012物理學(xué))

作者簡(jiǎn)介：林佩珠，女，廣東揭陽(yáng)人，廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系實(shí)驗(yàn)師.

中圖分類號(hào)：O31；G846

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-3798(2016)03-0063-05

The Digital Simulation of Banana Kick

LIN Pei-zhu

(Department of Physics and Information Engineering, Guangzhou University of Education,Guangzhou, Guangdong, 510303， P.R.China)

Abstract:On the basis of the existing literature about Banana kick research, we have made two improvements: Air resistance moment is considered; Football's rotation axis is no longer limited to the upright direction. So, the physical condition of the digital simulation in this paper is closer to the actual situation and the motion laws of the football in a variety of different initial angular velocity 0 can be compared. The dynamical differential equations of the football are derived, and then are solved by using standard numerical method. The animation of the football motion is given. In this paper, the numerical study about three typical initial angular velocity 0 was carried out. The results show that the motion of the football is obviously different with the same initial velocity0and different0. For m/s， the motion trajectory is a trajectory of the usually projectile motion when ω0=0; the motion trajectory is a typical trajectory of banana kick when rad/s; the motion trajectory shows a left fluttering-right fluttering phenomenon (similar to falling leaf) when rad/s.

Key words:football; rotation; Magnus effect; banana kick; digital simulation