一種基于預(yù)測(cè)遭遇點(diǎn)的制導(dǎo)控制一體化算法*

喬朋朋，李小兵，劉 彬，劉 君

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西三原 713800)

0 引言

導(dǎo)彈制導(dǎo)和控制系統(tǒng)傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法是忽略它們之間的相互作用，分別單獨(dú)的處理每個(gè)子系統(tǒng)，待每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)好以后，再將它們組合在一起。盡管這種方法在過(guò)去被證明是有效的，但這種方法不能總協(xié)調(diào)好各系統(tǒng)之間的關(guān)系，不利于整個(gè)導(dǎo)彈系統(tǒng)性能的提高，這就有必要將制導(dǎo)和控制作為整體一起來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)[1]。自 C.F.Lin 最早在文獻(xiàn)[2]中提出一體化的思想以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在制導(dǎo)控制一體化領(lǐng)域所開(kāi)展的研究有很多，如張保群等在文獻(xiàn)[3]中提出一種基于自適應(yīng)滑模控制的導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制一體化反演設(shè)計(jì)，很好的實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的攔截和對(duì)性能指標(biāo)的跟蹤，然而，這種方法只適用于對(duì)相對(duì)速度不是很大的目標(biāo)進(jìn)行攔截，對(duì)于于彈目相對(duì)速度很大，尤其是迎面攔截的情況，這種方法就不適用了。因此，如何對(duì)高速度、大機(jī)動(dòng)的再入大氣層目標(biāo)進(jìn)行有效攔截是一項(xiàng)重要的研究?jī)?nèi)容。

文中通過(guò)對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)及其他環(huán)節(jié)進(jìn)行合理的建模，基于預(yù)測(cè)遭遇點(diǎn)的思想，采用反演和滑模控制思想，設(shè)計(jì)出能夠有效針對(duì)再入大氣層機(jī)動(dòng)目標(biāo)的一體化制導(dǎo)控制算法。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

1 模型建立及分析

1.1 模型建立

1.1.1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

首先，建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，以平面攔截為例，建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型如圖1所示。

圖中:Vm、VT為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度;R為彈目距離;q為彈目視線(xiàn)角;θm為導(dǎo)彈的彈道傾角，θT為目標(biāo)的再入角。

由圖中可以得到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下:

1.1.2 導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

1.1.3 導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

1.1.4 導(dǎo)彈的氣動(dòng)力模型

1.1.5 導(dǎo)彈的攻角模型

其中:

其中，nm為制導(dǎo)指令，不妨令其為u。

1.2 模型分析

由式(6)可以推出:

令nm=u，則可以將式(7)化為如下形式:

則式(8)可以變?yōu)?

由式(3)可以得到:

令x1=θm，x2=α，x3=˙α，則由式(9)和式(10)可以得到如下?tīng)顟B(tài)方程:

令:

則式(11)可以變?yōu)?

2 一體化制導(dǎo)控制算法推導(dǎo)

2.1 基于預(yù)測(cè)制導(dǎo)的制導(dǎo)方程[4－6]

預(yù)測(cè)制導(dǎo)的目的是使攔截彈在攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)能夠獲得盡可能平直的彈道，或者機(jī)動(dòng)到直線(xiàn)上飛行，類(lèi)似于比例導(dǎo)引制導(dǎo)的攔截彈攻擊非機(jī)動(dòng)目標(biāo)。

以縱向平面為例，在導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的末段，為了使導(dǎo)彈能夠以直線(xiàn)擊中目標(biāo)，可以取在每一時(shí)刻，彈目能按理想直線(xiàn)飛行時(shí)，剩余時(shí)間內(nèi)在垂直于視線(xiàn)上的距離應(yīng)相等，由此得到:

其中:amx、aTx分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)沿著速度方向的加速度。假設(shè)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度只改變速度的方向而不改變大小，即=aTx=0，兩邊同除以 tgo，經(jīng)化簡(jiǎn)可以得到:

進(jìn)而可以得到使導(dǎo)彈沿直線(xiàn)飛向目標(biāo)的理想彈道傾角:

由式(2)可知:

則式(15)可以變?yōu)?

其中，剩余時(shí)間tgo可以由下式求得:

將導(dǎo)彈的實(shí)際彈道偏角與理想彈道偏角的偏差定義為飛行誤差，如下:

設(shè)計(jì)制導(dǎo)控制算法的目的就是通過(guò)不斷修正彈道傾角，使飛行誤差e不斷趨近于零，最終近似沿直線(xiàn)飛向目標(biāo)。

2.2 反演控制器設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)彈道傾角的不斷修正，可以取導(dǎo)彈和目標(biāo)在每一個(gè)微小變化時(shí)刻的狀態(tài)，它們?cè)谶@各個(gè)微小時(shí)刻的狀態(tài)可以近似為線(xiàn)性。這樣可以作如下假設(shè):由于在每一個(gè)時(shí)刻，使導(dǎo)彈沿直線(xiàn)飛向目標(biāo)的是唯一的，從而可以假設(shè)在每一時(shí)刻=0。

用文獻(xiàn)[7]中的反演控制器設(shè)計(jì)步驟來(lái)進(jìn)行一體化制導(dǎo)控制算法的推導(dǎo)。具體過(guò)程如下:

步驟一:

定義跟蹤誤差:

基于上述假設(shè)，對(duì)式(20)求導(dǎo)可得:

定義虛擬控制量:

其中，k1＞ 0。

定義跟蹤誤差:

定義Lyapunov函數(shù):

則:

將式(22)代入(25)得:

由上式可以看出，只有z2=0時(shí)，才能保證恒有≤0，為此，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。

步驟二:

對(duì)式(23)求導(dǎo)可得:

定義虛擬控制量:

其中，k2＞ 0。

定義跟蹤誤差:

定義Lyapunov函數(shù):

則:

將式(27)和式(29)代入式(31)可以得到:

將式(28)代入上式:

由前一步的分析知，z2不一定為零，這就由式(33)可以看出，只有z3=0時(shí)，才能保證恒有V·2≤0，為此，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。

步驟三:

定義Lyapunov函數(shù):

對(duì)式(34)求導(dǎo)得:

對(duì)式(29)求導(dǎo)得:

將式(36)代入式(35)可得:

其中k3＞0。

將式(38)代入式(37)得:

通過(guò)控制律的設(shè)計(jì)，使得系統(tǒng)滿(mǎn)足了李亞普諾夫穩(wěn)定性理論條件，z1、z2和z3均以指數(shù)形式漸近穩(wěn)定，從而保證系統(tǒng)具有全局意義下指數(shù)的漸近穩(wěn)定性。

可見(jiàn)，對(duì)于狀態(tài)方程(12)采用以上所推導(dǎo)出的制導(dǎo)控制算法，可以使各狀態(tài)達(dá)到最終穩(wěn)定并滿(mǎn)足系統(tǒng)的控制要求，即。

圖2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)

3 仿真結(jié)論

設(shè)置初始值:目標(biāo)彈速度 2.5km/s，且以最大過(guò)載為3g的加速度作正弦形式的機(jī)動(dòng)，目標(biāo)彈初始再入角取為70°;初始彈目距離為15km，攔截彈初始彈道傾角為30°，初始速度為1.5km/s;初始彈目視線(xiàn)角為30°。具體仿真結(jié)果見(jiàn)圖2～圖4。

從圖2可以看出，攔截彈彈道比較平直，較好的對(duì)目標(biāo)彈進(jìn)行了攔截;從圖3中實(shí)際變量，即攔截彈彈道傾角的控制效果可以看出，攔截彈的實(shí)際彈道傾角在不斷的進(jìn)行調(diào)整，逐漸的趨近于使攔截彈近似理想飛行的理想彈道傾角，雖然最終存在一些偏差，但是相對(duì)來(lái)說(shuō)已經(jīng)非常小了，可以將此時(shí)的攔截彈近似為沿著直線(xiàn)飛向目標(biāo)。需要說(shuō)明的一點(diǎn)是偽變量，即攔截彈理想彈道傾角最終的突變現(xiàn)象，這是由于臨近彈目遭遇時(shí)，視線(xiàn)角速率引起視線(xiàn)角突變所造成的。

圖3 導(dǎo)彈實(shí)際彈道傾角跟蹤曲線(xiàn)

由圖4可以看出，攻角及其變化率都能很好的跟蹤其對(duì)應(yīng)的偽指令，同時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)沒(méi)有抖振現(xiàn)象，至于兩個(gè)偽指令末段的突變則是由于攔截彈理想彈道傾角的突變和三個(gè)模態(tài)之間的耦合作用所產(chǎn)生的，但是這并不影響最終的攔截效果。

仿真結(jié)果很好的驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)控制算法的有效性，為進(jìn)一步針對(duì)模型更加復(fù)雜的制導(dǎo)控制算法開(kāi)展研究有一定的參考價(jià)值。

圖4 攻角及其變化率與相對(duì)應(yīng)的偽變量的變化曲線(xiàn)

[1]吳鵬.帶末端攻擊角度約束的制導(dǎo)方法研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009.

[2]C F Lin，W R Yueh.Optimal controller for homing missiles[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1985，8(3):408－411.

[3]張保群，宋申民.基于自適應(yīng)滑?？刂频膶?dǎo)彈制導(dǎo)與控制一體化反演設(shè)計(jì)[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2009，29(5):31－35.

[4]呂長(zhǎng)起.預(yù)測(cè)導(dǎo)引律及目標(biāo)機(jī)動(dòng)的估計(jì)[J].航空兵器，1996，3(4):65 －73.

[5]Tal Shima，Oded M Golan.Exo-atmospheric guidance of an accelerating interceptor missile[C]//AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit，Hawaii，2008.

[6]Manu Sharma，Nathan D Richards.Adaptive，integrated guidance and control for missile interceptors[C]//AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit，Rhode Island，2004.

[7]劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控控制Matlab仿真[M].北京:清華大學(xué)出版社，2006:35－50.