中小型固體火箭發(fā)動機(jī)噴管擴(kuò)張比尋優(yōu)算法*

張久云，杜國秀，齊子鳳

(中船重工第710研究所，湖北宜昌 443003)

0 引言

固體發(fā)動機(jī)作為動力推進(jìn)裝置在各類箭彈中被廣泛應(yīng)用，產(chǎn)品研制階段，總體對動力分系統(tǒng)提出設(shè)計要求，包括總沖量、工作時間及質(zhì)量與尺寸限制等。發(fā)動機(jī)設(shè)計的目標(biāo)就是根據(jù)設(shè)計輸入進(jìn)行初步設(shè)計、迭代優(yōu)化，設(shè)計一型高質(zhì)量的發(fā)動機(jī)，使自身性能達(dá)到最優(yōu)。

應(yīng)用發(fā)動機(jī)設(shè)計程序與方法，依據(jù)箭彈總體要求經(jīng)過初步設(shè)計之后，發(fā)動機(jī)部分設(shè)計參數(shù)可得以固化，如燃燒室的工作壓強(qiáng)和內(nèi)徑、噴喉尺寸、裝藥類型等。然而噴管擴(kuò)張比等參數(shù)在此階段卻無法確定，由于沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型和具體可用的、“性價比”較高的算法，目前對擴(kuò)張比的選取往往憑設(shè)計經(jīng)驗或參考同類產(chǎn)品在4～10之間選取，具有隨意性和盲目性。

擴(kuò)張比等參數(shù)對發(fā)動機(jī)的整體性能又有重要影響，因此設(shè)計發(fā)動機(jī)時，噴管擴(kuò)張比究竟如何計算和確定，需進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

1 算法數(shù)學(xué)模型

發(fā)動機(jī)設(shè)計涉及諸多參數(shù)，關(guān)系復(fù)雜，其優(yōu)化設(shè)計是一個有約束的非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)描述是:求設(shè)計變量 X=(x1，x2，…，xn)T，使得目標(biāo)函數(shù)F(X)為最大。

質(zhì)量比沖(或稱沖質(zhì)比)是衡量發(fā)動機(jī)性能的重要指標(biāo)，因此將沖質(zhì)比設(shè)為目標(biāo)函數(shù)，通過對發(fā)動機(jī)噴管擴(kuò)張比進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計而使發(fā)動機(jī)沖質(zhì)比最大。

由理論分析和工程試驗可知，在設(shè)計中小型固體發(fā)動機(jī)時，噴管采用欠膨脹設(shè)計。在此情況下，若噴管擴(kuò)張比增大，則噴管擴(kuò)張段質(zhì)量增加。但由于推進(jìn)劑比沖隨之增大，在總沖不變的前提下，發(fā)動機(jī)裝藥量減少。同時因裝藥體積減小使燃燒室殼體質(zhì)量隨之降低，因此，若同時考慮裝藥比沖和結(jié)構(gòu)重量的因素，必然存在一個最優(yōu)膨脹比ε*，能使發(fā)動機(jī)沖質(zhì)比最大。或者說，在總沖一定時，ε*能使發(fā)動機(jī)質(zhì)量最小。

據(jù)此建立了數(shù)學(xué)模型和優(yōu)選算法，發(fā)動機(jī)設(shè)計過程中，若確定部分設(shè)計參數(shù)之后，應(yīng)用此算法即可求得最優(yōu)擴(kuò)張比ε*。

發(fā)動機(jī)沖質(zhì)比為:

式中:mp表示推進(jìn)劑質(zhì)量;mc表示燃燒室質(zhì)量;mn表示噴管質(zhì)量;mig表示點火具質(zhì)量;mhp表示封頭等質(zhì)量;mac表示擋藥板等附件質(zhì)量[1]。

一般情況下，總沖由總體根據(jù)箭彈應(yīng)用給定。按固體火箭發(fā)動機(jī)總體設(shè)計方法經(jīng)過一輪初步設(shè)計后，mig、mhp、mac三者之值基本確定，在后續(xù)優(yōu)化設(shè)計過程中變化甚微，可按固定值處理，發(fā)動機(jī)總質(zhì)量僅隨著燃燒室、噴管和推進(jìn)劑三者質(zhì)量改變而變動。下文將建立數(shù)學(xué)模型，直接表示三者質(zhì)量與噴管擴(kuò)張比的函數(shù)關(guān)系，繼而用復(fù)合形法(此時參量轉(zhuǎn)化為一維)尋求最優(yōu)擴(kuò)張比值。

1.1 噴管質(zhì)量模型

噴管擴(kuò)張比的大小影響著發(fā)動機(jī)的比沖、結(jié)構(gòu)質(zhì)量和總體性能，因此是發(fā)動機(jī)的一個重要設(shè)計參量。

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中小型固體發(fā)動機(jī)多采用錐形直噴管或采用多段二次、三次曲線擬合的勞(Lao)噴管[2]。為便于研究，文中將噴管總重量細(xì)分為三部分:噴管收斂段質(zhì)量mnb，噴管喉部過渡段質(zhì)量mnt，噴管擴(kuò)張段質(zhì)量mna。

若燃燒室壓強(qiáng)pc、噴喉直徑dt和噴管基本結(jié)構(gòu)形式在初步設(shè)計和依照總體要求確定之后，mnb、mnt可視為定值。噴管質(zhì)量隨著擴(kuò)張比的變化而變化，建立噴管擴(kuò)張段質(zhì)量模型，擴(kuò)張段質(zhì)量表示為擴(kuò)張比的函數(shù)(以擴(kuò)張段起始截面與噴管軸線為基準(zhǔn)建立R-X坐標(biāo)系，如圖1，根據(jù)內(nèi)型面曲線方程可知擴(kuò)張段內(nèi)任意截面上的半徑尺寸R=R(x))。

圖1 噴管擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)示意

現(xiàn)以中小型發(fā)動機(jī)和助推器常采用的錐形直噴管為例示意計算的方法。

在錐形直噴管設(shè)計中，擴(kuò)張段采用漸變式壁厚設(shè)計。噴管擴(kuò)張段入口和出口的厚度δ根據(jù)所選材料、熱防護(hù)、壓力載荷、熱載荷因素進(jìn)行工程估算，并認(rèn)為厚度從入口到出口均勻變化。將擴(kuò)張段沿軸向進(jìn)行微分，每一小段可視為圓環(huán)。

則錐型噴管擴(kuò)張段質(zhì)量關(guān)系式為:

1.2 裝藥質(zhì)量模型

噴管擴(kuò)張比的變化不僅引起其擴(kuò)張段質(zhì)量變化，由于改變了噴管性能、膨脹比和出口壓力，對推進(jìn)劑的比沖和推力系數(shù)也產(chǎn)生影響。由噴管理論可知，pe/pc是ε的單值函數(shù)，即

式中:γ為燃?xì)獗葻岜?Γ是比熱比的函數(shù)。

若將某一定值賦給擴(kuò)張比，用數(shù)值計算方法中的二分法編程計算或直接以Matlab符號命令fsolve即可解非線性方程(4)求取值，即pe/pc，由于低空中小型發(fā)動機(jī)擴(kuò)張比一般小于10，數(shù)值計算時，可將求解域設(shè)為(0.01，0.564)。繼而由式(5)即可計算該擴(kuò)張比下對應(yīng)的裝藥質(zhì)量。

式中:α表示噴管效率，是擴(kuò)張比和擴(kuò)張角的函數(shù)，對于所選定的推進(jìn)劑，γ為已知量，pa≈0.1MPa，故在此情況下，裝藥質(zhì)量是擴(kuò)張比函數(shù)，mp=mp(ε)。

1.3 燃燒室質(zhì)量模型

燃燒室的質(zhì)量細(xì)分為固定質(zhì)量mfix和隨動質(zhì)量malt兩部分。

初步設(shè)計確定了燃燒室壓強(qiáng)和直徑，燃燒室有一部分結(jié)構(gòu)(如與封頭或其它部件間的連結(jié)或支撐結(jié)構(gòu))隨之基本確定，這部分結(jié)構(gòu)的質(zhì)量即為固定質(zhì)量mfix。同時燃燒室作為容納裝藥的殼體，若推進(jìn)劑體積發(fā)生變化，則其容納藥柱的那部分結(jié)構(gòu)的質(zhì)量也隨之改變，此處稱之為隨動質(zhì)量。

參照金屬筒體壁厚的計算方法，由材料力學(xué)中的最大應(yīng)力強(qiáng)度理論，隨動質(zhì)量可處理為裝藥長度(Lp)的函數(shù)。

在確定pc、dt情況下，對于選定推進(jìn)劑，由內(nèi)彈道計算公式可知，須將燃喉比KN值固定，即裝藥燃面不因裝藥量的變化而改變。在此前提下，可根據(jù)發(fā)動機(jī)內(nèi)彈道各參數(shù)計算式獲得方程組(7)。

現(xiàn)以中近程火箭彈常用的管型裝藥為例，示意計算Lp的方法。

上式中，裝藥質(zhì)量由式(5)已求，經(jīng)初步設(shè)計已經(jīng)確定裝藥形式和燃燒室直徑等參數(shù)，則裝藥根數(shù)和藥柱外徑為已知值。方程組(8)實為藥柱長度Lp和藥柱內(nèi)徑d的二元二次非線性方程組，此方程組是閉合的。用牛頓迭代法編程計算 Function[d，Lp]=Newton_Lp(f，[d0，Lp0]，e)或 Matlab 的 符 號 命 令fsolve求取藥柱長度Lp。

1.4 最佳擴(kuò)張比尋優(yōu)算法及流程

至此，在發(fā)動機(jī)經(jīng)過初步設(shè)計確定部分參數(shù)之后，設(shè)定一擴(kuò)張比ε，即可求得相應(yīng)發(fā)動機(jī)可變質(zhì)量，進(jìn)而計算得發(fā)動機(jī)沖質(zhì)比。發(fā)動機(jī)可變質(zhì)量最小，發(fā)動機(jī)沖質(zhì)比即最大值對應(yīng)的ε就是發(fā)動機(jī)設(shè)計中所尋求的最優(yōu)擴(kuò)張比ε*。接下來介紹文中選用復(fù)合形法求取ε*的算法流程。

以ε=ε0為計算起始點，由前文的數(shù)學(xué)模型和式(1)計算對應(yīng)沖質(zhì)比F(ε)，然后以同樣的流程計算ε=ε+Δ對應(yīng)的沖質(zhì)比F(ε+Δ)，Δ為循環(huán)計算遞加步長，一般而言，Δ =0.01能滿足絕大部分精度要求，并比較二者大小，若F(ε+Δ)大于F(ε)，則繼續(xù)之前的程序，直至F(ε+Δ)＜ F(ε)，則當(dāng)前ε即為所求ε*。

文中研究時應(yīng)用面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計方法，利用C++語言進(jìn)行程序設(shè)計。程序流程圖見圖2。

流程圖中，數(shù)據(jù)框中表示的根據(jù)箭彈總體要求或約束和發(fā)動機(jī)初步設(shè)計所得參數(shù)包括發(fā)動機(jī)設(shè)計總沖、燃燒室外徑和平衡壓強(qiáng)、裝藥根數(shù)和藥柱外徑、噴管擴(kuò)張比、噴喉直徑、裝藥密度、燃?xì)獗葻岜?、特征速度、燃燒室材料密度等等?/p>

2 工程算例

某型火箭彈發(fā)動機(jī)根據(jù)總體要求經(jīng)過第一輪發(fā)動機(jī)設(shè)計，所得參數(shù)如下。

圖2 優(yōu)化算法流程圖

發(fā)動機(jī)總沖要求4500N·s;初步方案所選用推進(jìn)劑，20℃ 燃速公式為 0.3494p0.285cm/s，特征速度為1350m/s，密度為1650kg/m3;燃燒室平衡壓強(qiáng)為10MPa;根據(jù)整彈尺寸確定燃燒室直徑為131.2;裝藥類型為19根管狀裝藥，藥柱外徑26.5(根據(jù)燃燒室外徑和裝藥根數(shù)確定);噴管喉部直徑確定為28.5，擴(kuò)張半角為13.5°，發(fā)動機(jī)殼體采用金屬材料;若在設(shè)計時，將擴(kuò)張比初定為4，此時沖質(zhì)比為746.2。

根據(jù)文中的數(shù)學(xué)模型和優(yōu)選算法，以程序流程圖2用C語言編寫源代碼，輸入初始參數(shù)后以ε0=1為計算初值，運(yùn)行程序，結(jié)果輸出該發(fā)動機(jī)最優(yōu)擴(kuò)張比ε*=5.67，發(fā)動機(jī)目標(biāo)函數(shù)質(zhì)量比沖達(dá)到759.3。

3 小結(jié)

1)文中提出一種基于發(fā)動機(jī)質(zhì)量比沖最大原則的噴管擴(kuò)張比尋優(yōu)算法，其數(shù)學(xué)模型和算法合理可行，可以快速獲取噴管最佳擴(kuò)張比，為噴管擴(kuò)張比的選擇提供了科學(xué)依據(jù)。

2)該算法尤其適用于中小型固體發(fā)動機(jī)設(shè)計時，確定了燃燒室外徑尺寸和平衡壓強(qiáng)之后對噴管擴(kuò)張比的最佳值尋優(yōu)。是對目前發(fā)動機(jī)優(yōu)化設(shè)計方法的完善和補(bǔ)充，也為后續(xù)的研究提供了方法和思路。

[1]楊月誠.火箭發(fā)動機(jī)理論基礎(chǔ)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

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