關于數學教學中反思習慣的幾點認識

朱軍彪

摘 要 在當前的信息社會中，教學模式日新月異，但信息社會相對于工業(yè)社會極大程度擴展的是人的思維空間，在這樣的思維空間中最基本的生存方式是思維活動，而思維活動的規(guī)范，決不能單純地依靠外在的強制和訓練，而必須依靠自己的自覺和認同，因此教學模式必然從教師的教轉向學生的學，特別是學生在學習活動中自身內在的反思。

關鍵詞 數學教學 反思性學習 反思意識 反思習慣 反思訓練

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1002-7661（2012）04-0044-03

在當前的信息社會中，教學模式日新月異，但信息社會相對于工業(yè)社會極大程度擴展的是人的思維空間，在這樣的思維空間中最基本的生存方式是思維活動，而思維活動的規(guī)范，決不能單純地依靠外在的強制和訓練，而必須依靠自己的自覺和認同，因此教學模式必然從教師的教轉向學生的學，特別是學生在學習活動中自身內在的反思。

“反思”在當代認知心理學中屬于元認知的范疇。它是指對自身的思維過程、思維結果進行再認知和檢驗的過程，是對已形成的數學思想、方法和知識從另一角度，以另一方式進行再認識以求得新的深入認識，或提出疑問作為新的思考起點。數學推理的嚴謹性和數學語言的特殊性，決定了正處于思維發(fā)展階段的學生不可能一次性地直接把握數學中學習活動的本質，因此必須堅持反思性學習，才能不斷提高問題解決的有效性。

反思性學習是一種有效的學習方式，它的基本特征是探究性，即在考察學習活動的經歷中探究其中的問題和答案，重構自己的理解，激活個人的智慧，并在活動中所涉及的各個方面的相互作用下，產生超越已有信息之外的信息，從而幫助學生學會，使他們的學習活動成為一種有目標有策略的主動行為，不斷提出問題，發(fā)現有益的新知識、新方法，尤其是當把創(chuàng)新意識和問題解決的能力作為衡量和評價學生成績優(yōu)劣的主要標準時，更應重視反思性學習。

一、反思的前提

1.教師應具備反思意識

在目前數學教學中為了應試的需要，教師大都采取滿堂灌，往往忽略了學習過程中反思這一環(huán)節(jié)，因此，首先教師要有反思意識，改變教學觀念，充分發(fā)揮學生主體作用，有意識地引導學生進行反思，進一步為學生良好的個性品質的形成創(chuàng)造條件。

2.激發(fā)學生的反思意識

數學教學過程中，學生習慣于“吸取”學習過程中老師給予的，往往忽略了自己的參與。因此，課堂教學中，教師要善于創(chuàng)設情境，引發(fā)學生強烈的認知沖突，激發(fā)學生的反思意識，而這就要求教師要善于設疑，從學生的角度出發(fā)，從學生容易忽視的重要環(huán)節(jié)中提煉問題，然后通過環(huán)環(huán)相扣深入研究，并引導學生進行反思，努力減少盲目性，增強學生自覺性。引導學生經常地問及（提問或自問）：“現在在做什么？”或“準備做什么？”“為什么要這樣做？”“實際效果如何？”

二、如何培養(yǎng)學生反思習慣

1.課堂教學是培養(yǎng)學生反思習慣的主渠道

培養(yǎng)學生的反思習慣貫穿于整個教學過程中，這就需要在平時概念教學，解題教學，復習教學中逐步培養(yǎng)。

數學概念一般是以準確精練的數學語言運用定義的形式給出的，具有高度抽象的特征，但是學生進行數學思維的核心時不能死記硬背來掌握概念定義，需要教師引導學生在形式概念定義的過程中進行反思。如在傳授函數的奇偶性概念時，可以提出下面問題讓學生進行反思：（1）為什么先要求定義域？（2）為什么要“任意自變量”？（3）如何來判斷函數的奇偶性？（4）若函數在上是偶函數，求的值。通過對上述問題的反思，讓學生再回顧定義形式過程，從而對于定義有一個深刻的理解，深化了學生的知識建構，有利于提高學生的數學思維能力。

數學學習效果最終是通過學生的解題來體現，通過解題來體現學生的思維能力及其它一些數學能力，因此解題后的反思就尤為重要，它可以在原有的基礎上進一步建立更高層次的認知結構。G?波利亞曾指出：“即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證后，就會合上書本，找點別的事來做。這樣，他們錯過了解題的一個重要而有效的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的路子，學生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力?！边@一結論對于一般的人來說也是對的。因此，在實現了解題計劃后，教師可引導學生針對自己的解題思路，解題規(guī)律，解題結果進行反思，可以考慮這樣的問題：你能檢驗這一結果或這一論證嗎？你能用不同的方法導出這一結果嗎？有沒有更為簡單直觀的方法？你能把這結果或方法用于其他的問題嗎？

例1 求函數y=+（0

錯解1：∵x∈（0， ），∴sinx∈（0，1]，則y=+≥2。

錯解2：∵sin2x-2ysinx+4=0，且sinx∈R，

∴ =（2y）2-4?≥0，則y2≥4，

又∵y>0，∴y≥2.

顯然這兩種解法是錯解，但在教學過程中經常會出現這兩種解法，當學生有這些解法時，不應輕描淡寫說是錯解，應引導其進行反思，因為通過錯解去挖掘題目及知識點內涵，可以完善數學思維品質。

反思1：為何1是錯解？不等式成立的前提條件是什么？從而得出要注重不等式取等號的條件。

反思2：為何2是錯解？sin2x-2ysinx+4=0根的情況如何？從而引出正解。

解法1：令t=sinx，x∈（0，1].則f（t）=t2-2yt+4=0不僅有解，而且應是在（0，1]有解。討論：

（1）在[0，1]上僅有一解，則f（0）f（1）≤0，得y≥。

（2）在（0，1]上有兩解，則由分析知，y不存在，∴ymin=。

反思3：除用二次函數來解外，能否用錯解1中思路：不等式？

解法2：y=（sinx++）令sinx=t，f（t）=

∵f（t）=，t∈（0，1]上是減函數且sinx+≥2而當且僅當sinx=1時，上兩式同時取最小值，∴ymin=。

解法3：∵≥2，

∴-≥-。此兩式取等號的條件為sinx=1，

∴y=（-）2+2≥（-）2+2=，

∴ymin=。

反思4：上解法中是利用不等式及函數的單調性，那么能否直接利用某一函數的單調性來求解呢？

解法：設t=sinx，x∈（0， ）則t∈（0，1]，將原函數化為f（t）=+，易證f（t）在（0，1]上是減函數，∴當t=1時，ymin=f（1）=。

反思5：y=其形式上有什么特點？根據其形式特點能否把問題轉化？

解法5：∵y=，∴2y=，令u=sinx，v=sin2x，則2y=問題轉化為求拋物線v=u2（0≤u≤1）一段上一點與定點（0，4）連線的斜率的最小值，由幾何意義知ymin=。

反思6：求函數y=的值域。

反思7：已知方程2sin2x-cosx+a=0有實數解，求實數a取值范圍。

復習是聯系新舊知識必不可少的手段。在復習過程中可通過反思溝通新舊知識的聯系，挖掘知識之間的內在聯系，促進知識的同化和遷移，也可有利于幫助學生建立合理的知識結構體系。

2.課后作業(yè)是培養(yǎng)學生反思的必要渠道

數學學習往往是通過做作業(yè)，以達到對知識的鞏固，加深理解和學會運用，從而形成技能技巧，以及發(fā)展智力與數學能力。由于作業(yè)是在復習的基礎上獨立完成，能檢查出對所學數學知識的掌握程度，能考查出能力的水平，因此在平時作業(yè)中可引導學生進行反思，發(fā)現存在的問題并及時探取措施加以解決，有著重要的作用。平時可以在以下幾個方面對學生進行反思訓練：

（1）作業(yè)本上的錯解

數學學習過程中，由于學生在整體或局部上掌握知識不牢固，作業(yè)難免出錯，重要的是必須對錯誤進行反思：

①錯誤出在何處？題意理解不完整，或是推理論證不嚴密，還是結論敘述不簡潔？

②產生錯誤的根源是什么？概念理解不深刻，不準確或是解題方法選用不當，還是書寫不規(guī)范？

③如何得出正確答案？

透過對錯誤表象的反思，發(fā)現錯誤的實質和導因，進而從導因上消除隱患，從實質上糾正錯誤，力爭不“一錯再錯”，通過這種反思訓練，有利于學生對基礎知識的進一步理解和鞏固，而且有利于學生思維嚴謹性的培養(yǎng)。

（2）改變傳統(tǒng)作業(yè)的形式

作業(yè)是師生交流的一種形式，教師可以在作業(yè)中獲得學生學習的信息，為了使獲得的信息更個體化，更有針對性，可以在傳統(tǒng)作業(yè)的基礎上增加日記或學生反思小結，結合自己對知識點的理解對課堂知識進行整理，給出建議并展示自己美妙的解題方法。

例2 設正數p，g滿足p3+g3=2，求證：p+g≤2。

經反思，學生在小結中發(fā)現了十幾種證法，有綜合法，分析法，反證法等，其中有兩種證法更是別出心裁，獨樹一幟。

證法1：∵p，g>0，∴p3+1+1≥33=3p，

兩式相加得：g3+1+1≥33=3g

p3+g3+4≥3（p+g），∴p+g≤2

證法2：設p，g是方程x2-mx+n=0的二根，

則p+g=m，pg=n（m，n>0）且m2-4n≥0，（1）

又2=p3+g3=（p+g）（p2+g2-pg）=m（m2-3n），∴n=。

代入（1）即得m3≤8，∴p+g≤2。

（3）提倡做開放性作業(yè)

在改變傳統(tǒng)作業(yè)的形式后，可以要求學生做一些延時作業(yè)，這種延時作業(yè)其特點在于作業(yè)內容具有開放性，也不要求學生定時上交。延時作業(yè)的內容源于課本，也可以是一個問題的縱向或橫向推理，也可以是一個未知結論的探索，可以是一類問題的專題總結，可以是對某些數學問題的探討等，學生可以通過反思用不同的形式來表現自己的觀點和意見。通過延時作業(yè)可以變被動學習為主動學習，激發(fā)學生對數學的興趣，改善學習方法，完善知識結構，對培養(yǎng)學生的歸納總結和探索能力促進較大。

反思性學習是以“學會學習”為目的，是學習主動概括和表述數學系統(tǒng)的構建過程，思維過程，從而進一步明確學習目標，體驗學習過程，積累教學活動經驗，反思性學習同教學的策略與技術相結合，因此在數學教學中讓學會有時間、有機會對自己數學學習的思維過程加以反思，讓學生在反思中真正領悟數學的思想、方法、優(yōu)化他們的數學認知結構，提高思維能力，更大地發(fā)揮和提高他們的智能和潛能。

（責任編輯 若 曦）