由面心立方(111)面間距談幾何晶體學的幾個基本概念*①

馬天平 譚偉石

(南京理工大學理學院應用物理系 江蘇 南京 210094)

1 引言

在通常的《固體物理學》和《X射線衍射學》教材[1～3]中，都表示可以采用公式

(1)

2 面心立方晶體(111)面間距的計算

出現(xiàn)上述問題的根本原因在于公式(1)中的指數(shù)h,k,l為密勒指數(shù)，而不是晶面指數(shù).因此，不能將晶面指數(shù)代入此公式計算面間距.為此，需要先導出采用晶面指數(shù)計算面間距的公式.

如圖1所示，選取面心立方晶體的固體物理學原胞的初基矢量為

(2)

圖1 面心立方晶體的原胞坐標系

式中i,j,k分別表示笛卡兒正交坐標系中三個坐標軸的單位矢量.

根據(jù)倒易點陣的定義式

計算其倒格子的初基矢量，得

(3)

(4)

通常所使用的面間距公式(1)中面指數(shù)(hkl)是在晶胞坐標系a,b,c中確定的密勒指數(shù).這就涉及到對晶胞和固體物理學原胞等概念的辨析.

3 幾何晶體學中幾個基本概念的辨析

上述問題通過基矢的適當選取得到了解決，但更本質(zhì)上反映的是對幾何晶體學中幾個基本概念的混淆.

(1)原胞.體積最小的重復單元稱為原胞或固體物理學原胞[1,2].原胞的選取不是唯一的.只要符合體積最小和周期性兩個條件即可，所以原胞往往不能表達對稱性.若使用威格納-塞茲(Wigner-Seitz)原胞[2]，則既能反映晶格的全部對稱性，也能反映周期性.

(2)晶胞.又稱單胞，或稱結(jié)晶學原胞，是晶體結(jié)構(gòu)的最小重度單元，即在能反映晶體對稱性的前提下選取體積盡量小的重復單元.實際的晶體結(jié)構(gòu)可以看成是晶胞在三維方向周期性地堆砌而成.在晶胞中，可含有一個或多個格點，體積為原胞的一倍或數(shù)倍.在晶胞中所選取的沿晶軸的三個矢量通常也稱為軸矢.晶胞的概念強調(diào)了對稱性.

(3)晶面指數(shù).在固體物理學原胞的基矢坐標系中，晶面在三個基矢a1,a2,a3方向上的截距以基矢長度作為單位進行度量后取倒數(shù)，約去公因子，得到一組互質(zhì)的整數(shù)，即為該晶面的晶面指數(shù)，常用(h1h2h3)表示[4].

(4)密勒指數(shù).在晶胞的軸矢坐標系中，晶面在三個軸矢a,b,c方向上的截距以軸矢長度作為單位進行度量后取倒數(shù)，約去公因子，得到一組互質(zhì)的整數(shù)，即為該晶面的密勒指數(shù)，常用(hkl)表示.

可見，晶面指數(shù)和密勒指數(shù)的確定方法相同，但是二者之間存在的差異在于所采用的基矢量不同.

在實際應用中，人們往往習慣使用密勒指數(shù)，即使用晶胞(單胞)的基矢討論問題.尤其在正交晶系中，通常以正交基矢對應的密勒指數(shù)討論晶面問題.但需要注意的是，密勒指數(shù)所選取的基矢能很好地體現(xiàn)對稱性，但并不一定對應最小的周期性單元，尤其在計算面間距的過程中，如果在概念上混淆，用密勒指數(shù)代入對應于晶面指數(shù)的公式，就會產(chǎn)生錯誤.

在面心立方晶體的軸矢坐標系a,b,c中

定義

計算可得

與晶面族(hkl)正交的倒格矢

(5)

可知(hkl)為密勒指數(shù)，而不是晶面指數(shù).

4 晶面指數(shù)與密勒指數(shù)的轉(zhuǎn)換矩陣

立方晶系中，設密勒指數(shù)為(hkl)，晶面指數(shù)為(h1h2h3)，各自對應的軸矢量與基矢量分別為

可以記為A=EC，其中

E為基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣.

(6)

由于這三點在晶面上，故符合晶面方程(6)，代入后得

寫成矩陣形式為

(7)

式中的轉(zhuǎn)換矩陣即基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣E.

由此可見，基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣亦為密勒指數(shù)-晶面指數(shù)的轉(zhuǎn)換矩陣.同時，通過逆矩陣E-1，可以將晶面指數(shù)轉(zhuǎn)換為密勒指數(shù).

對于面心立方晶體而言，基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣及其逆矩陣分別為

表1中列出了面心立方晶體中一些低指數(shù)晶面指數(shù)對應的密勒指數(shù)及晶面間距.將相應的晶面指數(shù)和密勒指數(shù)分別代入式(4)和式(5)，計算得到的晶面間距是相同的.由表中可見，密排面(111)的晶面間距是最大的.

表1 面心立方晶面指數(shù)、密勒指數(shù)和面間距

5 結(jié)語

通過對面心立方晶體(111)面間距的計算，闡述了如何正確理解幾何晶體學中的幾個基本概念.同時，給出了晶面指數(shù)與密勒指數(shù)之間的轉(zhuǎn)換矩陣，此轉(zhuǎn)換矩陣可為晶體面間距的計算帶來方便.

參考文獻

1 黃昆原著.韓汝琦改編. 固體物理學. 北京：高等教育出版社,1988

2 韋丹. 固體物理. 北京：清華大學出版社, 2003

3 黃勝濤. 固體X射線學(一). 北京：高等教育出版社,1985

4 胡安，章維益. 固體物理學. 北京：高等教育出版社, 2007