無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布

南 華

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布

南 華

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

研究了無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長性質(zhì)和值分布特征.在較寬的系數(shù)條件，即在和函數(shù)f（z）與Dirichlet級(jí)數(shù)的部分和之差的模滿足一定限制條件下，給出了Dirichlet級(jí)數(shù)所定義的整函數(shù)的級(jí)的估計(jì)，并給出了無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)Borel方向存在的寬度的估計(jì).

Dirichlet級(jí)數(shù)；Borel方向；級(jí)；值分布

0 引言

整函數(shù)和亞純函數(shù)的值分布理論的相關(guān)研究已取得了許多成果［1－3］.Dirichlet級(jí)數(shù)所定義的整函數(shù)的值分布是值分布理論中的重要部分.形如

其中｛an｝為1列復(fù)數(shù)，0＝λ0＜λ1＜λ2＜ …＜λn↑＋∞的級(jí)數(shù)稱為Dirichlet級(jí)數(shù).文獻(xiàn)［4］的作者在｛λn｝滿足

更弱的條件（和函數(shù)f（z）與Dirichlet級(jí)數(shù)的部分和之差的模滿足一定限制條件）下研究了Dirichlet級(jí)數(shù)（1）的增長性質(zhì)，得到下面的結(jié)果：

定理1［5］級(jí)數(shù)（1）的｛λn｝滿足條件（2）.α，A為正實(shí)數(shù)，x0為實(shí)數(shù)，存在定義在［0，＋∞）上的連續(xù)函數(shù)v（x），xv（x）為增的，并且

和函數(shù)f（z）滿足

若對(duì)于v（x）和｛λn｝下列條件之一成立：①對(duì)于任意的－v（x）＞ε（lny－lnx）－A（y＞x＞1）；˙k（0）＞－∞，并且有.這里S（t）.則對(duì)于寬度大于πL的任何帶形B有：①ρB＝ρ；②如果，那么τB＝τ.

本文在比文獻(xiàn)［4］中給出的條件相對(duì)弱的條件下，利用Dirichlet級(jí)數(shù)（1）的增長性質(zhì)研究具有無限級(jí)的Dirichlet級(jí)數(shù)（1）的值分布特征.

1 引理及其證明

為研究級(jí)數(shù)（1）所定義的整函數(shù)的值分布，須討論角域中解析函數(shù)的Borel方向.設(shè)g（z）在角域中全純，g（z）在角域Δ中有級(jí)ρ是指其中

引理1［6］設(shè)h（z）在單位圓盤｝內(nèi)全純，那么有：

令函數(shù)g（z）在角域中解析，

引理2［7］設(shè)函數(shù)g（z）在上述的Δ中全純，記那么有：

引理3［4］，其中cη∈C是與η有關(guān)的常數(shù)，且當(dāng)r充分大時(shí)

利用上面的引理可得出關(guān)于角域中解析函數(shù)的Borel方向的如下結(jié)果：

引理4 設(shè)g（z）在中全純，且在Δ及Δ0中具有無限級(jí)ρ＝∞則在Δ0中g(shù)（z）有1條無限級(jí)的Borel方向即對(duì)于任意的a∈C至多有1個(gè)例外值，對(duì)于任意的ε＞0有其中n（r，θ0，ε，g＝a）表示函數(shù)g（z）在集中取值為a的點(diǎn)的個(gè)數(shù).

由此可知，當(dāng)k＜∞時(shí)，積分發(fā)散.否則，對(duì)于任意的ε＞0，存在r＞0使得.這與（5）式相矛盾.因積在k＜ρ時(shí)發(fā)散，所以再由引理2中的2）可得

把Δ2η平分成頂點(diǎn)在原點(diǎn)的2個(gè)角形，對(duì)于其中1個(gè)角形ρ）.再把角形Δ（1）平分成2個(gè)角形，對(duì)于其中1個(gè)角形Δ（2.依次類推，可得1個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形套｛Δ（n）｝，對(duì)于其中任意1個(gè)且所有的Δ（n）有1個(gè)公共射線對(duì)于任意的ε＞0，Δ（n）?Δ（n）＊

，其中Δ（n）＊是與Δ（n）有相同頂點(diǎn)及頂角平分線的角形，并且Δ（n）＊的頂角是Δ（n）的頂角的2倍.對(duì)Δ（n）及Δ（n）＊上的函數(shù)g（z）應(yīng)用引理2的結(jié)論1）可知，對(duì)于任意的a∈C，至多有1個(gè)例外值因此

由（6）式導(dǎo)出：對(duì)于任意的a∈C至多有1個(gè)例外值；否則會(huì)得到與（6）式相矛盾的結(jié)果.于是因此Bη是g（z）在Δ0中的1條無限級(jí)的Borel方向.證畢.

2 定理及其證明

定理2 Direchlet級(jí)數(shù)（1）滿足條件（2），存在定義在［0，＋∞）上的連續(xù)函數(shù)v（x），xv（x）為增的，且滿足式（3），這個(gè)級(jí)數(shù)定義的整函數(shù)f（z）有無限級(jí)ρ＝＋∞且滿足式（4），且定理1中的條件①或者②對(duì)于v（x）和｛λn｝成立，那么在寬度為2πL的任何水平閉帶形中，函數(shù)f（z）一定有1條無限級(jí)的水平Borel方向.

證明 對(duì)于任意的z0∈C，任取l＞L，考慮帶形.由定理1可知，ρB這里.做保形映射它把B映成Δ0，把f（z）映成Δ上的全純函數(shù)F（z）＝f（φ－1（z））.又有M（x，f，從 而于是由引理4可知，F(xiàn)（z）在Δ0中有1條從原點(diǎn)出發(fā)的無限級(jí)的Borel方向.再做映射z＝φ－1（w），則f（z）在B中必有1條無限級(jí)的水平Borel線.因?yàn)閷?duì)任何的l＞L，以上證明成立，因此在寬度為2πL的任何水平閉帶形B＝｛z＝x＋iy∶中，函數(shù)f（z）一定有1條無限級(jí)的水平Borel方向，證畢.

［1］南華.具有指定Julia方向的有限級(jí)整函數(shù)［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，37（3）：223－225.

［2］南華.超越整函數(shù)的正規(guī)族 ｛f（2nz）｝［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，36（2）：109－113.

［3］孫道椿，陳特為.無限級(jí) Dirichlet級(jí)數(shù)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，44（2）：259－268.

［4］余家榮.Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004：16－79.

［5］楊向東，鄧冠鐵.關(guān)于Dirichlet級(jí)數(shù)的增長性質(zhì)與值分布［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，42（1）：1－7.

［6］Nevalinna R.Le theoreme de Picard－Borel et la theorie des fonctions meromorphes［M］.Paris：Gauthier－Villdos，1929.

［7］Tsuji M.Potential theory in modern function theory［M］.Tokyo：Maruzen，1959：232－342.

The value distribution of Dirichlet series of infinite order

NAN Hua
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

The value distribution of Dirichlet series of infinite order are studied.Some improvements on the growth and value distribution of Dirichlet series are obtained.For analytic functions represented by Dirichlet series of infinite order，under certain restrictive conditions，their orders and the width of strip regions in which Borel directions exist are estimated.

Dirichlet series；Borel direction；order；value distribution

O174.5

A

1004－4353（2012）03－0183－04

20120712

延邊大學(xué)科研項(xiàng)目（延大科合字［2010］第002號(hào)）

南華（1972—），女，博士，副教授，研究方向?yàn)閺?fù)變函數(shù).