一類線性微分方程解的增長性及Borel方向

魏文龍，楊琰琰，黃志剛

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

1 主要結(jié)果

文中將考慮二階線性微分方程

其中A和B都是整函數(shù)。文中使用Nevanlinna值分布及角域上值分布的標(biāo)準(zhǔn)記號[1-2]，用T（r，f）表示亞純函數(shù)f的特征函數(shù)，用σ（f），μ（f）分別表示整函數(shù)在全平面上的增長級和下級。

定義1[3-4]設(shè)0≤α＜β＜2π，復(fù)平面上的角域定義為

若f是整函數(shù)，記

f在角域上、徑向上的增長級分別定義為

定義2[5]設(shè)f（z）在開平面|z|＜∞上的一個σ（σ≥0）級亞純函數(shù)，如果對任意小的ε＞0和任意復(fù)數(shù)a，都有，至多除去兩個值a例外，則稱從原點出發(fā)的射線argz=θ是整函數(shù)f（z）的 1 條 σ（σ≥0）級 Borel方向。

定義 3[6-7]設(shè) f（z）是角域 Ω（α，β）上的亞純函數(shù)，0＜β＜α≤2π，k=π/（β-α），定義

亞純函數(shù) f（z）在角域 Ω（α，β）上的級定義為

目前，有學(xué)者研究了二階線性微分方程（1），考慮方程非零解的增長級為無窮的情形。由于方程中系數(shù)函數(shù)A（z）和B（z）對方程解起到?jīng)Q定性作用，因此，學(xué)者致力于研究當(dāng)方程系數(shù)滿足什么情形時，可以得到方程的任一非零解都是無窮級。 得到結(jié)論：若 A（z）和 B（z）都是整函數(shù)且 σ（A）＜σ（B）；或者 A（z）是多項式，B（z）是超越整函數(shù)；或者 σ（B）＜σ（A）＜1/2，則方程（1）的所有非零解都是無窮級。 文獻(xiàn)[8]考慮了當(dāng) P（z）是 n次多項式，A（z）是方程 f″+P（z）f=0 的非零解，B（z）是超越整函數(shù)且 σ（B）＜1/2，同樣得出方程（1）的每一個非零解都是無窮級。在此基礎(chǔ)之上文獻(xiàn)[9]將結(jié)論推廣到了高階方程中，使得高階方程的任一非零解也是無窮級。之后，有學(xué)者開始研究方程解在角域內(nèi)的增長性，文獻(xiàn)[3]得出方程解在角域內(nèi)增長級為無窮的充要條件。于是對于方程解在角域內(nèi)的研究也逐漸展開，文獻(xiàn)[10]研究了二階線性微分方程的解在角域內(nèi)的增長級和Borel方向的關(guān)系，并給出了如下結(jié)論。

定理 A[10]設(shè) A（z）和 B（z）為有限級整函數(shù)，Ω（α，β）（0＜β-α≤2π）為某一角域；若 A（z）和 B（z）在Ω（α，β）內(nèi)滿足條件：?θ∈（α，β），使得 argz＝θ為 B 的 1 條 λ（0＜λ≤σ（B））級 Borel方向，且 σα，β（?。鸡耍瑒t對方程 f″+Af′+Bf=0 的任一非平凡解 f，有 σα，β（f）＝∞，且 argz＝θ為 f的 1 條 ∞ 級 Borel方向。

隨后，文獻(xiàn)[11]考慮了高階方程 f（n）+An-1f（n-1）+…+A0f=0 非零解在角域內(nèi)的增長性和 Borel方向之間的關(guān)系，得到了下面的結(jié)論。

定理 B[11]設(shè) A0，A1，…，An-1為有限級整函數(shù)，Ω（α，β）（0＜β-α≤2π）為某一角域，若 A0，A1，…，An-1在Ω（α，β）內(nèi)滿足條件：?θ∈（α，β），使得 argz＝θ為 A0的 1 條 λ（0＜λ≤σ（A0）級 Borel方向，且 σα，β（Αj）＜λ（j＝1，2，…，n-1），則方程 f（n）+An-1f（n-1）+…+A0f=0 的任一非平凡解 f，有 σα，β（f）＝∞ 且 argz＝θ為 f的 1 條 ∞ 級Borel方向。

上述定理證明了微分方程在系數(shù)滿足一定條件下，方程非平凡解在角域內(nèi)的增長級是無窮，且系數(shù)和解具有相同的Borel方向，但只證明了公共Borel方向的存在性。那么如果繼續(xù)考慮方程解和系數(shù)在角域內(nèi)的公共Borel方向，是否能得到更多的公共Borel方向呢？

定理 1二階線性微分方程 f″+Af′+Bf=0，設(shè) A（z），B（z）為有限級整函數(shù)，如果 σ（B）＞1/2 和 B 有一個虧值，則存在一個夾角大于 π/σ（B）的角域 Ω（α，β），使得 f至少有兩條 Borel方向。

2 相關(guān)引理

引理1[2]設(shè)f（z）為開平面亞純的有窮正級函數(shù)且具有一個虧值。若級λ＞1/2，則其Borel方向至少有兩條，且在這些方向中存在兩條，夾角不超過π/λ。

引理2[12]設(shè) f（z）為角域 Ω（α，β）（0＜β-α≤2π）上的非常數(shù)亞純函數(shù)，則?aj∈C∞，j＝1，2，…，q，有

其中E是一個線性測度有限的集合。

引理 3[13]設(shè) f（z）是一個角域內(nèi)具有有限級 σ 的亞純函數(shù)，Γ={（n1，m1），（n2，m2），…，（nj，mj）}表示滿足 nj＞mj≥0（i＝1，2，…，j）的不同整數(shù)對的有限集。 設(shè) ε＞0 和 δ＞0 為給定的正常數(shù)，則存在只與 f，ε 和 δ

有關(guān)的常數(shù)K＞0，使得

成立，其中（n，m）∈Γ，z＝reiφ∈Ω（α+δ，β-δ），z?D，D 為由可數(shù)個半徑之和為有限的圓盤并構(gòu)成的一個 R-值集，kδ=π/（β-α-2δ）。

引理 4[5]設(shè) f（z）是級 0＜σ≤∞ 的亞純函數(shù)，假定 B：argz＝θ0（0≤θ0≤2π）為 f（z）的 1 條 σ 級 Borel方向，則在以原點為頂點，以 argz＝θ0為角平分線的任意小角域 Ω（θ0-ε，θ0+ε）內(nèi)，存在 1 列 σ 級充滿圓，使得在每個 Γm內(nèi)，f（z）可取任意復(fù)數(shù)至少 nm次，至多可能除去一些復(fù)數(shù)含于球面半徑為的 2 個圓內(nèi)，其中

3 定理1的證明

對于方程

通過變形得到

于是兩邊同時取模并運用三角不等式有

根據(jù)引理 1，因為 1/2＜σ（B）＜∞，且 B（z）有一個虧值，則 B（z）的 Borel方向至少有兩條，且這些方向中存在兩條，夾角不超過 π/σ（B），且令 σ（B）＝σ1。 所以存在一個夾角超過 π/σ1的角域記為 Ω（α，β），在角域Ω（α，β）內(nèi)至少存在 B（z）的兩條 Borel方向。

假設(shè) σα，β（f）＝ρ＜∞，argz＝θ0（θ0∈（α，β））為 B（z）的一條 σ（B）（＜∞）級 Borel方向。

根據(jù)引理 3，取 δ0＞0，使得 θ0∈（α+δ0，β-δ0）。 對于 z＝reiφ∈Ω（α+δ0，β-δ0）且 z＝reiφ?D，有

其中D是引理3中給出的例外集。

因為 argz＝θ0為 B（z）的一條 σ（B）級 Borel方向，選取適當(dāng)?shù)?η，使得 Ω（θ0－η，θ0+η）?Ω（α+δ0，β-δ0）。由引理 4 可得，存在一組 Borel充滿圓 Γm：|z-zm|＜εm|zm|，其中

因為∞是整函數(shù)B（z）的Picard例外值，根據(jù)充滿圓的性質(zhì)，在充滿圓定義中的兩個除外球面小圓中必有一個包含∞。定義|z1，z2|為z1，z2的球面距離，當(dāng)m充分大的時候，存在復(fù)數(shù)am∈Γm，于是有

這樣就可以找到與 m 無關(guān)的正常數(shù) C，使得對充分大的 m，有因為|am|=（1+o（1））|zm|，于是有

由 Phragmen-Lindelof定理，容易知道存在區(qū)間[θ1，θ2]?（θ0-η，θ0+η），使?θ∈[θ1，θ2]，有

因為D是由半徑之和為有限的可數(shù)個圓盤并構(gòu)成的一個R-值集，所有滿足條件：射線argz＝θ與D中無窮個圓盤相交的 θ的測度為 0。 故由（5）式，可取 θ*∈[θ1，θ2]，使得?R0＞0，當(dāng) r＞R0時，有

成立，其中

由（6）式，取 0＜ε*＜（σ1－σ0）/2，其中 σ0＝σα，β（A）＜σ1。

當(dāng)n充分大時，有

成立。

又因為 σα，β（A）＜σ0，由整函數(shù)在角域內(nèi)的增長級的定義，有

下證B（z）的Borel方向就是f的 Borel方向。

假設(shè)?θ1∈（α，β），argz＝θ1為 B（z）的一條 Borel方向，則 argz＝θ1為 f的一條 Borel方向。若不然，則必然有3個例外值點，設(shè)為 a1，a2，a3，于是根據(jù) Borel例外值定義有

根據(jù)角域第二基本定理，即引理2可知

注意到

結(jié)合（12）－（14）式。 根據(jù)角域中級的定義，于是有 σθ1－ε，θ1+ε（f）＜τ，這與條件矛盾。

于是 argz＝θ1為 f的一條 Borel方向。 由于 θ1的任意性，可得出 B（z）在角域 Ω（α，β）內(nèi)所有的 Borel方向都是f的Borel方向。

故f在角域Ω（α，β）至少有兩條Borel方向，定理得證。