線性代數(shù)中矩陣的應用研究

李 明

(蘇州工業(yè)職業(yè)技術學院，江蘇 蘇州 215104)

線性代數(shù)中矩陣的應用研究

李 明

(蘇州工業(yè)職業(yè)技術學院，江蘇 蘇州 215104)

文章分析和研究了矩陣在不同領域中的應用，并通過實例展現(xiàn)了矩陣應用的廣泛性，以及滲透在各個學科中的普遍性，顯現(xiàn)了矩陣在解決實際問題中所起到的簡化作用，從而能更進一步地研究和推廣矩陣的應用性。

線性代數(shù);矩陣;矩陣應用

0 引言

線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支，矩陣和行列式是線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容。隨著計算機的飛速發(fā)展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決，于是作為處理離散問題的線性代數(shù)就越來越受到世人的關注，并已經(jīng)滲透到物理學、統(tǒng)計學、計算機科學、人工智能、系統(tǒng)控制論、信息論、圖形圖像處理、材料化工和農(nóng)林醫(yī)學等領域的應用前沿，矩陣已經(jīng)成為一門獨立的理論在各個領域發(fā)揮著應用潛能。

矩陣是將重要信息數(shù)據(jù)摘錄下來的一個數(shù)表，可以對數(shù)據(jù)進行各種變換，得到一個新的矩陣，從而通過代數(shù)的方法進行研究，對復雜和抽象化的問題進行簡化，看清問題的本質(zhì)，得出一些需要的結(jié)論，因此在很多實際應用中都滲透了矩陣理論。為此對矩陣在各學科中的應用實例進行分析和解決，進一步研究和推廣矩陣的應用性。

1 矩陣在量綱化分析法中的應用

所謂量綱化分析，最早是在20世紀初物理領域中建立數(shù)學模型的一種方法。許多物理量都是有量綱的，它分為基本量綱和導出量綱?；玖烤V包括時間[t]=T、質(zhì)量[m]=M 和長度[l]=L，其他量都是導出量，如，加速度的量綱[a]=LT-2就是由基本量綱導出的。等號兩端各變量遵循量綱一致的原則，可以建立一個線性方程組，通過矩陣變換解決量間的關系[1]，如例1。

例1 (勾股定理的證明)設一個RT△的斜邊長為c，2個直角邊長分別為a，b。假若選取三角形面積S，2個銳角α，β及斜邊c為待研究的變量，則必有如下關系:

式(1)有4個量綱，而只有3個基本量綱，必有1個量是無量綱的，將上述各量的量綱列成矩陣如下，每列代表1個變量的量綱數(shù)據(jù)[2]。

解線性方程:

解之得:x11=2，x21=0，x31=0，故有關系式:

其中，λ為唯一待確定的無量綱量。式(2)說明在RT△中，面積與斜邊的平方成比例。假若作斜邊上的高，將三角形分成2個相似的RT△，面積分別為S1，S2，則邊長a，b成為2個小RT△的斜邊[3]，三角形相似圖如圖1所示。

圖1 三角形相似圖

根據(jù)上面得到的結(jié)論和相似原理，有S1=λa2，S2= λb2，而 S=S1+S2，則:

λc2=λa2+λb2

勾股定理得證，即:

c2=a2+b2

量綱分析只涉及代數(shù)運算，因此人們在做非常昂貴的實驗之前，比較傾向于在不同假設下建立若干相似模型，再擇優(yōu)進行，有時還對部分常數(shù)起到了壓縮或恢復的作用。

2 矩陣在信息編碼中的應用

在密碼信息傳輸中，矩陣運算的應用非常廣泛，主要是編碼和譯碼。所謂編碼是將明文加上密鑰加密成密文發(fā)送出去，而譯碼是將密文通過密鑰解密成明文。由于兩過程是相反的，因此矩陣的逆運算就發(fā)揮了較好的作用。

一般通用的傳遞信息方法是26個字母依次對應1～26個整數(shù)，如，A對應1，B對應2，C對應3，等等，依次對應，空格對應0，具體見表1。

表1 字母對應表

密鑰是由初等矩陣變換而來的，由于初等矩陣均是可逆矩陣，因此保證了密鑰矩陣也是可逆的，且矩陣A中所有元素均是整數(shù)，其行列式值為±1，這樣可以保證A-1中所有元素也是整數(shù)，若明文矩陣B，且信息放在矩陣B的各列，經(jīng)過密鑰A對其加密，AB=C后成為密文C傳輸。因此，要解密得到明文B，只需左乘A-1，得B=A-1C，如例 2[4]。

例2 (解密算法)若加密密鑰為矩陣:

傳輸出信息為: -19，19，25，-21;0，18，-18，15，3，10，-8，3，-2，20，-7，12，它傳輸了什么信息?

實際上將密文信息按照列排成密文矩陣:

則明文矩陣B應為:

對應表1得到相應的信息為:DO YOUR HOMEWORK(做作業(yè))。

3 矩陣在經(jīng)濟模型中的應用

商品交換是經(jīng)濟事務中的常事，它在經(jīng)濟社會中時刻都有發(fā)生，小到2人之間的實物交換，大到產(chǎn)業(yè)之間的交易，都或多或少，或簡單或復雜地參入了商品交換中各商品價值的體現(xiàn)，假如不考慮資本積累和債務，交換是封閉式的，如何對已生產(chǎn)出的產(chǎn)品進行合理地定價，才能維持整個經(jīng)濟社會正常的運作?

在這個復雜的經(jīng)濟系統(tǒng)中，矩陣可以將其轉(zhuǎn)化為線性方程組而輕松地解決，如例3。

例3 (商品交換基礎模型)假如社會存在3種產(chǎn)業(yè)之間的商品交換，這3種產(chǎn)業(yè)分別記作E，F(xiàn)，G，它們在不存在貨幣制度的前提下，使用實物交換制度。產(chǎn)業(yè)E將商品的留給自己，給產(chǎn)業(yè)F，給產(chǎn)業(yè)G。產(chǎn)業(yè)F將商品的留給自己，給產(chǎn)業(yè)E，給產(chǎn)業(yè)G。產(chǎn)業(yè)G將商品的留給自己給產(chǎn)業(yè)E給產(chǎn)業(yè)F。應該如何給這3種產(chǎn)業(yè)進行定價，才能使經(jīng)濟體持續(xù)進行下去[4]?

根據(jù)上述信息，可以構(gòu)造一個有向圖來表示實際實物交換的整個系統(tǒng)，如圖2所示。圖2中的箭頭表示商品在某2個產(chǎn)業(yè)之間流出和流入的交換狀況。

圖2 實物交換系統(tǒng)圖

將3種產(chǎn)業(yè)E，F(xiàn)，G的產(chǎn)品分配情況列成表格，清晰描述如下:

這些方程構(gòu)成了一個齊次線性方程組:

通過矩陣變換，得:

4 矩陣在生物種群生長趨勢動態(tài)預測中的應用

在研究生物種群發(fā)展時，矩陣方程、矩陣乘法和矩陣對角化的知識，能較為容易地解決矩陣高次冪的結(jié)果，而矩陣高次冪的運算描述了生物種群若干年后的發(fā)展狀況，因此矩陣很好地預測、驗證、模擬了種群的繁衍情況，如例4。

那么，在tk時刻動物種群年齡分布為:

隨著時間的變化，種群各年齡段動物的數(shù)目也會發(fā)生變化，根據(jù)平衡關系，時刻tk，第一個年齡組中雌性動物數(shù)等于在時段[tt-1，tk]內(nèi)各年齡階段中動物生育的幼體數(shù)目總和，即:

又由于:

即:

有矩陣乘積 X(k)=AX(k-1)，k=1，2，…，n -1，其中系數(shù)矩陣為:

于是，X(k)=AkX(0)，k=1，2，…，n -1。

知道初始時刻，動物種群的年齡分布，就能算出tk時刻種群數(shù)目的分布X(k)。

假如，N=15，分成 3 個年齡組[0，5]，[6，10]，[11，15]，統(tǒng)計得 3 個年齡組雌性動物的生育率分別為 0，4，3，存活率為 0.5，0.25，0，初始時刻3個年齡組雌性動物的數(shù)量為1 000，1 000，2 000，那么10年后動物總數(shù)又如何?[5]

相當于:

說明10年后，3個年齡段的動物總數(shù)分別發(fā)展為2 750，5 000，250。當 n足夠大時，涉及到A″的求解，需要使用矩陣對角化的知識，再通過n→∞時的極限知識來研究動物總數(shù)的整個趨勢，從而科學地預測和分析動物數(shù)量動態(tài)的變化過程。

通過不同領域中矩陣的應用實例，說明矩陣正在發(fā)揮著它獨有的潛能，隨著科學技術的發(fā)展，矩陣應用的滲透會越來越深入，各個學科之間的交叉會越來越頻繁，學科之間的界限也會越來越模糊，數(shù)學的基礎性會越來越明顯，因此，有數(shù)學參與的研究會更加有說服力，會更加簡潔，矩陣就做到了這一點。

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學建模[M].3版.北京:高等教育出版社.2005.

[2]吳學勇.量綱分析應用研究[J].甘肅高師學報，2000(5):40-43.

[3]孫建美.量綱分析及其應用[J].湖北汽車工業(yè)學院學報，2001(15):60 -62，80.

[4](美)Steven J Leon.Linear Algebra with Applications[M].8th ed.張文博，張麗靜，譯.北京:機械工業(yè)出版社，2010.

[5]黃玉梅，彭濤.線性代數(shù)中矩陣的應用典型案例[J].蘭州大學學報:自然科學版，2009，45(專輯):123 -125.

Study on the Application of Matrix in Linear Algebra

LI Ming

(Suzhou Institute of Industrial Technology，Suzhou 215104)

This paper makes an analysis of the matrix in four different fields of application，and cites examples to demonstrate the popularity of matrix application and its penetration in all disciplines.It demonstrates the simplifying function of matrix in solving practical problems，thus to further the research and extension of matrix application.

linear algebra;matrix;matrix application

O151.21

A

1671-0436(2011)03/04-0059-04

2011-07-04

李明(1975— )，女，碩士，講師。

責任編輯:張秀蘭