淺談量綱法推導(dǎo)物理公式的優(yōu)勢
——以勻加速直線運(yùn)動公式為例

●綦勝田 崔虹云 胡冰玉

一、學(xué)生學(xué)習(xí)量綱的必要性和可行性

（一）必要性

量綱學(xué)習(xí)的必要性主要體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的過程中。用數(shù)學(xué)方法解決物理問題先要定量分析物理公式中的物理量，也就是確定這些物理量的量綱，物理量的量綱確定后便可以將物理公式和數(shù)學(xué)函數(shù)密切的聯(lián)系起來①。但物理量的定量分析與簡單的數(shù)字化不同，物理量并不是簡單的數(shù)字，對于量化后物理量要認(rèn)識其背后的物理含義，如理解加速度時(shí)要注意其數(shù)值的大小，表示的是物體單位時(shí)間內(nèi)速度的改變量。所以物理公式與數(shù)學(xué)函數(shù)之間的關(guān)系需要量綱作為橋梁，因此不論是物理公式的定量分析或是物理問題的轉(zhuǎn)化都是建立在量綱的基礎(chǔ)上，由此可見物理量綱學(xué)習(xí)的必要性。

（二）可行性

往往在研究和檢驗(yàn)復(fù)雜物理公式時(shí)才會分析其中物理量的量綱，但量綱是量化物理量的基礎(chǔ)，具有基礎(chǔ)性，對于簡單的物理量或公式同樣適用。高中學(xué)習(xí)的物理量和物理公式又都是簡單的，清晰的，學(xué)習(xí)并理解這些物理量的量綱相對來說也是容易的。并且在高中物理必修一已經(jīng)涉及到量綱，在力學(xué)單位制這一節(jié)，該部分雖然沒有明確介紹量綱，但量綱就是這部分的知識來源。在2017年版《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出物理學(xué)科核心素養(yǎng)主要包含物理觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究和科學(xué)態(tài)度與責(zé)任。物理觀念的形成需要以物理視角看待身邊的實(shí)際問題，實(shí)際問題與物理公式或規(guī)律聯(lián)系需要學(xué)生對于物理量的準(zhǔn)確理解，這就需要學(xué)生掌握量綱②。由此可見量綱的掌握既符合學(xué)生物理學(xué)習(xí)的需要，也符合物理觀念形成的需要。因此量綱的學(xué)習(xí)對于高中學(xué)生是可行的。

二、推導(dǎo)勻加速直線運(yùn)動學(xué)公式的常見方法

一般來說在研究初速度勻加速直線運(yùn)動中，位移，時(shí)間和加速度三者關(guān)系計(jì)算公式的推導(dǎo)是通過作圖的方式來獲得的。將物理量之間的關(guān)系即物理問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系即數(shù)學(xué)問題，雖然這是物理學(xué)到數(shù)學(xué)的一種常見遷移，但在高中階段，這是首次用數(shù)學(xué)的方式解決物理問題。作圖法需要引導(dǎo)學(xué)生理解勻變速直線運(yùn)動中V-T圖像各部分的物理意義，再將勻變速直線運(yùn)動的位移轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像面積的求解③。這種將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)函數(shù)問題和面積的求解的方法，雖然是經(jīng)典且常用的方法，但考慮到學(xué)生的初次接觸，思維和認(rèn)知能力受到年齡的限制，直接的轉(zhuǎn)化略顯突兀。而量綱的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生快速理解作圖法。教師可在問題轉(zhuǎn)化前給予學(xué)生提示或思路，而學(xué)生將量綱作為橋梁思考作圖法，教師再給予講解，使學(xué)生既看到作圖法解決物理問題的便捷，切實(shí)感受數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的奇妙。

三、量綱法推導(dǎo)勻速直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式

（一）量綱、基礎(chǔ)量、導(dǎo)出量、量綱式和量綱指數(shù)

量綱（dimension）即物理量的基本屬性。對于某一物理量的量綱，一般的表述方式是在該物理量字母前添加量綱英文縮寫前綴，如長度的量綱即為dimL④。使用量綱法推導(dǎo)物理公式首先需要明確基礎(chǔ)量和導(dǎo)出量。因?yàn)閷⑽锢砹繀^(qū)分為基本量和導(dǎo)出量是量綱法研究物理學(xué)的基礎(chǔ)。物理量分為兩種,第一種是基礎(chǔ)量，由7個(gè)物理量構(gòu)成，它們分別是長度L、質(zhì)量M、時(shí)間T、電流強(qiáng)度I、溫度K，物質(zhì)的量n和光強(qiáng)度J⑤?；A(chǔ)量的特點(diǎn)是量綱式即為其本身，如長度L的量綱式為dimL=L。第二種是導(dǎo)出量，導(dǎo)出量是指由兩種或者兩種以上基礎(chǔ)量構(gòu)成的物理量，并且目前物理學(xué)中所有的導(dǎo)出量都可以用基礎(chǔ)量導(dǎo)出。正因如此導(dǎo)出量都可以改寫為由基礎(chǔ)量組成的數(shù)學(xué)形式，這種數(shù)學(xué)形式就是量綱式。量綱式是指將導(dǎo)出量還原成基礎(chǔ)量的方程式。將物理公式中所有導(dǎo)出量還原為基礎(chǔ)量，再將乘除等運(yùn)算關(guān)系改寫為相應(yīng)的冪指數(shù)的。如對于任一導(dǎo)出量A可以得到如下量綱式的通式：

dimA=LαMβTγIδTεnζJη（1）

式中的每個(gè)基本量的指數(shù)α，β等稱為量綱指數(shù)。以此為基礎(chǔ)，可以寫出運(yùn)動學(xué)中導(dǎo)出量速度v和加速度a的量綱式。速度v的量綱式由基礎(chǔ)量長度L和時(shí)間T組成，速度量綱指數(shù)α=1，γ=-1，不包含其他基礎(chǔ)量，則其余量綱指數(shù)為零。加速度a的量綱式由基礎(chǔ)量長度L時(shí)間和T的量綱組成，其量綱指數(shù)α=1，γ=-2，同樣不包含其他基礎(chǔ)量，其余量綱指數(shù)同為零。量綱式如下：

dimν=LT-1dima=LT-2（2）

（二）量綱法推導(dǎo)初速為零勻速加直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式

因?yàn)槲锢砉讲粌H反映物理量之間的關(guān)系，同時(shí)反映等式兩端物理單位之間的關(guān)系，所以物理學(xué)公式的研究，可以在建立量綱后，通過物理公式的等式關(guān)系加以數(shù)學(xué)推導(dǎo)快速確定物理公式或者判斷公式是否正確，這種方法就是量綱法。量綱法首先需要確立量綱和物理公式的等式關(guān)系，再將各物理量改寫為量綱式帶入等式進(jìn)行推導(dǎo)。如量綱法推導(dǎo)初速為零的勻速加速直線運(yùn)動公式，首先需要確定影響位移x的物理量，通過生活經(jīng)驗(yàn)與邏輯分析發(fā)現(xiàn)，影響物體位移x大小的物理量包括加速度a和時(shí)間t，并且加速度a與時(shí)間t都與位移x呈正相關(guān)，以此建立等式關(guān)系，帶入各物理量的量綱式。等式關(guān)系即為位移x的量綱式等于比例常數(shù)k倍加速度a的量綱式與時(shí)間t的量綱式之積。經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到兩個(gè)物理量的量綱指數(shù)，檢驗(yàn)后完成基礎(chǔ)的物理公式推導(dǎo)。

確定影響位移的物理量，確定物理量之間的關(guān)系

將公式中包含的物理量改寫為量綱式，k為比例常數(shù)

將（4）帶入關(guān)系式（3）中，整理得到推導(dǎo)式

通過由等式關(guān)系可得

則有

由此可推導(dǎo)出基礎(chǔ)的初速為零的勻加速直線運(yùn)動運(yùn)動學(xué)公式

四、總結(jié)

每個(gè)物理公式的函數(shù)形式無不透露著物理學(xué)與數(shù)學(xué)的對稱美。這種美需要以確定物理公式中每個(gè)物理量的量綱為基礎(chǔ)，只有確定量綱才能連接物理與數(shù)學(xué)。量化公式中的物理量確定其量綱是連接物理學(xué)與數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同樣也是遷移并解決物理問題的重要一步。量綱法推導(dǎo)物理公式與常見的推導(dǎo)方式相比，將上述的推導(dǎo)過程適當(dāng)加入教學(xué)中后，在問題轉(zhuǎn)化前給予學(xué)生提示或思路，而學(xué)生根據(jù)提示將量綱作為橋梁思考物理問題與數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，教師再給予講解，使學(xué)生水到渠成地理解作圖法，看到作圖法解決物理問題的便捷，切實(shí)感受數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的奇妙。養(yǎng)》。]

注釋：

①梁燦彬,曹周鍵,陳陟陶.量綱分析簡介[J].大學(xué)物理,2017,36(12):1-5

②廖伯琴.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)要點(diǎn)解讀[J].物教學(xué)學(xué),2020,42(02):2-5

③堵健忠,孫林偉.教會學(xué)生用作圖法破解高中物理學(xué)習(xí)障礙[J].湖南中學(xué)物理,2017,32(04):77-78

④談慶明.“量綱”一詞溯源[J].力學(xué)與實(shí)踐,2007(01):72

⑤談慶明.說說“量綱”和“量綱一”[J].力學(xué)與實(shí)踐,2009,31(01):107+103