量綱分析在熱力學統(tǒng)計物理中的教學應用*

藍善權(quán)

(嶺南師范學院物理科學與技術(shù)學院 廣東 湛江 524048)

1 引言

每個物理量都有屬性，比如：聲速、光速、車速，它們具有相同的屬性，即速度；長度、時間、速度、溫度，它們具有不同的屬性.物理量的屬性可用“量綱”來表征，但并非每一個物理量都需要指定一個量綱.目前發(fā)現(xiàn)7個基本物理量(“基本量”)，分別是長度、質(zhì)量、時間、溫度、物質(zhì)的量、電流和發(fā)光強度，所有其他物理量(“導出量”)都可以由這7個基本物理量導出.例如，壓強p的量綱可以寫成[p]=ML-1T-2，其中M表示質(zhì)量量綱，L表示長度量綱，T表示時間量綱，數(shù)字表示量綱指數(shù).基于齊次定理和Π定理，物理問題中物理量之間關系的分析稱為量綱分析[1～6].下面通過3個例子來闡述它在熱力學統(tǒng)計物理中的具體應用[7].

2 量綱分析在熱力學統(tǒng)計物理中的運用舉例

熱力學統(tǒng)計物理中涉及的基本物理量(量綱)是溫度T(Θ)、物質(zhì)的量ν(N)、時間t(T)、長度L(L)、質(zhì)量m(M)、電流I(I).采用量綱分析法求解問題的思路是：分析找到可能相關的物理量；寫出無量綱量等式；列出量綱表；求解量綱指數(shù)方程組[8].

2.1 理想氣體的碰壁數(shù) 即單位時間內(nèi)碰到單位面積器壁上的分子數(shù)

分析：理想氣體由理想氣體方程描述，碰壁數(shù)Γ必然由理想氣體方程中的各個物理量所決定.因為碰壁數(shù)是強度量，所以涉及的物理量不可能是廣延量.從而總結(jié)得到可能相關的并且獨立的物理量有分子數(shù)密度n、分子質(zhì)量m、玻爾茲曼常數(shù)k、溫度T.

解：寫出無量綱量

Π=n-αm-βk-γT-δΓ

(1)

把涉及的5個物理量的量綱分別列出來，如表1所示.

表1 碰壁數(shù)涉及的5個物理量量綱

對無量綱量求量綱，帶入上表所示物理量的量綱，得到量綱關系式

dimΠ=[n]-α[m]-β[k]-γ[T]-δ[Γ]=L3α-2γ-2M-β-γT2γ-1Θγ-δ=1

(2)

由上式可以求得量綱指數(shù)的方程組

(3)

解得

(4)

(5)

對于該問題，還可以選擇其他獨立物理量的組合，比如，用壓強p替換掉玻爾茲曼常數(shù)k，將得到

等等.但不管選用哪一組獨立物理量，最終結(jié)果都是等價的.

2.2 光子氣體的物態(tài)方程

分析：錢伯初先生用量綱分析法求出了平衡態(tài)的光子氣體的內(nèi)能密度與溫度的關系[3].本文采用同樣的方法來求光子氣體的物態(tài)方程.平衡態(tài)下，描述光子氣體的宏觀物理量只有溫度T、壓強p和體積V，而沒有光子的個數(shù)，因為光子數(shù)是不守恒的.所求物態(tài)方程就是關于上述宏觀物理量之間的關系的方程p=p(T,V).又因為壓強是強度量，與廣延量無關，所以光子氣體的物態(tài)方程可以寫成p=p(T).此外，光子是電磁波，可能與光速c有關；光子氣體是量子系統(tǒng)，可能與普朗克常數(shù)有關；涉及熱平衡，還可能與玻爾茲曼常數(shù)k有關.

解：寫出無量綱量

Π=T-αc-β?-γk-δp

(6)

把涉及的5個物理量的量綱分別列出來，如表2所示.

表2 光子氣體的物態(tài)方程涉及的5個物理量量綱

對無量綱量求量綱，代入表2所示物理量的量綱，得到量綱關系式

dimΠ=[T]-α[c]-β[?]-γ[k]-δ[p]=Θ-α+δL-β-2γ-2δ-1Tβ+γ+2δ-2M-γ-δ+1=1

(7)

由上式可以求得量綱指數(shù)的方程組

(8)

解得

(9)

從而得到Π=T-4c3?3k-4p，即

(10)

2.3 零溫時自由電子氣體的簡并壓

解：寫出無量綱量

Π=n-αm-βq-γ?-δk-σp

(11)

把涉及的6個物理量的量綱分別列出來，如表3所示.

表3 簡并壓涉及的6個物理量量綱

對無量綱量求量綱，代入表3所示物理量的量綱，得到量綱關系式

dimΠ=[n]-α[m]-β[q]-γ[?]-δ[k]-σ[p]=

L3α-2δ-2σ-1M-β-δ-σ+1I-γTγ+δ+2σ-2Θσ=1

(12)

由上式可以求得量綱指數(shù)的方程組

(13)

解得

(14)

(15)

3 總結(jié)與討論

本文例舉了量綱分析在熱力學統(tǒng)計物理中的應用.由3個實例可知，量綱分析簡單而實用，它基于物理量的屬性來尋找涉及某個問題的物理量之間的關系，有助于對問題本質(zhì)的理解、構(gòu)建清晰的物理圖像.就算是把定理公式給忘記了，也可以通過量綱分析推導出來.量綱分析除了在教學中有應用，在科學研究中的應用更廣泛[9～11].但是量綱分析的缺點也很明顯，即它是一種半定量的方法，無法得到待定參數(shù)Π.該參數(shù)需要由實驗或其他方法得到.