利用GeoGebra軟件繪制楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)的動態(tài)分布

李深遠(yuǎn)

(蘇州市蘇城外國語學(xué)校 江蘇 蘇州 215000)

1 引言

GeoGebra是一個適用于所有教育階段的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，軟件包中匯集了幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分等功能[1].相比其他幾何畫板軟件，GeoGebra的功能更強(qiáng)大，界面更友好；相比MATLAB，Mathematica等軟件，GeoGebra的學(xué)習(xí)門檻較低，且軟件安裝方便.更可貴的是GeoGebra是一個完全免費(fèi)的開源軟件，官方網(wǎng)站社區(qū)亦有大量教育工作者無償上傳各類源文件，方便其他教師參考學(xué)習(xí).GeoGebra可以在幾何、代數(shù)、表格等視圖窗口間完全互聯(lián)[1]，可用指令動態(tài)改變繪圖元素，這一特性給教師無論是課前準(zhǔn)備靜態(tài)或動態(tài)GIF圖像，還是課堂上即時使用軟件演示都帶來了極大便利.

楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是高中物理的重要知識點(diǎn)，筆者認(rèn)為人教版教材上對該實(shí)驗(yàn)的闡述尚有不足：

(1)相鄰兩個明條紋的中心間距

僅在小角度近似條件下成立，但是教材上有意無意給出了各條明條紋中心間距相等的結(jié)論；

(2)教材忽視介紹干涉明條紋亮度是中央明條紋向兩邊逐漸降低[2]，學(xué)生們即使在實(shí)驗(yàn)中觀察到這一現(xiàn)象往往也不明所以，而其他作者利用GeoGebra制作雙縫干涉演示時也沒有很好解決這一問題[3, 4].

在筆者制作的課件中將重點(diǎn)針對上述問題予以改進(jìn)，同時在光屏與光源間繪制兩個光源的波陣面，讓學(xué)生更清晰地理解兩個相干波陣面疊加是如何產(chǎn)生干涉圖像的.

2 繪圖過程和說明

2.1 繪制光屏上的光強(qiáng)分布

本例中利用GeoGebra滑動條功能設(shè)置6個可調(diào)參數(shù)，分別為兩個干涉光源的振幅A1和A2；雙縫到光屏之間距離l；雙縫間距d；入射光波長λ和光屏上移動點(diǎn)p.考慮到現(xiàn)實(shí)中l(wèi)，d，λ三者數(shù)量級差異巨大，在軟件界面中無法按真實(shí)比例還原，故本例中各參數(shù)的取值范圍主要側(cè)重于演示效果，滑動條取值范圍如表1.

表1 可調(diào)參數(shù)取值范圍

指令欄中輸入：y=0，該直線為光屏位置；

指令欄輸入：S_1=(-d/2,-l)，S_2=(d/2,-l)設(shè)置兩狹縫光源位置；

指令欄輸入：P=(p,0)，點(diǎn)P為光屏上移動點(diǎn)；

指令欄輸入：光程_1=線段(P,S_1)，光程_2=線段(P,S_2)，光程差=abs(光程_1-光程_2)，相位差=光程差/λ*2pi；

指令欄輸入：I_1=(a_1(光程_1))^2，I_2=(a_2(光程_2))^2分別得到兩個光源各自在光屏P點(diǎn)的光強(qiáng)參考值；

指令欄輸入：M=(p,I),光強(qiáng)分布=軌跡(M,p)即得到光強(qiáng)分布曲線.

另外加入文本，箭頭向量等元素完善課件.

圖1中可調(diào)節(jié)屏幕左側(cè)“光屏位置”滑動條或鼠標(biāo)直接拖拽形狀為“×”的動點(diǎn)調(diào)節(jié)該點(diǎn)在光屏的位置，同時文本會即時顯示該點(diǎn)對應(yīng)的光程差和相位差.例如：圖1上半部分當(dāng)拖拽“×”點(diǎn)所處位置的光程差為半波長時，相位差為180°，光強(qiáng)曲線上體現(xiàn)相消干涉；圖1下半部分當(dāng)拖拽“×”點(diǎn)所處位置的光程差為一倍波長時，相位差為360°，光強(qiáng)曲線上體現(xiàn)相長干涉.

圖1 演示波強(qiáng)與光程差和相位差的關(guān)系

2.2 在干涉區(qū)域繪制波陣面

在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，光源在狹縫處發(fā)生衍射，狹縫和光屏間發(fā)生干涉，但在教學(xué)中往往只關(guān)注光屏處的條紋變化，學(xué)生往往對狹縫和光屏間的物理圖像不甚了了[5]，對干涉是如何在光屏產(chǎn)生明暗條紋理解不清晰，故筆者利用GeoGebra中“序列”命令在干涉區(qū)繪制兩個光源的波陣面來解決此問題.

指令欄輸入：Wavefront_1=序列(圓周(S_1, i), i, 0, 100, λ)，Wavefront_2=序列(圓周(S_2, i), i, 0, 100, λ)分別繪制兩個光源波陣面；

指令欄輸入：y < y(S_2)||y>0繪制用作遮蔽其他區(qū)域波陣面的不等式；

屬性窗口高級選項(xiàng)內(nèi)調(diào)節(jié)所有顯示對象的圖層，保證波陣面所在圖層序號<不等式所在圖層序號<其他顯示對象所在圖層序號.

圖2中，兩個光源波陣面在干涉區(qū)疊加，產(chǎn)生了明暗交替的區(qū)域，對應(yīng)的在光屏上產(chǎn)生明條紋和暗條紋，這里需要對學(xué)生詳細(xì)解釋：通常波陣面代表波峰位置，圖上波峰疊加處“留白”較多，故產(chǎn)生明區(qū)域，相應(yīng)的發(fā)生相長干涉光屏上產(chǎn)生明條紋；反之波峰交替出現(xiàn)的區(qū)域“留白”較少產(chǎn)生暗區(qū)域，發(fā)生相消干涉光屏產(chǎn)生暗條紋.

圖2 在干涉區(qū)域繪制波陣面疊加的效果

2.3 為波陣面和光強(qiáng)分布曲線添加顏色

GeoGebra之所以處處強(qiáng)調(diào)“動態(tài)”，是因?yàn)樵谲浖胁还鈭D像的形狀可以隨調(diào)節(jié)滑動條變化而變化，甚至顏色也可以隨之變化.目前調(diào)節(jié)波長λ滑動條，學(xué)生只能觀察到光強(qiáng)分布和波陣面的變化，尚有不夠直觀之嫌，故筆者設(shè)法設(shè)置了讓圖中光源、波陣面、光強(qiáng)分布曲線等顯示對象的顏色不再顯示單一顏色，而是跟隨波長取值不同而顯示不同顏色.

GeoGebra提供了3種動態(tài)顏色模型：RGB，HSV和HSL，這里筆者選用HSV模型設(shè)置顯示對象顏色，本例中需要實(shí)現(xiàn)波長參數(shù)在[0.5,1.5]范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，顯示對象顏色從波長較短的紫色向波長較長的紅色變化.HSV模型有3個參數(shù)：色調(diào)(H)，飽和度(S)和明度(V)，色調(diào)用角度度量，紅色為0～10°，紫色為250°～310°，由于人眼不易分辨紫色和品紅色，故紫色取中值280°.因GeoGebra中HSV色調(diào)欄的取值范圍是[0,1)，需要把角度值280°換算為小數(shù)0.78.前文設(shè)置的自變量波長λ取值范圍為[0.5,1.5],因變量色調(diào)H取值范圍為[0, 0.78],兩者的線性關(guān)系為

H=-0.77λ+1.16λ∈[0.5,1.5]

在波陣面和光強(qiáng)曲線等顯示對象的屬性欄中設(shè)置動態(tài)顏色為HSV，統(tǒng)一輸入色調(diào)=-0.77λ+ 1.16，飽和度=1，數(shù)值=1.

圖3中移動波長滑動條，波陣面和光強(qiáng)曲線都隨之改變顏色，學(xué)生可以直觀接受其他條件不變時，波長更短的單色光相比波長更長的單色光明條紋數(shù)量更多、條紋間距更窄這一結(jié)論.

圖3 改變光源波長同時改變顯示顏色的效果(上紅下紫)

3 總結(jié)

本課件制作基于楊氏雙縫干涉的原理，利用GeoGebra強(qiáng)大的作圖功能，避免了復(fù)雜的計(jì)算即可演示雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中光強(qiáng)、波長、縫距和屏距如何影響干涉條紋亮度和間距.教師可在課堂上直接啟動軟件演示，也可在軟件中導(dǎo)出GIF圖像用于講解(ggb和gif文件下載鏈接：https://www.jianguoyun.com/p/DTrLF28Q9bH3BRjCqZ8E，已經(jīng)固定顯示比例適配16∶9屏幕).教師也可考慮引導(dǎo)學(xué)生嘗試獨(dú)立制作課件，更有利于學(xué)生加深對雙縫干涉的理解.筆者認(rèn)為有條件的學(xué)校可開設(shè)GeoGebra軟件的選修課，有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)能力.