基于傅里葉變換色散條紋法的實(shí)驗(yàn)研究*

黨 策，姜愛(ài)民，董志超，薛建偉

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)，北京 100101; 2. 中國(guó)科學(xué)院空間天文與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101;3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

光學(xué)綜合孔徑技術(shù)是將多個(gè)小口徑的光學(xué)元件或系統(tǒng)以某種構(gòu)型進(jìn)行精確排列，使通過(guò)各子孔徑的光束在焦平面上實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)的相干疊加，經(jīng)圖像復(fù)原技術(shù)處理后，達(dá)到與單一大口徑系統(tǒng)相當(dāng)?shù)难苌錁O限分辨率的技術(shù)，它可以突破單口徑望遠(yuǎn)鏡衍射極限的限制。

光學(xué)綜合孔徑望遠(yuǎn)鏡按照拼接方式的不同，分為拼接主鏡和拼接子鏡兩種形式。目前，世界各國(guó)已建立了多臺(tái)拼接子望遠(yuǎn)鏡形式的光學(xué)綜合孔徑望遠(yuǎn)鏡 。2002年，美國(guó)麻省理工學(xué)院建立了白光自適應(yīng)GOLAY-3型ARGOS(Adaptive Reconnaissance Golay-3 Optical Satellite)望遠(yuǎn)鏡[1]，它由3個(gè)孔徑為21 cm的子望遠(yuǎn)鏡組成，角分辨率0.35″，光譜范圍400～700 nm，視場(chǎng)為3′ × 3′，等效口徑0.62 m，信噪比100。美國(guó)洛克希德·馬丁公司聯(lián)合美國(guó)國(guó)家航空航天局、噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室、加州理工學(xué)院、加利福尼亞大學(xué)和羅切斯特大學(xué)，建立了空間多儀器口徑分布式傳感系統(tǒng)(Multiple Instrument Distributed Aperture Sensor, MIDAS)[2]， 該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)大視場(chǎng)、衍射極限成像，可以在5 000 km的軌道上進(jìn)行對(duì)地觀測(cè)，地面分辨率小于1 m，也可以在100 km的軌道上進(jìn)行高分辨率成像, 地面分辨率達(dá)到2 cm。

光學(xué)綜合孔徑望遠(yuǎn)鏡在進(jìn)行干涉成像時(shí)，必須實(shí)現(xiàn)光束的相干疊加，才能提高圖像的空間分辨率。對(duì)于白光寬帶成像系統(tǒng)，由于光源的相干長(zhǎng)度非常小，相當(dāng)于要求不同路徑的光束實(shí)現(xiàn)零等光程干涉。因此，對(duì)光程差進(jìn)行精確探測(cè)，成為實(shí)現(xiàn)光干涉的先決條件。

目前，國(guó)內(nèi)外在光程探測(cè)領(lǐng)域已開(kāi)展了大量的研究。出瞳面檢測(cè)：四棱錐波前檢測(cè)法通過(guò)探測(cè)出瞳處4個(gè)像點(diǎn)的能量差異計(jì)算光程差[3]。離焦面檢測(cè)：相位恢復(fù)法通過(guò)焦面和離焦面的一對(duì)光強(qiáng)分布數(shù)據(jù)反解各自的相位分布[4]。焦面檢測(cè)法：(1)窄帶-哈特曼夏克法和寬帶-哈特曼夏克法通過(guò)檢測(cè)采樣孔徑衍射圖樣和 “樣板圖樣” 的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算拼接子鏡間的光程差[5]。(2)色散條紋法通過(guò)檢測(cè)所提取的相鄰孔徑之間的干涉條紋中橫向光強(qiáng)信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行非線性最小二乘擬合求解光程差[6]。

1 理論基礎(chǔ)

基于色散條紋法的焦平面光強(qiáng)分布表達(dá)式為[7]

(1)

(1)式，可得：

(2)

對(duì)(2)式進(jìn)行二維傅里葉變換，得到：

IF(fx,fy)=?I(x,y)e[-2π(xfx+yfy)j]dxdy.

(3)

由于(2)式中的余弦項(xiàng)可以用歐拉公式表達(dá)，因此I(x,y)中余弦項(xiàng)可表示為

(4)

用(4)式表示(2)式中的余弦項(xiàng)，得到I(x,y)的二維頻譜表達(dá)式：

(5)

(6)

其中，C0和k0均為常數(shù)。因此，頻譜次峰相對(duì)于y軸的偏移量dx與光程差φ之間呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系，故可以用基于傅里葉變換的方法對(duì)色散條紋圖像進(jìn)行處理，從而求得光程差。

2 光程探測(cè)算法流程設(shè)計(jì)

基于色散條紋圖像的光程探測(cè)算法流程如圖1[8]。首先，讀取某一光程差的干涉條紋圖像，然后對(duì)其進(jìn)行二維傅里葉變換，并求取幅值。得到頻譜圖像后，首先將主峰所在的區(qū)域全部置0，然后求取最大幅值所在的位置，此時(shí)求得的就是兩個(gè)次峰所在的位置。選取其中一個(gè)次峰，并確定該次峰相對(duì)于y軸的偏移量dx，以該次峰所在位置為中心，進(jìn)行亞像素精度擬合，設(shè)次峰位于(x,y)，幅值為F(x,y)，擬合式為[9]

(7)

在此基礎(chǔ)上，乘以一個(gè)比例系數(shù)就可以求得光程差值，比例系數(shù)可以通過(guò)計(jì)算得到，也可由實(shí)驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定，至此，對(duì)于一幅干涉條紋圖像的光程差求解過(guò)程結(jié)束。

圖1 基于一幅圖像的光程探測(cè)算法流程圖
Fig.1 Piston error detection algorithm flow based on one image

3 光學(xué)綜合孔徑實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

國(guó)家天文臺(tái)建立的Fizeau型光學(xué)綜合孔徑實(shí)驗(yàn)裝置由光源系統(tǒng)、子望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)、指向探測(cè)和補(bǔ)償系統(tǒng)、光程探測(cè)和補(bǔ)償系統(tǒng)、合光成像及處理系統(tǒng)5部分組成，如圖2[10]。其電子學(xué)系統(tǒng)由圖像分發(fā)板、3塊計(jì)算控制板、數(shù)模輸出板、模擬電源板、數(shù)字電源板和接口底板共8塊板卡組成，如圖3。在開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)中，采集色散條紋的系列圖像，利用MATLAB求解光程差。在閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中，利用電子學(xué)系統(tǒng)，基于Visual Dsp++5.0開(kāi)發(fā)TS201程序，進(jìn)行光程差的實(shí)時(shí)探測(cè)及控制。

圖2 原理樣機(jī)系統(tǒng)
Fig.2 Principle prototype system

圖3 電子學(xué)系統(tǒng)
Fig.3 Electronic system

在實(shí)驗(yàn)中，光源系統(tǒng)均采用NKT Photonics公司的SuperK EXTREME系列高功率超連續(xù)白光光源，其濾光器輸出光譜范圍為400～700 nm，具有波段中心、波段寬度、輸出功率可調(diào)的特點(diǎn)。光源望遠(yuǎn)鏡是典型的卡塞格林望遠(yuǎn)鏡，具有500 mm通光孔徑，20 m焦距，大于2 arcmin的視場(chǎng)角，F(xiàn)/#40。子望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)由3路子望遠(yuǎn)鏡組成，采用反射式無(wú)焦系統(tǒng)，放大率為5，基線長(zhǎng)度200 mm，入射光束口徑100 mm，出射光束口徑20 mm，系統(tǒng)組合焦距4 500 mm。為保證經(jīng)子望遠(yuǎn)鏡1#，2#，3# 的3路光束可進(jìn)行相干成像，光程探測(cè)模塊內(nèi)設(shè)置兩個(gè)光程探測(cè)望遠(yuǎn)鏡，以子望遠(yuǎn)鏡1#為基準(zhǔn)，分別對(duì)1#，2# 和1#，3# 進(jìn)行光程探測(cè)并解算出光程差值，最終達(dá)到控制3路光束間光程差的目的。其中1#，2# 和1#，3# 間的兩路光束經(jīng)光程探測(cè)模塊內(nèi)的Amici色散棱柵以及光程探測(cè)望遠(yuǎn)鏡后，在焦面上形成色散干涉條紋。光程補(bǔ)償模塊分為粗調(diào)平臺(tái)和精調(diào)平臺(tái)，如圖4。在開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)中，利用光程補(bǔ)償組件中的粗調(diào)平臺(tái)(PI公司的M-122微位移平臺(tái))調(diào)整運(yùn)動(dòng)反射鏡的位置，改變光學(xué)延遲線的大小，從而得到不同光程差下的干涉條紋圖像。M-122微位移平臺(tái)以線性編碼器作為集成傳感器，行程25 mm，分辨率0.1 μm，最小位移0.2 μm，最大速度20 mm/s。在閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中，利用光程補(bǔ)償組件中的精調(diào)平臺(tái)(PI公司的P-753促動(dòng)器)對(duì)光程差進(jìn)行精補(bǔ)償。P-753促動(dòng)器帶有電容式集成傳感器，行程12 μm，分辨率0.05 nm，重復(fù)精度 ±1 nm。合光成像系統(tǒng)是由1個(gè)合光成像望遠(yuǎn)鏡組成，該望遠(yuǎn)鏡為卡塞格林式，口徑110 mm，焦距1 680 mm。在完成傾斜誤差與光程差的校正后，該系統(tǒng)將3路光束進(jìn)行相干成像。

圖4 光程補(bǔ)償組件中的粗調(diào)平臺(tái)和精調(diào)平臺(tái)
Fig.4 Piston compensation elements coarse and fine adjustment platform

4 開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)

在開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置NKT光源輸出的光譜范圍為550～650 nm、中心波長(zhǎng)為600 nm。通過(guò)移動(dòng)M-122平臺(tái)，在 -90 μm至 +90 μm的光程差范圍內(nèi)，以1 μm為間隔，采集兩束光干涉所形成的181幅色散干涉條紋圖像。圖5、圖6中，從上至下分別為 -60 μm，0 μm，+60 μm光程差下的色散干涉條紋圖像及其頻譜。當(dāng)光程差為0時(shí)，干涉條紋未發(fā)生傾斜。當(dāng)光程差為正、負(fù)時(shí)，干涉條紋分別斜向下、斜向上傾斜。由于干涉條紋的傾斜線與兩個(gè)次峰之間的連接線互相垂直[8]，因此當(dāng)光程差為0時(shí)，兩個(gè)次峰對(duì)稱分布于y軸正、負(fù)半軸。當(dāng)光程差為正、負(fù)時(shí)，兩個(gè)次峰對(duì)稱分布于一、三象限和二、四象限。

對(duì)181幅圖像求得的偏移量dx′及其擬合結(jié)果如圖7。其中橫坐標(biāo)為光程差設(shè)定值，單位μm，縱坐標(biāo)為所選取的位于x軸上方的次峰相對(duì)于y軸的偏移量dx′，單位為pixel。紅色圓點(diǎn)為181個(gè)光程差對(duì)應(yīng)的偏移量dx′，藍(lán)色直線為181個(gè)偏移量的線性擬合結(jié)果，擬合式為dx′=0.253 6φ+ 0.910 4，因此可以通過(guò)該表達(dá)式計(jì)算181個(gè)光程差值。圖8為實(shí)際求解光程差與設(shè)定光程差的對(duì)比圖，其中橫坐標(biāo)為設(shè)定光程差，單位μm，縱坐標(biāo)為實(shí)際解算的光程差值，單位為μm。綠色圓點(diǎn)為實(shí)際求解181個(gè)光程差的分布，藍(lán)色直線為設(shè)定的光程差值。所求解的部分偏移量dx′及實(shí)際光程差φ如表1、表2。

圖5 不同光程差的干涉條紋圖像

Fig.5 Interference fringe images with different piston errors

圖6 與干涉條紋圖像對(duì)應(yīng)的頻譜圖

Fig.6 Spectrograms related to interference fringe images

圖7 偏移量求解及線性擬合結(jié)果
Fig.7 Peak displacements and linear fitting results

圖8 設(shè)定光程差與實(shí)際光程差對(duì)比圖
Fig.8 Set and real piston errors comparison

表1 次峰相對(duì)于y軸偏移量Table 1 Peak displacements related to y-axis

表2 光程差解算結(jié)果Table 2 Piston error calculation results

在得到 -90 μm至 +90 μm范圍內(nèi)的光程差計(jì)算結(jié)果后，計(jì)算了均方根誤差值。設(shè)φi為設(shè)定光程差值，φd為實(shí)際解算的光程差值，測(cè)量誤差ε的表達(dá)式為

ε=φd-φi.

(8)

在開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算得到181個(gè)光程差的均方根誤差εrms為1.564 μm。

5 閉環(huán)實(shí)驗(yàn)

光學(xué)綜合孔徑系統(tǒng)光程探測(cè)及閉環(huán)控制框圖如圖9，其中，δset為設(shè)定的光程差；δact為實(shí)測(cè)的光程差。利用基于傅里葉變換的光程計(jì)算方法，通過(guò)數(shù)字信號(hào)處理器完成光程差的實(shí)時(shí)計(jì)算，驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，即P-753。通過(guò)改變鏡面的位置，從而對(duì)光程差進(jìn)行補(bǔ)償控制?？刂品椒ú捎秒x散比例-積分-微分控制(PID)，其中比例控制的動(dòng)作與偏差大小成正比，作用是以某一比例對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行消除，積分控制的動(dòng)作與偏差對(duì)時(shí)間的積分成正比，作用是消除每次采樣時(shí)刻產(chǎn)生的余差，微分控制的動(dòng)作與偏差的變化速度成正比，作用是阻止被調(diào)參數(shù)的變化，有超前調(diào)節(jié)的作用。增量式比例-積分-微分控制(PID)表達(dá)式為

(9)

其中，q0=Kp+Ki+Kd；q1=-Kp-2Kd；q2=Kd，u(k)為第k次采樣的輸出，Kp，Ki，Kd分別代表PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。

圖9 光學(xué)綜合孔徑光程探測(cè)及閉環(huán)控制框圖
Fig.9 Optical synthetic aperture piston error detection and close-loop control diagram

在閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中，同樣使用NKT光源，中心波長(zhǎng)為600 nm，光譜范圍為550～650 nm。設(shè)置Kp=0，Ki=0.04，Kd=0。圖10、圖11、圖12分別為調(diào)節(jié)到零光程、2.5 μm光程差以及5 μm光程差時(shí)的開(kāi)、閉環(huán)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。當(dāng)系統(tǒng)處于開(kāi)環(huán)狀態(tài)時(shí)，干涉條紋圖像隨著光程差的增加發(fā)生偏移。當(dāng)系統(tǒng)處于閉環(huán)狀態(tài)時(shí)，不管光程差如何變化，干涉條紋始終穩(wěn)定在零光程的位置，表明光程差的閉環(huán)控制取得了良好的效果。

圖10 (a) 零光程開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)；(b) 閉環(huán)實(shí)驗(yàn)
Fig.10 (a) 0μm piston error open-loop experiments; (b) close-loop experiments

圖11 (a) 2.5 μm光程差開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)；(b) 閉環(huán)實(shí)驗(yàn)
Fig.11 (a) 2.5μm piston error open-loop experiments; (b) close-loop experiments

圖12 (a) 5 μm光程差開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)；(b) 閉環(huán)實(shí)驗(yàn)
Fig.12 (a) 5μm piston error open-loop experiments; (b) close-loop experiments

6 總 結(jié)

本文主要介紹了開(kāi)展基于傅里葉變換的色散條紋法進(jìn)行光程探測(cè)及開(kāi)環(huán)、閉環(huán)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。首先，進(jìn)行理論推導(dǎo)，得到次峰相對(duì)于y軸偏移量與光程差之間的線性關(guān)系。然后，進(jìn)行算法流程設(shè)計(jì)。最后，利用實(shí)驗(yàn)室的光學(xué)綜合孔徑實(shí)驗(yàn)裝置，進(jìn)行了開(kāi)環(huán)、閉環(huán)實(shí)驗(yàn)。在開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)中，采集多幅不同光程差的色散條紋圖像，對(duì)圖像頻譜次峰偏移量和光程差的關(guān)系展開(kāi)研究，結(jié)果顯示，偏移量與光程差之間呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系；在閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中，利用光程差的實(shí)時(shí)計(jì)算結(jié)果和光程補(bǔ)償機(jī)構(gòu)對(duì)光程差進(jìn)行閉環(huán)控制，結(jié)果顯示，在外加擾動(dòng)的情況下，系統(tǒng)能夠始終保持在初始的干涉狀態(tài)。