邁克耳孫干涉光程差分析模型探討

汪仕元 ，朱 俊 ，穆萬軍 ，李春秀 ，謝程鋒 ，王海燕，陳雪芹，樊 婷，夏 瑩，鄒宜君，朱傳清

（四川大學(xué)a.物理學(xué)院；b.材料學(xué)院；c.電氣信息學(xué)院，四川 成都 610064）

1 引言

邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)是一個(gè)著名的物理實(shí)驗(yàn)，深受物理學(xué)界教師和學(xué)生喜愛.隨著邁克耳孫干涉的用途不斷擴(kuò)展［1-3］，許多邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和問題越來越深入地引起關(guān)注和探討［4-5］.本文構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型來探討邁克耳孫干涉的光程差分析問題.

邁克耳孫干涉圖像通常分為等傾干涉和等厚干涉.現(xiàn)有的光程差公式只能分別解釋等傾干涉和等厚干涉形成機(jī)理，但不能計(jì)算等厚干涉的光程差，也不能解釋兩者的聯(lián)系.在操作實(shí)踐上，如果不能正確引導(dǎo)學(xué)生從已有的等傾干涉過渡到等厚干涉，甚至?xí)`導(dǎo)學(xué)生的理解和操作.例如，現(xiàn)有的觀念是等傾干涉對應(yīng)的實(shí)鏡和虛鏡完全平行，鏡面之間的夾角為0°，而等厚干涉圖象對應(yīng)的實(shí)鏡和虛鏡不完全平行，鏡面間有微小的夾角，要從等傾干涉過渡到等厚干涉，首先就要改變實(shí)鏡和虛鏡之間平行狀態(tài)使兩鏡之間產(chǎn)生微小的夾角，但這樣操作的結(jié)果是看不到干涉圖象.這個(gè)事實(shí)告訴我們現(xiàn)有的邁克耳孫干涉理論還存在著不完善之處.

2 邁克耳孫干涉中光程差公式的推導(dǎo)

設(shè)定邁克耳孫干涉光路中實(shí)鏡和虛鏡相互平行，間距為d，如圖1所示.

圖1 實(shí)鏡和虛鏡平行的光程差分析圖

一束光以角度P 入射，分別在實(shí)鏡的A 點(diǎn)和虛鏡的B 點(diǎn)發(fā)生反射，則光程差為［6］

等傾干涉定域在無窮遠(yuǎn)處，要通過透鏡才能看到.但實(shí)際上在沒有加入透鏡的觀察屏上是可以看到干涉圖像的.為了解釋這種干涉現(xiàn)象，文獻(xiàn)［7］提出了不定域干涉光程差分析模型（如圖2所示）.

從圖2中可以看到，光源S發(fā)出的光，經(jīng)實(shí)鏡和虛鏡反光形成的薄膜干涉相當(dāng)于虛光源S1和S2發(fā)出光的干涉.其光程差計(jì)算如下：

按冪級數(shù)展開得：

當(dāng)d?H 時(shí)

圖2 實(shí)鏡和虛鏡平行的不定域干涉光程差分析圖

在假定實(shí)鏡和虛鏡平行的條件下，無論是定域在無窮遠(yuǎn)還是不定域的干涉，都可以推導(dǎo)出相同的光程差公式.

該光程差公式表明，在d 一定的條件下，光程差只與角度P 有關(guān)，因而干涉圖像是明暗相間的同心圓，這就是等傾干涉.

該公式還表明，相鄰兩干涉圓環(huán)的光程差等于λ，即

當(dāng)d 較小時(shí)，cos P2-cos P1就要大，也就是說，實(shí)鏡和虛鏡之間距離較小時(shí)，干涉圓環(huán)間距就稀疏；反之，當(dāng)d 較大時(shí)，干涉圓環(huán)就密集.

根據(jù)以上這些討論可以清楚地看到，該光程差公式可以圓滿地解釋邁克耳孫干涉的等傾干涉現(xiàn)象.

一般資料直接給出了等厚干涉的圖像，定性地指出了等厚干涉的成因在于實(shí)鏡和虛鏡不完全平行，但沒有給出相應(yīng)的理論解釋和光程差公式，也沒有涉及等傾干涉和等厚干涉的聯(lián)系，常常使讀者把等傾干涉和等厚干涉視為2個(gè)不相干的狀態(tài)，因而出現(xiàn)了前面所述的從等傾干涉實(shí)驗(yàn)到等厚干涉實(shí)驗(yàn)要特意給兩鏡之間調(diào)節(jié)出夾角的錯誤操作.

本文試圖建立基于邁克耳孫干涉的光程差分析模型，從理論上探討邁克耳孫等傾干涉和等厚干涉的光程差計(jì)算方法，并且探討等傾干涉和等厚干涉之間的聯(lián)系.

應(yīng)該承認(rèn)，設(shè)定實(shí)鏡和虛鏡完全平行是有條件的，即兩鏡平行是相對的，它們之間總是存在一定夾角的.在此過一個(gè)鏡面邊緣作另一鏡面的平行平面，如圖3所示.

圖3 實(shí)鏡和虛鏡之間有一極小夾角Q

在視場中過實(shí)鏡D 處作虛鏡的平行平面，把有一定傾斜夾角的兩鏡之間的空氣層分為兩面平行部分和斜面部分，其中的斜面部分可以視為劈尖狀.

在兩面平行部分，光程差和圖1的分析相同，即在四邊形ABCF 中，光程差為

在劈尖狀的斜面部分，光程差可以根據(jù)圖4的幾何形狀來分析計(jì)算，設(shè)劈尖夾角為Q，因?yàn)镼是一個(gè)極小角度，所以，以類似兩面平行的空氣膜來計(jì)算四邊形IOGJ 的光程差，其中IO約等于劈尖部分的入射光程，OG 約等于劈尖部分的出射光程，斜面部分的光程差為

圖4 斜面部分的光程差分析

考慮到常規(guī)觀察視場中角度P 很小，（PQ）更小，cos（P-Q）≈1，則斜面部分的光程差為

從圖3和圖4可以看出，以角度P 入射的光束分別經(jīng)實(shí)鏡和虛鏡反射后，總光程差為

公式中前一項(xiàng)是等傾干涉的光程差公式，后一項(xiàng)是實(shí)鏡和虛鏡不平行（夾角為Q）所引起附加光程差，附加光程差一般很小，只有在d=0或d極小時(shí)才會對干涉產(chǎn)生明顯效果.

這就是邁克耳孫干涉光程差分析模型和根據(jù)該模型推導(dǎo)出的光程差計(jì)算公式.

3 鏡面相對位置、光程差和干涉圖像的關(guān)系

根據(jù)上述邁克耳孫干涉光程差分析模型和相應(yīng)的光程差公式來討論在邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)中鏡面相對位置、光程差和干涉圖像的關(guān)系.

3.1 d較大

當(dāng)d 較大時(shí)，因?yàn)榕獠糠止獬滩?LQ 很小，所以

兩鏡面之間不平行所引起的附加光程差可以忽略不計(jì)，對應(yīng)的實(shí)鏡和虛鏡的位置關(guān)系可以視為相互平行，如圖5所示.此時(shí)能看到的就是等傾干涉圖像.

3.2 d=0

圖5 兩鏡相距較大時(shí)的等傾干涉圖像

當(dāng)d=0時(shí)，兩鏡面在視場內(nèi)相交，形成以交棱為頂角的劈尖，如圖6所示，干涉圖像就是平行于交棱的直線，這就是等厚干涉.等厚干涉條紋的疏密程度與兩鏡面之間的夾角Q 有關(guān)，Q 越小，兩相鄰暗條紋的間距就越大，反之亦然.這就清楚準(zhǔn)確地解釋了等厚干涉形成的機(jī)理和平行直條紋疏密的形成的原因.

圖6 兩鏡在視場內(nèi)相交時(shí)的等厚干涉圖像

3.3 d較小

當(dāng)d 極小時(shí)，

兩鏡面在視場外不遠(yuǎn)處相交，平行部分和劈尖部分的空氣膜構(gòu)成光程差大小相當(dāng)，如圖7所示，干涉圖像就是等傾干涉的同心圓環(huán)和等厚干涉直線的合成——曲線.

圖7 兩鏡相交在視場外不遠(yuǎn)處的干涉圖像

現(xiàn)在一般把d 較大時(shí)的干涉現(xiàn)象叫做等傾干涉，把d=0 或極小時(shí)的干涉現(xiàn)象叫做等厚干涉.實(shí)際上如圖7所示的干涉現(xiàn)象是等傾干涉和等厚干涉的中間過渡狀態(tài).這對于實(shí)驗(yàn)者從理論上理解邁克耳孫干涉的實(shí)質(zhì)和實(shí)踐上指導(dǎo)操作過程是非常有益處的.

4 結(jié)束語

根據(jù)邁克耳孫干涉中實(shí)鏡和虛鏡不可能絕對平行的客觀實(shí)際建立了邁克耳孫干涉光程差分析模型，在該模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了相應(yīng)的邁克耳孫干涉的光程差公式.邁克耳孫干涉光程差分析模型和光程差公式可以很好地解釋邁克耳孫干涉的各種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.邁克耳孫干涉光程差分析模型和光程差公式可以為實(shí)驗(yàn)者提供非常清晰完整的理論指導(dǎo).

［1］徐文韜，李全偉，李吉驁，等.用邁克耳孫干涉儀測量厚透明材料折射率［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2012，32（6）：35.

［2］王小懷，李卓凡，陳懷.邁克耳孫干涉儀應(yīng)用功能的擴(kuò)展［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2012，32（3）：22.

［3］陳玉林，馬龍，顧斌，等.基于線陣CCD 的邁克耳孫干涉儀條紋計(jì)數(shù)器［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2012，32（2）：21.

［4］魏茂金，張朝清，黃思俞.邁克耳孫干涉儀測量介質(zhì)板折射率的問題研究［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2010，30（6）：28-31.

［5］柯紅衛(wèi)，張寶穎，楊嘉，等.邁克耳孫干涉儀產(chǎn)生特殊干涉條紋的原因［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2007，27（1）：34.

［6］黃建群，胡險(xiǎn)峰，雍志華.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.成都：四川大學(xué)出版社，2005：7-8.

［7］王植恒，何原，朱俊.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：高等教育出版社，2008：94.