二維單層原子晶格振動的研究

張曉軍， 陳長樂, 高 賓,， 王安祥

(1.西安工程大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710048;2.西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710072)

0 引 言

聲子色散關(guān)系的研究對固體材料的擴散和相變的了解都非常重要,對固體材料的態(tài)密度、晶格摩爾熱容、德拜溫度以及熱膨脹系數(shù)等熱力學(xué)性質(zhì)的定量研究也是必不可少[1].一直以來，對聲子色散關(guān)系的研究主要圍繞兩個方面，即實驗測量和理論模擬.由于實驗中很難得到單純的一維原子鏈，因此對一維原子鏈色散關(guān)系的研究只停留在定性說明而缺少實驗依據(jù)和理論數(shù)據(jù)支撐.我們曾針對具體材料，在一維單原子鏈模型的基礎(chǔ)上用數(shù)值模擬的方法得到了一維單原子鏈的色散曲線，彌補了沒有具體數(shù)據(jù)支撐的空缺[2].三維聲子色散的研究已趨于成熟.一方面，人們用He原子的非彈性散射(HAS)測量了大量晶體的聲子譜并得到了很好的色散曲線[3,4]；另一方面把原子勢函數(shù)和晶格動力學(xué)相結(jié)合再現(xiàn)了晶體聲子色散曲線的實驗結(jié)果[5].隨著實驗技術(shù)的發(fā)展，二維聲子譜的實驗探測已成為可能，其實驗手段主要有電子能量損失譜(EELS)和He原子的非彈性散射(HAS).通過這些方法已得到大量晶體的二維聲子譜的實驗數(shù)據(jù)[6, 7]，然而缺少理論數(shù)據(jù)的對比和驗證成為了一個問題.本文試探性地建立了體心立方結(jié)構(gòu)金屬Ta、W和Mo的二維單層原子的晶格振動模型，在此基礎(chǔ)上把兩體勢和晶格動力學(xué)理論相結(jié)合，導(dǎo)出了該模型下二維單層原子力常數(shù)的表達式和相對應(yīng)的動力學(xué)矩陣，然后用數(shù)值計算的方法模擬了沿ГΧ、ГM和ΧM3個高對稱方向Ta、W和Mo 3種金屬的二維單原子層的色散曲線，為二維聲子譜的理論分析和數(shù)值模擬奠定了基礎(chǔ)，并進一步為二維聲子譜的實驗結(jié)果提供了理論依據(jù).

1 模 型

1.1 二維單原子層的晶格振動模型

Ta、W和Mo均屬于體心立方結(jié)構(gòu)，其晶體結(jié)構(gòu)如圖1所示，晶格常數(shù)為a.在晶體結(jié)構(gòu)中選取(001)晶面作為二維單層原子平面，如圖2所示，其中最近鄰原子間距為a，原子質(zhì)量為M.

圖1 體心立方晶體結(jié)構(gòu) 圖2 二維單層原子

由于熱振動，原子會離開它們的平衡位置，以圖2線框中間的原子為參考原子n，設(shè)該原子離開平衡位置的瞬時位移為u(n)，與之相近鄰的其它原子的瞬時位移為u(m)(m=1,2,3,…).當?shù)趍個原子移動時，原子n就會受到這些原子的作用力，則在簡諧近似下，原子n的運動方程為：

(1)

式中α,β=x,y是笛卡爾坐標的分量；Φαβ(n,m)是原子力常數(shù)，它表示第m個原子在β方向位移單位距離時施加在n原子α方向上的作用力，它是原子間相互作用勢能的二階導(dǎo)數(shù):

(2)

(1)式的格波解為:

(3)

(4)

其中Dαβ(n,m)是動力學(xué)矩陣元，具體表達式為

(5)

(4)式是A(n)的2個線性齊次方程，因為晶格振動總是存在的，故A(n)有非零解的條件是:

|Dαβ(n,m)-δαβω2(q)|=0

(6)

只要知道體系的能量，通過求解力常數(shù)和動力學(xué)矩陣就可以得到體系的振動頻率ω(q)和波矢q之間的關(guān)系即聲子色散關(guān)系.

1.2 原子勢函數(shù)模型

原子勢能函數(shù)在材料科學(xué)、原子動力學(xué)、分子振轉(zhuǎn)能級、等離子體等理論的研究方面起著重要作用.早期經(jīng)常采用的原子勢能函數(shù)有Morse勢和Murrell Sorbie勢[8]，由于這種模型只考慮了兩體相互作用(兩體勢)因而在應(yīng)用中受到了限制.與兩體勢模型不同，多體勢模型不僅考慮了兩體作用，而且考慮了多體間的相互作用.人們相繼提出了多體勢模型用于理論模擬或計算，其中較具有代表性的多體勢模型有:密度泛函理論(DFT)[9]、嵌入原子勢模型(EAM)[5]和ECM方法[10]等.由于二維單層原子間不必考慮多體相互作用，因此我們直接采用張幫為等人所擬合的兩體勢，其勢函數(shù)有如下形式[5]：

(7)

其中ks(s=-1～4)是模型參數(shù)(見表1)，下標e表示平衡狀態(tài)，r1e表示在平衡狀態(tài)下純元素晶體中原子的最近鄰距離.把模型參數(shù)代入(7)式，可獲得Ta、W和Mo的勢能曲線，如圖3所示.

表1 Ta、W和Mo的模型參數(shù)

表2 3種金屬二維單層原子的振動頻率ω(THz)

2 計算和結(jié)果

圖3 Ta、W和Mo的勢能曲線

沿ГΧ、ГM和ΧM3個對稱方向即[0ζ]、[1ζ]和[ζζ]方向，Ta、W和Mo 3種金屬二維單層原子的聲子色散曲線如圖4～6所示，其中Γ是二維布里淵區(qū)的中心點，M和X是二維布里淵區(qū)的邊界點，L和T分別表示縱波模和橫波模[11].從圖中可以看出，Ta、W和Mo 3種金屬二維單層原子的聲子色散曲線非常相似，只是數(shù)值上有些差異.沿ГΧ、ГM和ΧM3個對稱方向上，3種金屬均有兩個獨立模，其中在ГΧ和ГM方向上兩個獨立模分別是縱波模和橫波模，而ΧM方向上的兩個獨立模既不是橫波模也不是縱波模.在短波長附近(Γ點)觀測到了聲子軟化現(xiàn)象，即頻率和波矢呈線性關(guān)系.在M點附近，兩個獨立模發(fā)生簡并形成一個獨立模.這主要因為在第一布里淵區(qū)內(nèi)，與其它點相比，M點的對稱性較高，使兩個獨立模簡并為一個模.如圖4～6所示，在相同的對稱方向上，3種金屬Ta、W和Mo的頻率依次增大，這是由于3種金屬對應(yīng)的原子質(zhì)量(M)依次減小的緣故，因為在相同環(huán)境溫度下，質(zhì)量越小的原子狀態(tài)改變越快，因此頻率越大，反之亦然.

圖4 Ta二維單原子層的色散曲線 圖5 W二維單原子層的色散曲線

圖6 Mo二維單原子層的色散曲線

3 結(jié)束語

目前，二維聲子譜的實驗數(shù)據(jù)相當豐富，然而缺少理論模型和理論數(shù)據(jù)的對比，對聲子譜的研究也只能停留在實驗的基礎(chǔ)上，因此建立二維單層原子的晶格振動模型并借助計算機模擬獲得色散曲線的第一手數(shù)據(jù)資料就顯得尤為重要.本文構(gòu)建了體心立方結(jié)構(gòu)金屬Ta、W和Mo的二維單層原子的晶格振動模型，在此基礎(chǔ)上把運動方程和兩體勢相結(jié)合，在諧和近似下模擬了沿ГΧ、ГM和ΧM3個對稱方向Ta、W和Mo 3種金屬的二維單層原子的色散曲線，并對這些曲線進行了分析，為二維聲子譜的理論分析和數(shù)值模擬奠定了基礎(chǔ).該方法也可用于其它晶體結(jié)構(gòu)的二維單層原子色散關(guān)系的模擬計算，如面心立方晶體結(jié)構(gòu).

參考文獻

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