拋物線雙切三角形的性質(zhì)初探

● (棗莊市第十八中學(xué) 山東棗莊 277200)

圖1

我們知道，過拋物線y2=2px(p>0)上不同的3個點Ai(xi,yi)(i=1,2,3)作切線可圍成△B1B2B3(如圖1)，則△A1A2A3和△B1B2B3分別被稱作拋物線的切點三角形和切線三角形(簡稱“拋物線雙切三角形”).這樣，以拋物線、切線、三角形等知識為線索，可構(gòu)造出一類“拋物線雙切三角形”的相關(guān)問題.本文擬對此類問題的性質(zhì)作初步探討，與大家共賞.

拋物線雙切三角形具有一系列有趣的性質(zhì).為行文方便，設(shè)“雙切三角形”所在的拋物線方程為：y2=4px(p>0).

首先給出有關(guān)的3條引理(證明略).

引理1過拋物線上不同的2個點切線交點的橫坐標是2個切點橫坐標的比例中項；縱坐標是2個切點縱坐標的平均數(shù).

引理2拋物線焦點弦的2個端點的縱坐標之積為常數(shù).

引理3拋物線的焦點在其切線上的射影的軌跡是這條拋物線頂點處的切線.

下面給出并證明“拋物線雙切三角形”的若干性質(zhì)：

性質(zhì)1拋物線切點三角形面積是切線三角形面積的2倍.

證明如圖1，設(shè)拋物線的切點△A1A2A3頂點Ai(i=1,2,3)的坐標分別為(pλ2,2pλ)，(pu2,2pu)，(pv2,2pv).由引理1知，拋物線的切線△B1B2B3頂點Bi(i=1,2,3)的坐標依次為(puv,p(u+v)),(pvλ,p(v+λ)),(pλu,p(λ+u)).根據(jù)三角形面積公式，可得

p2|(u-v)(v-λ)(λ-u)|，

因此

S△A1A2A3=2S△B1B2B3.

由以上證明可知，性質(zhì)1有如下推論：

推論1拋物線的切點△A1A2A3(亦稱“拋物線的內(nèi)接三角形”)的面積為

其中yi(i=1,2,3)是拋物線的切點△A1A2A3頂點Ai(xi,yi)的縱坐標.

性質(zhì)2拋物線切點三角形各頂點到焦點的距離之積等于切線三角形各頂點到焦點的距離之積.

證明如圖2，設(shè)“雙切三角形”所在的拋物線方程為：y2=4px(p>0)，則焦點為F(p,0).再設(shè)拋物線的切點△A1A2A3頂點Ai(xi,yi)(i=1,2,3)的坐標分別為(pλ2,2pλ)，(pu2,2pu)，(pv2,2pv)，由引理1知，拋物線的切線△B1B2B2頂點Bi(xi′,yi′)(i=1,2,3)的坐標分別為(puv,p(u+v)),(pvλ,p(v+λ)),(pλu,p(λ+u)).由兩點間的距離公式，得

AiF2=(xi-p)2+(yi-0)2(i=1,2,3).

于是

A1F2=p2(λ2+1)2,

A2F2=p2(u2+1)2,A3F2=p2(v2+1)2.

同理可得

BiF2=(xi′-p)2+(yi′-0)2(i=1,2,3),

即

B1F2=p2(u2+1)(v2+1),

B2F2=p2(v2+1)(λ2+1),

B3F2=p2(λ2+1)(u2+1).

由上述證明，不難證得性質(zhì)2有如下推論：

圖2

圖3

推論2過拋物線上不同兩點的切線的交點與其焦點的連線是過兩切點的焦半徑的比例中項.

推論3過拋物線上不同兩點的切線的交點與其焦點的連線平分過兩切點的焦半徑的夾角.

性質(zhì)3若拋物線切點三角形各頂點處的法線共點，則切點三角形各頂點到其焦點的距離之和為定值.

證明如圖3，設(shè)拋物線的切點△A1A2A3的頂點Ai(xi,yi)(i=1,2,3)處的法線共點于M(α,β)，則可推知：yi(i=1,2,3)是方程y3+4p(2p-α)y-8p2β=0的3個根.由韋達定理得

即

y1y2+y2y3+y3y1=4p(2p-α)，

又因為點Ai(xi,yi)(i=1,2,3)在拋物線y2=4px(p>0)上，所以

由拋物線的定義，得

FAi=|xi+p|(i=1,2,3)，

(因為點F，O，M均為定點).

性質(zhì)4拋物線切線三角形的垂心必在拋物線的準線上.

證明如圖4，設(shè)拋物線的切點△A1A2A3頂點Ai(i=1,2,3)的坐標分別為(pλ2,2pλ)，(pu2,2pu)，(pv2,2pv).由引理1知，拋物線的切線△B1B2B3頂點Bi(xi′,yi′)(i=1,2,3)的坐標依次為(puv,p(u+v)),(pvλ,p(v+λ)),(pλu,p(λ+u)).又過點B1向過點A1的切線λy=x+pλ2所作垂線的方程為

由此，垂線(1)與拋物線的準線l：x=-p的交點H的縱坐標為

由于式(2)是關(guān)于λ,u,v對稱的，因此拋物線的切線△B1B2B3的垂心就是H.故拋物線的切線三角形的垂心必在拋物線的準線上.

圖4

圖5

性質(zhì)5拋物線切點三角形與切線三角形重心的連線必平行于拋物線的(對稱)軸.

證明如圖5，設(shè)拋物線的切點△A1A2A3頂點Ai(i=1,2,3)的坐標分別為(pλ2,2pλ)，(pu2,2pu)，(pv2,2pv).由引理1知，拋物線的切線△B1B2B3頂點的坐標依次為(puv,p(u+v)),(pvλ,p(v+λ)),(pλu,p(λ+u)).依據(jù)三角形的重心坐標公式得

因此重心GA,GB連線的方程為

圖6

故重心GA,GB的連線必與拋物線的對稱軸平行.

性質(zhì)6拋物線切點三角形的各邊在準線上的射影之和是切線三角形各邊在準線上射影之和的2倍.

證明如圖6所示，設(shè)拋物線的切點△A1A2A3頂點Ai(i=1,2,3)的坐標分別為(pλ2,2pλ)，(pu2,2pu)，(pv2,2pv).由引理1知，拋物線的切線△B1B2B3頂點Bi的坐標依次為(puv,p(u+v)),(pvλ,p(v+λ)),(pλu,p(λ+u)).過頂點Ai,Bi作準線l的垂線，垂足分別為Q,R,K和M,N,S.又拋物線的準線l的方程為：x=-p，且l∥y軸.這里不妨把拋物線的切點△A1A2A3的3邊A1A2,A2A3,A3A1在準線上的射影記作射影l(fā)AiAj，同理記射影l(fā)BiBj.于是

射影l(fā)AiAj=點Ai與點Aj的縱坐標差的絕對值，

射影l(fā)BiBj=點Bi與點Bj的縱坐標差的絕對值.

射影l(fā)A1A2+射影l(fā)A2A3+射影l(fā)A3A1=

2p(|λ-u|+|u-v|+|v-λ|);

射影l(fā)B1B2+射影l(fā)B2B3+射影l(fā)B3B1=

p(|λ-u|+|u-v|+|v-λ|)，

由此可知，性質(zhì)6有以下推論：

推論4若自拋物線外一點引它的2條定切線，則夾在這2條定切線間的動切線，與其相交成的動線段在此準線上的射影為定長.

推論5若自拋物線外一點引它的2條切線，則2條切線長在其準線上的射影相等.

性質(zhì)7若拋物線切點三角形的一條邊過其焦點，則拋物線的切線三角形一定是直角三角形.

證明如圖7，設(shè)過拋物線的焦點F的切點△A1A2A3的一邊A1A2的2個端點坐標為Ai(xi,yi)(i=1,2)，則有切線A1B3，A2B3的方程為

yyi=2p(x+xi)(i=1,2),

因此切線A1B3，A2B3的斜率為

于是

于是A1B3⊥A2B3，故切線△B1B2B3是直角三角形.

由上可知，性質(zhì)7的逆命題亦是真命題.

性質(zhì)7′ 若拋物線的切線三角形是直角三角形，則拋物線切點三角形必有一條邊過其焦點.

除此，性質(zhì)7′還有如下推論：

推論6過拋物線焦點弦的2個端點的切線互相垂直.

推論7拋物線的切線三角形是直角三角形的直角頂點的軌跡是其拋物線的準線.

上述性質(zhì)7′及性質(zhì)7′的推論請讀者自行證明，本文從略.

圖7

圖8

性質(zhì)8拋物線切線三角形的外接圓必過其拋物線的焦點.

證明如圖8，過拋物線的焦點F作其切線B1B2,B2B3,B3B1的垂線，設(shè)垂足為x,y,z.由引理3知，垂足x,y,z三點共線.又由西摩松線的逆定理得知：拋物線的焦點F必在拋物線的切線△B1B2B3的外接圓⊙B1B2B3上.

由此，可得性質(zhì)8的相關(guān)推論：

推論8拋物線的焦點在切線三角形3條邊上的射影必共線于拋物線頂點處的切線.

推論9切于3條已知直線的拋物線焦點的軌跡，是這3條已知直線所圍成的拋物線切線三角形的外接圓.

推論10拋物線的焦點關(guān)于拋物線切線三角形3條邊的對稱點共線于拋物線的準線.

關(guān)于拋物線雙切三角形的性質(zhì)，還可以繼續(xù)深化，但限于篇幅，僅到此為止.

[1] 吳振奎.中學(xué)數(shù)學(xué)證明方法[M].沈陽：遼寧人民出版社，1985.

[2] 李耀文.拋物線雙切三角形及其性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志:高中版，1999(3)：10-11.

[3] 楊世明.中國初等數(shù)學(xué)研究文集[M].鄭州：河南教育出版社，1992.