“數(shù)學(xué)建模”課程建設(shè)的思考

姜志俠（長春理工大學(xué)理學(xué)院，吉林長春，130022）

徐 妍（魯迅美術(shù)學(xué)院附屬中等美術(shù)學(xué)校，遼寧沈陽，110045）

“數(shù)學(xué)建?！闭n程建設(shè)的思考

姜志俠（長春理工大學(xué)理學(xué)院，吉林長春，130022）

徐 妍（魯迅美術(shù)學(xué)院附屬中等美術(shù)學(xué)校，遼寧沈陽，110045）

基于對數(shù)學(xué)建模競賽與數(shù)學(xué)建模課程發(fā)展及現(xiàn)狀的介紹，以長春理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)的教學(xué)內(nèi)容、方法及教學(xué)管理為例，給出具體的教學(xué)改革方法和步驟，從而促進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。

數(shù)學(xué)建模；數(shù)據(jù)統(tǒng)計；課程建設(shè)

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。不論是用數(shù)學(xué)方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實際問題，還是與其他學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學(xué)模型，并加以計算求解。數(shù)學(xué)建模和計算機(jī)技術(shù)在知識經(jīng)濟(jì)時代的作用可謂是如虎添翼。數(shù)學(xué)建模課程的設(shè)置順應(yīng)了時代的要求，無論對大學(xué)生還是對數(shù)學(xué)教師綜合素質(zhì)的提高都具有重要的現(xiàn)實意義，對工科數(shù)學(xué)課程的改革和研究同樣具有重要的理論意義［1］。

一、數(shù)學(xué)建模課程與競賽的發(fā)展

數(shù)學(xué)建模是在20世紀(jì)60和70年代進(jìn)入一些西方國家大學(xué)的。從1987年高等教育出版社出版了國內(nèi)第一本《數(shù)學(xué)建模》教材以來，國內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)工作發(fā)展得很快：1991年國家教育委員會把“數(shù)學(xué)建?！闭n程列入數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)課和專業(yè)基礎(chǔ)課，80年代復(fù)旦大學(xué)等重點院校設(shè)了“數(shù)學(xué)建模”課程。［2］目前，清華大學(xué)、浙江大學(xué)、東南大學(xué)等學(xué)校已經(jīng)建設(shè)了“數(shù)學(xué)建模”國家級精品課程。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽最早是1985年在美國出現(xiàn)的，1989年北京大學(xué)、清華大學(xué)和北京理工大學(xué)首次組織學(xué)生參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（MCM/ICM），目前全國各理工科院校均開設(shè)了“數(shù)學(xué)建?！闭n程，并積極參與“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”和MCM/ICM的活動。

從近五年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的題目（表1）中可以看出，數(shù)學(xué)建模的對象是與科學(xué)、工程、數(shù)學(xué)以及計算機(jī)科學(xué)直接相關(guān)的一個迅速發(fā)展的多學(xué)科交叉的領(lǐng)域。［3］

數(shù)學(xué)建模競賽培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析、推理、計算的能力，特別是“雙向”翻譯的能力，應(yīng)用計算機(jī)、相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件以及因特網(wǎng)的能力，應(yīng)變能力（獨立查找文獻(xiàn)，在短時間內(nèi)閱讀、消化、應(yīng)用的能力）；培養(yǎng)和發(fā)展同學(xué)們的創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力和洞察力；培養(yǎng)學(xué)生組織、管理、協(xié)調(diào)（合作）以及及時妥協(xié)的能力；培養(yǎng)了交流、表達(dá)和寫作能力；培養(yǎng)競爭意識、堅強(qiáng)的意志力和自信心；善于總結(jié)、不屈不撓、不斷向更高的目標(biāo)前進(jìn)；學(xué)（行、實踐）而后知不足的能力；培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀（正確理解數(shù)學(xué)的作用，數(shù)學(xué)和外界的關(guān)系）。2009年11月，國內(nèi)首家數(shù)學(xué)建模公司——北京諾亞數(shù)學(xué)建?？萍加邢薰驹诒本┱阶猿闪ⅰＲ炎x博士的魏永生和另外兩個志同道合的同學(xué)一起合作的創(chuàng)業(yè)項目，源于他們熟悉的數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域。

表1 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目

以下是2009年中國高校參加MCM/ICM獲獎情況分析［4］，其中參賽國家(地區(qū))14個（中國、中國（香港）、美國、澳大利亞、加拿大、芬蘭、德國、匈牙利、印度尼西亞、愛爾蘭、墨西哥、新加坡、南非、英國），獲獎情況的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表2、表3、表4。

表2 中國與國際參賽獲獎數(shù)據(jù)對比

表3 MCM與ICM獲獎數(shù)據(jù)對比

從表中可以看到中國參賽隊占79.26%，也就是說每5個參賽隊中有4個是中國參賽隊。換句話說，國際數(shù)學(xué)建模競賽乃是以中國為參賽主體的國際性競賽。但是中國高校參賽獲獎率接近總體獲獎率，稍微偏低。ICM的獲獎率高于MCM的獲獎率，但是MCM一等獎獲獎率高于ICM一等獎的獲獎率。中國參賽獲國際特等獎的隊數(shù)與全國賽特等獎隊數(shù)相同；國際一等獎與全國一等獎獲獎隊數(shù)相當(dāng)，這說明國際獎獲獎難度要高于全國獎。全國賽的參賽隊伍遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于國際賽參賽隊，這說明數(shù)學(xué)建模在中國更具有普遍性和平民性。

表4 2009年中國參加國際賽與全國“高教社杯”賽獲獎數(shù)據(jù)對比

二、教學(xué)內(nèi)容與方法改革

數(shù)學(xué)建模課程包括課堂教學(xué)、數(shù)學(xué)軟件使用、競賽培訓(xùn)及參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽環(huán)節(jié)，其教學(xué)內(nèi)容是集經(jīng)典數(shù)學(xué)理論、現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法、工程實際問題于一體的課程，其課程內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)國內(nèi)外都會有一些不同，但基礎(chǔ)部分大體相同，教學(xué)內(nèi)容組織方式也因各學(xué)校專業(yè)不同而有所側(cè)重。長春理工大學(xué)考慮到數(shù)學(xué)建模主要是培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想解決實際問題，因而課程的重點和難點是針對不同的實際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而將數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)軟件教學(xué)及通過案例分析有機(jī)地結(jié)合起來組織教學(xué)，主要安排以下內(nèi)容：數(shù)學(xué)建模簡介、數(shù)學(xué)軟件使用（Matlab等）、優(yōu)化模型、微分方程模型、隨機(jī)模型、數(shù)據(jù)的擬合、圖論與網(wǎng)絡(luò)模型、回歸分析、案例分析；除此之外在建模培訓(xùn)課程中還培訓(xùn)建模論文的寫法、合作的方法及適當(dāng)增加一些歷屆賽題一起研討。

在教學(xué)中應(yīng)改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，按模型分塊進(jìn)行教學(xué)，理論與實踐相結(jié)合，以實踐為主；改變傳統(tǒng)的考核模式，考核知識與考核能力相結(jié)合，以能力為主。用板書講數(shù)學(xué)理論，用多媒體求解及顯示結(jié)果；課堂教學(xué)與上機(jī)實習(xí)（數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)與使用）相結(jié)合；課堂內(nèi)外培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊精神及合作能力；循序漸進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；改革作業(yè)提交和考試方法；訓(xùn)練學(xué)生的書面語言表達(dá)能力，鼓勵學(xué)生撰寫論文；組織學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)建模競賽。

數(shù)學(xué)建模課程通過一個個生動的建模實例，展示各種不同數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)建模技巧的應(yīng)用，在教學(xué)中盡可能避免出現(xiàn)相同數(shù)學(xué)方法或相似技巧使用的重復(fù)，以保護(hù)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展他們的視野，激發(fā)他們的創(chuàng)新能力。根據(jù)數(shù)學(xué)建模課程面對對象不同，課程組對建模實例的選擇及解決技巧會有不同。對信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)生，主要加強(qiáng)實踐課內(nèi)容，以啟發(fā)式方法引導(dǎo)他們開展較有創(chuàng)新性的研究；對一般的工科學(xué)生，則挑選一些趣味性較強(qiáng)的實例，先激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而引導(dǎo)他們研究一些較簡單的課題，以便讓他們從中體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要性，努力促進(jìn)他們的轉(zhuǎn)化。在優(yōu)秀論文講解中要讓學(xué)生了解原作所提的問題背景，理解原作建模思想、方法，求解方式，了解原作的結(jié)論。在授課中，引導(dǎo)學(xué)生用變維（改變問題的維度）、變序（改變問題的條件、結(jié)論）等方式發(fā)散式提出新問題，啟發(fā)學(xué)生解決實際問題。

考慮到本課程信息量大、涉及的專業(yè)知識多的特點，可運用多媒體的教學(xué)手段，使得許多教學(xué)內(nèi)容更具趣味性，許多難以理解的內(nèi)容更直觀，同時讓學(xué)生接受更多的新知識。如建立數(shù)學(xué)建模網(wǎng)站，利用因特網(wǎng)建立教師與學(xué)生之間、學(xué)生與學(xué)生之間的密切聯(lián)系，擴(kuò)大了學(xué)生受益面。在網(wǎng)站發(fā)表該課程的教學(xué)大綱、教學(xué)日歷、多媒體課件、數(shù)學(xué)軟件使用介紹、數(shù)學(xué)實驗指導(dǎo)、建模案例及實驗演示、歷屆學(xué)生優(yōu)秀習(xí)作與優(yōu)秀論文，并鏈接清華大學(xué)、浙江大學(xué)等學(xué)校的數(shù)學(xué)建模精品課網(wǎng)站。

三、教學(xué)管理改革

開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程要有明確的教學(xué)文件，包括：開設(shè)本課程的專業(yè)的培養(yǎng)方案，課程教學(xué)大綱、教學(xué)日歷、考試大綱。授課教師要認(rèn)真?zhèn)湔n，按時開設(shè)相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件使用等實驗。授課教師要針對不同專業(yè)的學(xué)生和歷年不同的數(shù)學(xué)競賽賽題合理選擇適當(dāng)案例在課堂上研討。要安排一定次數(shù)的輔導(dǎo)答疑，可以討論學(xué)生對模型的不同理解和做法。課程組要有幾周一次的教學(xué)研究，討論各校數(shù)學(xué)建模的競賽優(yōu)秀論文，選有代表性的不同案例給不同的對象；可以在學(xué)期中組織教師相互聽課和講評。

另外，還要對本課程進(jìn)行考試改革。平時成績以考勤、實驗及大作業(yè)為依據(jù)，占最終考核成績的40%-50%；期末考試實行開卷形式，以4-5個題目命題。由于數(shù)學(xué)建模的結(jié)果可有不同，不一定存在唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案，主要測驗學(xué)生對基礎(chǔ)理論、基本知識掌握的程度及考查學(xué)生邏輯思維分析及歸納總結(jié)的能力。在每次考試閱卷后要進(jìn)行試卷分析，以便更好地進(jìn)行下一輪的授課。

［1］ 劉鋒.“數(shù)學(xué)建?！闭n程的建設(shè)與實踐［J］.江蘇技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2004，10（2）：8589.

［2］ 林李.“數(shù)學(xué)建?！闭n程建設(shè)的幾點思考［J］.廣西財經(jīng)學(xué)院學(xué)報，2006，19（增刊）：201 204.

［3］ 孫曉楠，等.數(shù)學(xué)建模［EM/OL］.Baidu百科，2010.（http://baike. baidu.com/view/133261.htm?fr=ala0_1）.

［4］ 北京諾亞數(shù)學(xué)建?？萍加邢薰?2009年中國高校參加MCM/ ICM獲獎情況分析［EM/OL］.http://www.acmcm.cn/page/Default.asp?ID=104，2010.

JIANG Zhi-xia，XU Yan

Based on the introduction of mathematical modeling contest and the development and current situation of the“mathematical modeling”curriculum，this paper discusses the teaching content，methods and teaching management of“mathematical modeling”curriculum construction in Changchun University of Science and Technology.It also gives specific teaching reform methods and steps so as to promote mathematics teaching reform in universities.

“mathematical modeling”；data statistics；curriculum construction

G642

A

姜志俠（1976），女，博士，副教授，研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué)。