三角函數(shù)題“正確解法”后的反思

●武瑞雪 (城北中學(xué) 江蘇睢寧 221200)

“數(shù)學(xué)題的解后反思”是指在解決了數(shù)學(xué)問題之后，不是解完了事，而是對題目條件的再思考、再分析，從中發(fā)現(xiàn)不足甚至錯誤，或歸納解題規(guī)律.數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分地探討，總會有點(diǎn)滴發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平”.這里所說的剩下些工作，就是解題后的反思.本文以三角函數(shù)題為例，從以下幾個方面闡述如何進(jìn)行解題后的反思.

1 反思解法好差

解完一道題目后，通過反思解法，可加深對題目條件的本質(zhì)的領(lǐng)悟.這有利于培養(yǎng)思維的深刻性，提高解題能力和解題速度.

例1 已知點(diǎn) A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，求點(diǎn) A，B 間的距離.

解由兩點(diǎn)間的距離公式得{ θ(θ為參數(shù))，知點(diǎn) A，B都在單位圓上，且∠AOB=80°-20°=60°，結(jié)合圓O的圖形易得AB=1.答題時間不足1分(圖形不畫，只需想像).

其原因是學(xué)生在平時練習(xí)時，過于機(jī)械，沒有對解法進(jìn)行認(rèn)真選擇，出現(xiàn)了思維定勢.

2 反思解法規(guī)律

解題后，反思解法中有無規(guī)律可循，可從特殊題目的解法引申出一般題目的解法.

反思 (1)題目中既有正弦，又有正切，常用方法是“切”化“弦”;

3 反思有無多解(一題多解)

很多題目有多種解法.解完一道題目后，應(yīng)反思其是否還有另解，以求最簡捷的解法，使思維向更高層次發(fā)展，培養(yǎng)思維的發(fā)散性和靈活性.

其中φ為輔助角.于是

又由|sin(θ+φ)|≤1，得

圖1

4 反思同類題目

解題后，反思與該題同類的習(xí)題(即變式題)，進(jìn)行對比，找出解答此類題目的技巧和方法，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.

反思 已知tanθ的值，解關(guān)于sinθ，cosθ的齊次式化簡、求值問題，常?？赊D(zhuǎn)化為關(guān)于tanθ的函數(shù)式求解.雖然已知式或所求式的表達(dá)式不同，但其實質(zhì)相同，通過這樣的反思訓(xùn)練，解決此類問題的能力可得到極大提高.

此題得以解決.

5 反思題目結(jié)論

當(dāng)解決一個問題后，常常會出現(xiàn)幾種情況或結(jié)論，這對解題者而言，不是解題過程的終結(jié)，相反，它為解題者提供了一個進(jìn)行反思的空間：這些情形或結(jié)論中有沒有多余的解?

分析 由函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，得f(-x)=f(x)，即

反思 對ω的無數(shù)個值，必須反思其存在的合理性.事實上，

這樣，學(xué)生在反思的基礎(chǔ)上，思維不斷得到發(fā)展.

6 反思條件與結(jié)論的聯(lián)系

反思 部分學(xué)生看到題目后無從下手.仔細(xì)分析該題，已知條件等式中的2個角為2α+β與β，所要求證的等式中的2個角為α+β與α.故應(yīng)設(shè)法將已知等式中的2個角2α+β，β向所要求證的等式中的2個角 α+β，α轉(zhuǎn)化(即設(shè)法將已知與未知掛上鉤)：2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α，然后以 α+β與 α為基本角，用兩角和與差的正弦公式展開，再向正切轉(zhuǎn)化即可證得.

總之，在數(shù)學(xué)解題后，經(jīng)常進(jìn)行以上的反思，有利于學(xué)生加深對基礎(chǔ)知識和方法的掌握;有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、批判性、創(chuàng)造性、周密性和嚴(yán)謹(jǐn)性;有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力;有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和科學(xué)的思維品質(zhì).學(xué)生應(yīng)將反思作為一種習(xí)慣.不斷地反思，才會不斷地進(jìn)步，才能提高學(xué)習(xí)效率.