“反例法”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

齊蓮敏

（襄樊廣播電視大學(xué)，湖北 襄樊 441021）

“反例法”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

齊蓮敏

（襄樊廣播電視大學(xué)，湖北 襄樊 441021）

本文通過對(duì)高等數(shù)學(xué)中典型問題的反例研究，說明在高數(shù)教學(xué)中應(yīng)用“反例法”能有效提高教學(xué)質(zhì)量，能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

反例；分析；實(shí)函；代數(shù)

自1999年，中央電大創(chuàng)辦開放教育試點(diǎn)以來，理工科本科層次均開設(shè)有高等數(shù)學(xué)這門課程。近年來，開放教育生源質(zhì)量有明顯變化，教學(xué)對(duì)象以“在職人”居多，這使得如何提高開放教育的教學(xué)質(zhì)量成為很值得研究的問題。

筆者在十年的開放教育高數(shù)教學(xué)實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，要提高高數(shù)教學(xué)質(zhì)量必須遵循以下幾個(gè)原則，即：以問題為中心原則、化抽象為具體原則、化隱為顯原則、滲透性原則等等。其中化抽象為具體原則又涵蓋多個(gè)方面，而反例教學(xué)又是把抽象的理論具體化的一種非常有效的手段。正如美國數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆所說：“數(shù)學(xué)由兩大類——證明和反例組成，而數(shù)學(xué)也是朝著這兩個(gè)目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例而發(fā)展”，本文就從分析、實(shí)函、高代三個(gè)方面入手，探討反例教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。（文中的正確命題顯然成立，不再證明）

一、反例法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

1.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

對(duì)數(shù)分的初學(xué)者來說，要分清可導(dǎo)與連續(xù)這兩個(gè)概念需要一段時(shí)間。但采用反例法教學(xué)可以簡明有力地否定學(xué)員腦海中錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。

可導(dǎo)必然連續(xù)。（這是個(gè)正確命題）

連續(xù)必然可導(dǎo)。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：Y=|x|在 x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。因?yàn)樵谠擖c(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)為-1，右導(dǎo)數(shù)為+1，左右導(dǎo)數(shù)不等，所以不可導(dǎo)。

由此例可以讓學(xué)員明白可導(dǎo)必然連續(xù)，而連續(xù)不一定可導(dǎo)。

2.導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，學(xué)員經(jīng)常誤把導(dǎo)數(shù)等同于切線，通過反例教學(xué)可以有效避免學(xué)員范這種錯(cuò)誤。

Y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)存在，則曲線Y=f(x) 過該點(diǎn)的切線存在。（這是個(gè)正確命題）

Y=f(x)在x=x0處的切線存在，則Y=f(x)在x=x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：函數(shù)X=siny在 x=1的點(diǎn)的切線存在，且該切線平行于Y軸；但函數(shù)X=siny在 x=1處的切線的斜率不存在，所以曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在。

由此例可以讓學(xué)員明確：切線存在是導(dǎo)數(shù)存在的必要條件，而不是充分條件。

3.收斂級(jí)數(shù)的線性性質(zhì)

若兩個(gè)級(jí)數(shù)∑un和∑vn都收斂，則∑un+∑vn也收斂，并且有∑un+∑vn=∑(un+vn)。（這是個(gè)正確命題）

若兩個(gè)級(jí)數(shù)∑un和∑vn都發(fā)散，則∑un+∑vn也發(fā)散。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

學(xué)員在學(xué)習(xí)的過程中，常常誤以為由收斂級(jí)數(shù)的線性性質(zhì)可以推出兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的“線性性質(zhì)”。通過此例，可以讓學(xué)員很快明白兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和可能是個(gè)收斂級(jí)數(shù)，這就提高了課堂教學(xué)效率。

二、反例法在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用

實(shí)變函數(shù)是一門綜合了代數(shù)、幾何等知識(shí)于一體，高度抽象的課程。采用反例法教學(xué)，可以使學(xué)生更深刻地理解概念與定理的含義，提高教學(xué)質(zhì)量。

1.連續(xù)基數(shù)的概念

通常情況下，學(xué)員在學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)之前，總會(huì)從直覺上感到：較長的線段比較短的線段含有更多的點(diǎn)。這種錯(cuò)誤的直覺會(huì)使學(xué)員在實(shí)變函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)中繞很多彎路。但下面這個(gè)反例卻可以使初學(xué)實(shí)函的人很快明確：一個(gè)較長的線短并不比另一個(gè)較短的線段含有更多的點(diǎn)，而是含有同樣多的點(diǎn)。

一個(gè)較長的線段比另一個(gè)較短的線段含有更多的點(diǎn)。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：x2+y2=1與x2+y2=4表示兩個(gè)同心圓，其中圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為1和2。前者的周長為2π，后者的周長為4π，表面看來好象“后者比前者含有更多的點(diǎn)”；實(shí)際上，只要從原點(diǎn)出發(fā)作射線，即可建立前者與后者的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)。也就是說，x2+y2=1與x2+y2=4上面的點(diǎn)一樣多，個(gè)數(shù)均為連續(xù)基數(shù)c。

舉這樣的反例，非常有利于學(xué)生掌握連續(xù)基數(shù)的概念。

2.全序集與半序集的關(guān)系

學(xué)員在學(xué)習(xí)全序集時(shí)，往往會(huì)誤認(rèn)為這里的“序”和我們通常意義上的“順序”是一回事，這使得在判別集合是否為全序集時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。如何防止學(xué)員范這種易范的錯(cuò)誤，舉個(gè)反例即可。

設(shè)B為非空集，A為B的所有子集構(gòu)成的集，若子集之間用包含關(guān)系作為A中某些元素間的順序，則A按此順序成為一個(gè)半序集。（這是個(gè)正確命題）

上述A也是一個(gè)全序集。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：設(shè)B=｛1，2，3｝，則A=｛φ，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝｝。其中｛1｝∈A，｛2，3｝∈A， 而｛1｝＜｛2，3｝不成立，｛2，3｝＜｛1｝也不成立。根據(jù)全序集的定義：對(duì) A中任意兩個(gè)元素都可以確立它們之間的順序，可以知道，上述 A不構(gòu)成全序集，只構(gòu)成半序集。

由上可知，半序集不一定是全序集，而全序集一定是半序集。

雖然，實(shí)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最抽象的課程；但是，采用反例法教學(xué)可以化抽象為具體，并能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)重點(diǎn)概念的印象，加深學(xué)員對(duì)抽象理論的理解。

3.開區(qū)間與開集的關(guān)系

初學(xué)實(shí)函者往往會(huì)誤以為在一維空間上開區(qū)間與開集是相同的概念，實(shí)則不然。以下舉反例說明。

在直線上，開區(qū)間是開集。（這是個(gè)正確命題）

在直線上，開集是開區(qū)間。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：在R1上，對(duì)集合A=（1，2）∪（3，4）∪（7，8）中任一意點(diǎn)a，總存在δ＞0，使得∪（a，δ）包含于A，所以A上任一點(diǎn)均為內(nèi)點(diǎn)。可見，A為開集。但是，顯然A不是開區(qū)間，而是開區(qū)間的并。

由這個(gè)具體的反例，可以很容易地讓學(xué)員區(qū)分開開集與開區(qū)間這兩個(gè)概念。

4.閉集與開集的關(guān)系

直線上的閉集F或者是全直線，或者是從直線上挖掉有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間所得到的集。（這是個(gè)正確命題）

閉集的余集是開集。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：設(shè)閉集 F=[1，2]，F(xiàn)包含于[1，4]，則C[1，4]F=（2，4]。顯然閉集F對(duì)于[1，4]的余集不是開集。

三、反例法在高等代數(shù)中的應(yīng)用

1.整體相關(guān)與部分相關(guān)的關(guān)系

對(duì)于一個(gè)向量組，一部分向量線性相關(guān)，則此向量組的整體必然線性相關(guān)。（這是個(gè)正確命題）

一個(gè)向量組線性相關(guān)，則它的一部分向量構(gòu)成的向量組也線性相關(guān)。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：顯然，向量組 e1=(1,0,0) ′, e2=(0,1,0) ′,e3= (0,0,1) ′,α=(1,1,1)′線性相關(guān)。但它的部分組e1，e2，e3是線性無關(guān)的。

2.有相同特征多項(xiàng)式的矩陣與相似矩陣的關(guān)系

相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式。（這是個(gè)正確命題）

有相同特征多項(xiàng)式的矩陣是相似陣。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

3.線性變換的保相關(guān)性

線性變換把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組。（簡稱為線性變換的保相關(guān)性，這是個(gè)正確命題）

線性變換把線性無關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無關(guān)的向量組。（這是個(gè)錯(cuò)誤命題）

反例：在線性空間Fn[x]中，向量組1，x1,x2, ……，xn-1是線性無關(guān)的，因?yàn)閗1·1+k2x+……+knxn-1=0, 只能得出各個(gè)系數(shù)k1,k2,……,kn全為零。

設(shè)δ是線性空間Fn[x]的微分變換，

則：δ（1）=0， δ（x）=1,

δ(x2)=2x, ……,δ(xn-1)=(n-1) xn-2

而1·0+0·1+0·2x+……+0·(n-1) xn-2=0

即1·δ（1）+0·δ（x）+0·δ(x2)+……+0·δ(xn-1)=0

所以δ（1），δ（x），δ(x2)，……，δ(xn-1)是線性相關(guān)的向量組。

由上可知，線性變換可以把線性無關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組。

四、結(jié)束語

開放教育教學(xué)主要分為“面授”與“網(wǎng)上教學(xué)”兩部分，“面授”課時(shí)少，“網(wǎng)上教學(xué)”師生缺乏情感交流。怎樣提高開放教育的教學(xué)質(zhì)量是每個(gè)開放教育教師都要思考的問題。而高等數(shù)學(xué)這門課程難度大、很抽象，選擇何種教學(xué)方法能有效地提高教學(xué)質(zhì)量更是每位數(shù)學(xué)教師必須思考的問題?！胺蠢虒W(xué)法”可以把抽象的理論轉(zhuǎn)化為具體的實(shí)例，便于學(xué)生掌握；“反例”的鮮明性可以在學(xué)員的腦海中留下深刻的印象，加深他們對(duì)于相關(guān)概念的記憶；“反例法”的辯駁性可以培養(yǎng)學(xué)員獨(dú)立思考問題、獨(dú)立辨別是非、采用例證法來反駁錯(cuò)誤論述的能力；“反例法”可以提高學(xué)員的邏輯素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)員的創(chuàng)新能力。

[1] 樣例在泛函分析教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 高師理科學(xué)刊，2008，（1）.

[2] 程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)等. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社，1988.

[3] 張喜堂，余東華，方育坤. 實(shí)變函數(shù)論的典型問題與方法[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社， 2000.

[4] 張禾瑞，郝丙新. 高等代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

The application of “Counterexample” in higher mathematics education

QI Lian-min

By studying counter example of higher mathematics, this paper discussed counter example method application in mathematical teaching would improve teaching quality, and improve students ability in analyzing, solving problem.

counter example ; analysis; real function; algebra

G72

A

1008-7427（2010）01-0020-02

2009-08-31