利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力

王明剛，許 華

（南京師范大學(xué)泰州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，江蘇 泰州 225300）

利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力

王明剛，許 華

（南京師范大學(xué)泰州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，江蘇 泰州 225300）

結(jié)合自己在講授數(shù)學(xué)建模課程中遇到的一些實(shí)例并總結(jié)前人的研究碩果，針對(duì)以往相關(guān)研究的不完整性，與現(xiàn)行的新課程改革相結(jié)合，針對(duì)如何充分利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力進(jìn)行全面的研究，分別對(duì)六種不同的思維能力，運(yùn)用設(shè)計(jì)不同的教學(xué)情境，來引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

數(shù)學(xué)建模；課堂教學(xué)；思維能力；課程改革

1 .引言

數(shù)學(xué)建模這門課程將抽象的、枯燥的定理公式滲透到活生生的實(shí)際問題中，要求學(xué)生積極參與數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)、收集和分析。以數(shù)學(xué)為基調(diào)，形成理論實(shí)際相結(jié)合的思維方式，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)怎樣用數(shù)學(xué)語言描述具體的問題，學(xué)會(huì)怎樣用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際中存在的問題[1]。數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，對(duì)數(shù)學(xué)模型而言，數(shù)學(xué)是工具，解決問題是目的。數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用能力共同提高的最佳結(jié)合點(diǎn)。

思維能力是培養(yǎng)學(xué)生各種能力的核心，如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力已經(jīng)成為現(xiàn)階段教育研究人員紛紛探討的熱門話題。而數(shù)學(xué)建模全過程（圖1）[2]中的每一步都從不同的方面鍛煉了學(xué)生的思維能力（如將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息抽象成數(shù)學(xué)模型的抽象思維能力；對(duì)不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析求解時(shí)的邏輯思維能力等），因此 ，研究如何利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力就顯得尤為重要。

圖1

2 .利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力

數(shù)學(xué)課程的基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面都有著獨(dú)特的作用[3]，下面我就結(jié)合自己在講授數(shù)學(xué)建模課程中遇到的一些實(shí)例并總結(jié)前人的研究碩果，針對(duì)以往相關(guān)研究的不完整性，與現(xiàn)行的新課程改革相結(jié)合，針對(duì)如何充分利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力進(jìn)行全面的研究，分別對(duì)六種不同的思維能力，運(yùn)用設(shè)計(jì)不同的教學(xué)情境，來引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

2.1 培養(yǎng)思維的積極性

興趣是學(xué)習(xí)的最好老師，也是每個(gè)學(xué)生自覺求知的內(nèi)在動(dòng)力。教師應(yīng)該注重在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，為學(xué)生設(shè)計(jì)好一個(gè)激發(fā)思考和創(chuàng)造的課堂環(huán)境，設(shè)置誘人的懸念，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的火花和求知的欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的積極性。

（1）在新授課的導(dǎo)入或講解的過程中，設(shè)置一些懸念來引起學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維的積極性來引發(fā)探求的欲望。例如：數(shù)學(xué)建模課程的引言部分，可以選擇一些能夠用建模解決的一些有趣的生活中的問題，如“如何設(shè)計(jì)高跟鞋的高度問題”，“人帶著雞、貓、米過河的問題”等等，用這些生動(dòng)的生活實(shí)例來調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣，這樣使學(xué)生在解決一個(gè)個(gè)“懸念”問題中探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而在講解公平的席位分配一節(jié)內(nèi)容時(shí)，課本上定義了相對(duì)不公平度這個(gè)概念，即設(shè)A，B兩方人數(shù)分別為 p1和p2，兩方分配的席位為 n1和n2，

因?yàn)橄鄬?duì)不公平度是人為定義的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)，它并沒有嚴(yán)格的定義，因此，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生開動(dòng)腦筋，尋求其他的定義方法。此時(shí)，我們適當(dāng)?shù)募右砸龑?dǎo)、提示，學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)A的相對(duì)不公平度如下兩種新的定義方法：掌握數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)。

（2）在新課結(jié)束時(shí)，也要適當(dāng)對(duì)某一些問題做一些延伸發(fā)展，設(shè)計(jì)一些懸念問題，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容做好鋪墊，留下懸念。

再例如講“人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型”這節(jié)新內(nèi)容時(shí)，可以講講世界及中國人口發(fā)展概況及趨勢(shì)，同時(shí)介紹為什么中國要實(shí)行計(jì)劃生育，國家是以什么為依據(jù)來制定這項(xiàng)國策的，留下這樣一個(gè)學(xué)習(xí)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型知識(shí)的懸念，學(xué)生對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)將會(huì)特別的投入，學(xué)習(xí)成果將會(huì)很明顯。因?yàn)樗膽夷钜l(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引起了學(xué)生對(duì)下次課的好感，對(duì)后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了向往，盼望的急切心情，將被動(dòng)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向了主動(dòng)。

2.2 培養(yǎng)思維的求異性

在數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來觀察和思考，以尋求不同的解題路徑，開拓學(xué)生的解題思路。并在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行多次訓(xùn)練，這樣既增長(zhǎng)鞏固了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的求異性思維能力。因此在教學(xué)中，要注意抓住一道典型題目，努力尋求多種途徑的解法，促使學(xué)生多方位、多層次的思考分析，打開學(xué)生的解題思路。例如，

又如在講解完用 Q值方法進(jìn)行席位分配時(shí)，又可以引導(dǎo)學(xué)生去探討“D ’Hondt”法、“D ’Hondt + Q ”值法等其他形式的分配方法，并對(duì)這些方法進(jìn)行比較，不僅要讓學(xué)生掌握更多的知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生求異性的思維能力，同時(shí)要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多種方法進(jìn)行比較，優(yōu)化方法，提高解決問題的速度并注意找出同一問題存在多種方法的條件與原因，挖掘其內(nèi)在規(guī)律。這樣將能很好的達(dá)到教學(xué)雙贏了，提高了教學(xué)質(zhì)量又培養(yǎng)了思維能力，何樂而不為呢？

2.3 培養(yǎng)思維的連續(xù)性

在數(shù)學(xué)建模這門課程中的，許多模型的得到都是一類條理分明，思路清晰，由淺入深具有鮮明層次性的問題，隨著臺(tái)階的上升涉及的知識(shí)點(diǎn)逐漸增多，不斷探索的問題將得到逐步地解決， 在這樣一個(gè)不斷探索的過程中讓學(xué)生順著清晰的思路進(jìn)行自行探討，從而解決問題，有助于培養(yǎng)思維的連續(xù)性。

例如我們?cè)谥v解傳染病模型時(shí)，剛開始我們不區(qū)分病人和健康的人群可以得到一個(gè)較為簡(jiǎn)單的模型：

這時(shí)我們就可以引導(dǎo)學(xué)生思考建模失敗的原因：我們?cè)诘谝粋€(gè)模型里沒有考慮到病人有效接觸的人群中既有健康者又有病人，因而我們可以對(duì)模型（1）進(jìn)行改進(jìn)，從而得到模型：

模型2對(duì)模型1進(jìn)行了顯著的改善，利用模型2，我們可以得到傳染病高潮期到來的時(shí)刻為：可以為醫(yī)療部門提供信息服務(wù)。但是模型

2.4 培養(yǎng)思維的聯(lián)想性

引導(dǎo)學(xué)生自主聯(lián)想，揭示和建立新舊知識(shí)的聯(lián)系是培養(yǎng)思維聯(lián)想性的有效途徑。學(xué)生聯(lián)想回憶的過程可以實(shí)現(xiàn)挖掘激發(fā)思維潛力。數(shù)學(xué)研究本身就是一個(gè)不斷從實(shí)踐→認(rèn)識(shí)→實(shí)踐的過程，這樣的過程推進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步。而思維的聯(lián)想性在這一過程當(dāng)中起著舉足輕重的作用。所以教師可以在教學(xué)過程中多設(shè)計(jì)一些反復(fù)式問題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與回憶，建立好新舊知識(shí)間的聯(lián)系，深化對(duì)知識(shí)的理解;經(jīng)常回憶與反思必將使學(xué)生的思維能力得到大大地提升。因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，應(yīng)緊密結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)，適時(shí)設(shè)計(jì)好反復(fù)式問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的聯(lián)想性。例如我們?cè)诮榻B完人口阻滯增長(zhǎng)模型后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考草原上羊群數(shù)量的增長(zhǎng)，漁場(chǎng)中魚群數(shù)量的增長(zhǎng)是以什么樣的方式增長(zhǎng)的呢？是不是也滿足Logistic模型呢？又如，在講到穩(wěn)定性模型的第一節(jié)內(nèi)容“捕漁業(yè)持續(xù)收獲”問題時(shí)，要考察在沒有捕撈的前提下魚群數(shù)量會(huì)發(fā)生什么變化，這時(shí)，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生，將前面學(xué)習(xí)過的Logistic模型與之對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，讓學(xué)生主動(dòng)去回顧，大膽去實(shí)踐，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程。再通過實(shí)踐所得到的結(jié)論，帶回到所學(xué)的知識(shí)內(nèi)，反復(fù)進(jìn)行復(fù)習(xí)比較，獲取更多的信息，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)思維連續(xù)性的目的。

2.5 提高直覺思維能力

“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢?！鳖A(yù)見意識(shí)對(duì)探索成功率的提高是大有裨益的。解題過程中我們對(duì)于解題策略、思路、方向和手段都應(yīng)該作出正確的判斷和抉擇。否則將誤入歧途。因此在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，先不急于分析解題思路，而恰當(dāng)?shù)牧粲锌臻g，讓學(xué)生仔細(xì)審題，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，對(duì)比權(quán)衡，如未知數(shù)、自變量、參數(shù)的確定，輔助元素的設(shè)置，坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)的選取，分類討論的時(shí)機(jī)掌握，及討論標(biāo)準(zhǔn)層次的確定等，他們對(duì)于建模的 成敗、難易、繁簡(jiǎn)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響，在此基礎(chǔ)上作出正確估計(jì)和判斷。

例如：在講解“正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)”模型時(shí)，在建模之前就可以引導(dǎo)學(xué)生思考，影響戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的因素有哪些？其中哪些是主要因素，哪些是次要因素？如何將一個(gè)看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的問題來進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？用這些問題來調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考；而在講解完正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型后，轉(zhuǎn)而講解游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型時(shí)，就可以讓學(xué)生通過直覺思維思考一下，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)與正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)的區(qū)別在哪？影響雙方士兵人數(shù)變化的因素還有正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)一樣嗎？這樣引導(dǎo)學(xué)生一步步的深入思考下去，通過學(xué)生思考，憑直覺可以預(yù)見到解決本題的關(guān)鍵，學(xué)生很快就會(huì)得到游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型：

2.6 培養(yǎng)思維的廣闊性

探究表現(xiàn)為“為什么是這樣”“還會(huì)怎樣”的心理活動(dòng)過程。對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，表現(xiàn)為不滿足于知其然，執(zhí)意追求知其所以然。而創(chuàng)造性思維是最高層次的思維活動(dòng)，是在自由想象的基礎(chǔ)上對(duì)頭腦中已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新的組合的結(jié)果。引導(dǎo)、誘發(fā)、鼓勵(lì)學(xué)生在強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)驅(qū)動(dòng)下不斷實(shí)現(xiàn)自我突破。敢于“標(biāo)新立異”，敢于“離經(jīng)判道”。例如在講解層次分析模型時(shí)要用到求矩陣的特征值和特征向量，而利用我們所掌握的知識(shí)，求解高階矩陣的特征值和特征向量是相當(dāng)復(fù)雜的，又由于層次分析模型中，對(duì)特征向量的要求并一定要非常準(zhǔn)確，在這種情況下，我們就可以帶領(lǐng)學(xué)生脫離我們以前所學(xué)方法的局限，來尋求求解矩陣特征值和特征向量的近似的方法：和法、冪法和根法。

教學(xué)中放手讓學(xué)生朝各個(gè)方向發(fā)散，按照他們自己的想法去探求。你會(huì)發(fā)現(xiàn)由于他們的思考角度不同，出現(xiàn)了許許多多的不同答案，有些結(jié)果出乎老師所料。通過學(xué)生交流，再引導(dǎo)、反思，使學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行變式探究，思維向不同的方向發(fā)散。不僅鞏固了所學(xué)知識(shí)；而且激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能、發(fā)展智力、提高能力的目的，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力

3 .總結(jié)

隨著素質(zhì)教育改革的深入，如何活躍課堂的氣氛，培養(yǎng)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的素質(zhì)已經(jīng)成為我們教育工作者的一個(gè)重要任務(wù)。數(shù)學(xué)不僅僅是再向?qū)W生傳授知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)他們獨(dú)立的思維能力。教學(xué)觀念陳舊，教學(xué)手法單一，這些都已經(jīng)成為制約學(xué)生思維能力提高的重要因素。為了改變這個(gè)現(xiàn)狀，拓展學(xué)生的思維，使之健康成長(zhǎng)，我們不得不研究對(duì)策，研究怎么樣的教學(xué)才可以充分提高學(xué)生的積極性，引起他們的興趣，在輕松活躍的氣氛下完成教學(xué)的任務(wù)。

我認(rèn)為在數(shù)學(xué)建模這門課程的具體的做法就是通過上面所述的一系列的不同的設(shè)計(jì)問題的方式，精心設(shè)計(jì)每節(jié)課，使之形象生動(dòng)，有意創(chuàng)造動(dòng)人的情景，設(shè)置誘人的懸念，激發(fā)學(xué)生思維的火花和求知的欲望。讓他們?cè)趯?shí)際生活中了解到數(shù)學(xué)的作用，在探索知識(shí)的過程中解決實(shí)際的問題，迸發(fā)出無窮的靈感，培養(yǎng)各種思維能力。

[1] 李醫(yī)民，王學(xué)弟，丁丹平，等. 數(shù)學(xué)素質(zhì)教育改革的系統(tǒng)工程[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，（4）.

[2] 姜啟源，謝金星. 數(shù)學(xué)模型[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3] 洪雙義. 一種新型數(shù)學(xué)教育方式的探索[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，（2）.

G42

A

1008-7427（2010）01-0133-02

2009-11-05

作者王明剛系南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)系講師。