剖析拋物線中的分類探究題

?江西省安?？h城關(guān)中學(xué) 曹經(jīng)富

在近幾年各地中考中，有關(guān)探究相關(guān)圖形的形狀、位置，大小等試題頻繁亮相于壓軸題中，這類試題通常以拋物線為背景，以簡單的幾何圖形為載體,借助點(diǎn)動、線動、圖動的思想．進(jìn)而分類探究相關(guān)圖形的某種狀態(tài)與結(jié)論．

分類討論是初中常用的重要思想方法，無論是在生產(chǎn)活動、科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，還是在日常的生活中，都常常需要用到它． 分類討論是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想．它能訓(xùn)練人的思維條理性和嚴(yán)密性.實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.掌握分類思想，有助于我們提高理解知識，整理知識和獨(dú)立獲得知識的能力.而二次函數(shù)作為初中階段最核心、最重要的內(nèi)容，越來越被作為呈現(xiàn)知識、能力和思想的載體．為此，讓我們結(jié)合有關(guān)試題，一同走進(jìn)與拋物線有關(guān)的分類世界，感受它的魅力與奇妙動感．

一、有關(guān)等腰三角形的分類探究題

例 1：（2010年重慶市綦江縣） 已知拋物線 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖像經(jīng)過點(diǎn) B（12,0）和 C（0，-6），對稱軸為 x=2．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD＝AC，若動點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動，同時(shí)另一動點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動速度；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點(diǎn)M使，△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

思路點(diǎn)撥：（1）可用待定系數(shù)法求解；（2）當(dāng)條件既滿足PD＝QD，又滿足PQ⊥CD時(shí)，是否存在PD的長．注意到當(dāng) PD＝QD，PQ⊥CD 時(shí)，△PDC≌△QDC（HL），此時(shí)∠QDC＝∠PDC，又∵∠PDC＝∠ACD，于是可以判斷DQ∥AC，∵D是AB中點(diǎn)，∴DQ是△ABC的中位線，DQ＝1AC，AC 可求，那2么DQ亦可求，從而確定PD的長；（3）探究△MPQ為等腰三角形要分類討論：若以PQ為等腰△MPQ的底邊，則作PQ的中垂線，與x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)M；若以PQ為腰，則分別以P、Q兩點(diǎn)為圓心，以PQ長為半徑作圓，與x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，依此作法，可作出5個(gè)點(diǎn)．再利用勾股定理和一次函數(shù)的性質(zhì)，解出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解析：（1）∵ 拋物線過點(diǎn) C（0，－6），∴c＝－6，即 y＝ax2＋bx－6.

（2）存在，設(shè)直線CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，

∴點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，連結(jié)DQ，顯然∠PDC＝∠QDC，

由已知∠PDC＝∠ACD，∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC，DB＝AB－AD＝20-10=10，∴DQ為△ABC的中位線，

∴t＝5÷1＝5（秒）.

∴存在t＝5（秒）時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分，在Rt△BOC 中，，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒單位長度．

（3）存在．如下圖，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，則QH＝3，PH＝9，在 Rt△PQH 中，

①當(dāng)MP＝MQ，即PQ為底邊時(shí)，設(shè)直線CD的直線方程為 y＝kx＋b（k≠0），則，解得

∴y＝3x－6，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－3，∴M（11，－3）.

②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)，設(shè)直線x＝1上存在點(diǎn) M（1，y），由勾股定理得：42＋y2＝90，即，∴

③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)．過點(diǎn)Q作QE⊥y 軸于 E，交直線 x＝1 于 F，則 F（1，-3），設(shè)直線 x＝1 存在點(diǎn) M（1，y）由勾股定理得（y+3）2+52=90：，即∴，綜上所述，存在這樣的5個(gè)點(diǎn)

點(diǎn)評：本題是集代數(shù)、幾何核心內(nèi)容于一體的綜合題．在（2）它從一個(gè)新的角度提出問題，重在考查了學(xué)生化動為靜及數(shù)形結(jié)合能力，在（3）中重點(diǎn)考查了探究等腰三角形存在情況的分類討論.在探究等腰三角形的形狀時(shí)，通常對已知線段為底和腰兩種情況進(jìn)行分析，考慮已知線段為腰時(shí)，又要分兩種情況：線段兩端點(diǎn)分別為等腰三角形的頂點(diǎn)．解題時(shí)要注意將有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為相關(guān)線段的長，再借助等腰三角形的兩邊相等構(gòu)建方程求解相關(guān)未知數(shù)或變量．

二、有關(guān)平行四邊形的分類討論題

例2：（2010年陜西省）如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）3 個(gè)點(diǎn).

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路點(diǎn)撥：（1）已知3個(gè)點(diǎn)求拋物線的解析式可用一般式求解．（2）要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況考慮：①AB為邊，則利用PQ∥AB且PQ＝AB，從而可知P的橫坐標(biāo)是4或者-4，然后代人二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；②如果AB為對角線，只要線段PQ與線段AB互相平分即可又知點(diǎn)Q在y軸上，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，這時(shí)符合條件的P只有一個(gè)點(diǎn)記為P3，將x＝2代入二次函數(shù)解析式即可求出.

解析：（1）設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c根據(jù)題意，得，解得

（2）①AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可.又知點(diǎn)Q在y軸上，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4，這時(shí)符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別記為P1,P2.而當(dāng)x=4時(shí)；當(dāng)x=-4時(shí)，y=7，此時(shí)

②當(dāng)AB為對角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，這時(shí)符合條件的P只有一個(gè)記為P3，而且當(dāng)x=2時(shí)y=-1，此時(shí)P（32，-1）.綜上，滿足條件的P為

點(diǎn)評：在探究4點(diǎn)構(gòu)建的平行四邊形中，其中只有兩個(gè)點(diǎn)確定，其余兩點(diǎn)為動點(diǎn)，則需要借助分類討論的思想進(jìn)行分析，即已知的兩個(gè)點(diǎn)可能為所要探究平行四邊形的邊，也可能為對角線，再進(jìn)一步借助平行四邊形的邊、角及對角線性質(zhì)進(jìn)行求解．

三、有關(guān)直角三角形的分類討論題

例3：（2009年福建省寧德市）已知拋物線 C1：y=a（x+2）2-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．

（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；

（2）如下頁圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱時(shí)，求C3的解析式；

（3）如圖（2），點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

思路點(diǎn)撥：將點(diǎn)B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱時(shí)，要求出C3的解析式關(guān)鍵是求出頂點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)，而B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），利用對稱性及通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線、全等知識等可得頂點(diǎn)M（4，5），且拋物線C3開口向下，運(yùn)用頂點(diǎn)式便可求出C3的解析式；在（3）中，拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4．其實(shí)就是P，N關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱，根據(jù)對稱性可設(shè)字母m表示出N、E、F等各點(diǎn)的坐標(biāo)，探究以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，要進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸惪紤]：3個(gè)角都有為直角的可能，再利用相關(guān)的勾股定理等確定其中所設(shè)字母m的值，進(jìn)而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：（1）由拋物線 C1：y=a（x+2）2-5 得頂點(diǎn) P（-2，-5）.

∵ 點(diǎn) B（1，0）在拋物線 C1上，∴0=a（1+2）2-5，解得

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作 MG⊥x軸于G，∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱，∴PM過點(diǎn)B，且PB＝MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，∴ 頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（4，5）.

拋物線C2由C1關(guān)于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到，∴拋物線C3的表達(dá)式為

（3）∵拋物線C4由C1繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到，∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱，由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5.

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，∵ 旋轉(zhuǎn)中心Q在 x軸上 ∴EF＝AB＝2BH＝6，∴FG＝3，點(diǎn) F 坐標(biāo)為（m+3，0），H 坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），

根據(jù)勾股定理得 PN2＝NK2+PK2=m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34.

①當(dāng)∠PNF＝90°時(shí)，PN2+NF2＝PF2，解得，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為

②當(dāng)∠PFN＝90°時(shí)，PF2+NF2＝PN2，解得，

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90°.

點(diǎn)評：本題是一道集拋物線的變換及探究直角三角形存在性的綜合題，解題關(guān)鍵是要弄清兩個(gè)對稱點(diǎn)之間橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的變量與不變量之間的關(guān)系．對于圖像類的坐標(biāo)問題，其基本的思想是“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，把根據(jù)已知條件、圖形性質(zhì)求出來的幾何量，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是由坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成幾何量時(shí)都應(yīng)注意對點(diǎn)的坐標(biāo)符號或幾何量的確定．在探究三個(gè)點(diǎn)是否構(gòu)成直角三角形時(shí)，主要是運(yùn)用勾股定理的逆定理進(jìn)行驗(yàn)證，其中應(yīng)進(jìn)行分類討論哪一條邊可能為斜邊．

四、有關(guān)三角形相似的分類討論題

例4：（2010年甘肅?。┤缦聢D，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C（0，-3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

思路點(diǎn)撥：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法可求解解析式；（2）結(jié)合B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)可計(jì)算出三邊的長度，再結(jié)合勾股定理的逆定理可判斷是否為直角三角形；（3）要探究以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，其中△BCD已確定，則相似的對應(yīng)關(guān)系存在多種可能，故需要采用分類討論的思想進(jìn)行考慮，即AC可能分別與△BCD的三邊為對應(yīng)邊.

解析：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）,可知c=-3即拋物線的解析式為y=ax2+bx-3．把 A（-1，0）、B（3，0）代入,得解得a=1,b=-2.∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）.

（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.理由如下：過點(diǎn)D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=18. 在 Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴CD2=2. 在 Rt△BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴BD2=20.∴BC2+CD2=BD2，故△BCD為直角三角形.

（3）連接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合條件的點(diǎn)為O（0，0）． 過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合條件的點(diǎn)為P（10,.過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合條件的點(diǎn)為P（29，0）．∴ 符合條件的點(diǎn)有3個(gè)：O（0，0）

點(diǎn)評：本題以二次函數(shù)為載體，將勾股定理與相似相融合，解題的關(guān)鍵是能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)及時(shí)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線段長，在探究相似時(shí)，應(yīng)弄清哪些是已知的量（邊），確定的量（邊），進(jìn)而運(yùn)用幾何圖形（相似三角形）的性質(zhì)分別對應(yīng)列成比例式進(jìn)行求解.

五、有關(guān)探究圖形面積的分類討論題

例5：（2010年山東省濰坊市）如下頁上圖所示，拋物線與 x 軸交于 A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C（0，-3）．以AB為直徑做⊙M，過拋物線上的一點(diǎn)P作⊙M的切線PD，切點(diǎn)為D，并與⊙M的切線AE相交于點(diǎn)E．連接DM并延長交⊙M于點(diǎn)N，連接AN．

（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的解析式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

思路點(diǎn)撥：（2）連接MP，由條件可得半徑為2，結(jié)合切線長定理可得△EAM≌△EDM，借助四邊形EAMD的面積為，即△EAM的面積為,發(fā)現(xiàn)，這時(shí)要注意分類，點(diǎn)E可能在第二象限，也可能在第三象限，故點(diǎn)E的坐標(biāo)有兩個(gè)；結(jié)合△EAM三邊的關(guān)系存在特殊角，進(jìn)行借助特殊角的三角函數(shù)關(guān)系求解D點(diǎn)坐標(biāo)（也存在兩個(gè)，第一象限或第四象限），運(yùn)用待定系數(shù)法從而得到兩條直線BD的解析式（.3）要探究四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，結(jié)合相關(guān)圖形關(guān)系也就是S△EAM＝S△AMD，即同底等高，可知切線PD與x軸平行，且到x軸的距離為2,應(yīng)分類討論：可能 y＝2或y＝-2，即將（x，2）和（x，－2）代入拋物線可得相應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解析：（1）因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于點(diǎn) A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 y＝a（x＋1）（x－3），∵ 拋物線與 y軸交于 C（0，－3），∴-3＝ a（0+1）（0-3），解得 a＝1，所以拋物線的解析式為 y＝x2-2x－3＝（x－1）2-4，因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）連接 EM，∵EA、ED 是⊙M 的切線，∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四邊形EAMD的面積為當(dāng)點(diǎn)E在第二象限時(shí)，切點(diǎn)D在第一象限，在Rt△EAM中，∠DMB=60°，過切點(diǎn)D作DF⊥AB于F點(diǎn)，∴MF＝1，DF＝，則直線PD過的坐標(biāo)代入，則函數(shù)PD的解析式為當(dāng)點(diǎn)E在第三象限時(shí)，切點(diǎn)D在第四象限，同理可求直線PD的解析式為因此直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y＝-

（3）若四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，又∵S四邊形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，則 S△EAM=S△AMD，∴E、D兩點(diǎn)到x軸的距離相等，∵PD與⊙M相切，∴點(diǎn)D與點(diǎn)E在x軸同側(cè)，∴切線PD與x軸平行，此時(shí)切線PD的函數(shù)關(guān)系式為 y＝2或 y＝－2. 當(dāng) y＝2 時(shí)，由 y＝ x2-2x-3 得當(dāng) y＝－2時(shí)，由 y＝ x2-2x-3得.故滿足條件點(diǎn)P的位置有4個(gè)，分別是

本題將一次函數(shù)、二次函數(shù)、直線與圓、三角函數(shù)等知識高度融合，在題型上雖較為傳統(tǒng)，但卻有力考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識融會貫通能力、分析問題、解決問題能力及分類討論的能力.在近幾年，有關(guān)拋物線與圓、面積的綜合題不斷被人所淡化，但它對于培養(yǎng)、訓(xùn)練與考查學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力、邏輯推理能力、綜合能力、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想及數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻是一道亮麗的風(fēng)景和不可多得的好試題.