鋼筋混凝土環(huán)形貯液容器的固有頻率

徐杏華

(孝感學(xué)院 城市建設(shè)學(xué)院， 湖北 孝感 432000)

對金屬貯液容器與液體耦聯(lián)振動(dòng)的研究，已有不少工作。但對鋼筋混凝土環(huán)形貯液容器的振動(dòng)問題，到目前為止，尚未見到有關(guān)報(bào)導(dǎo)。

鋼筋混凝土容器(圖1)，可以用來盛裝各種各樣的液體，如石油、汽油、水等，它不僅經(jīng)久耐用，而且造價(jià)低；特別是在地震頻發(fā)地區(qū)，只要容器振動(dòng)問題解決了，就可以放心建造使用。本文對這類貯液容器與液體耦聯(lián)彎曲振動(dòng)的固有頻率作了精確研究。

圖2 貯液器的計(jì)算模型

1 貯液器內(nèi)液體的運(yùn)動(dòng)

設(shè)內(nèi)筒的內(nèi)外半徑分別為r0′和r0，外筒的內(nèi)外半徑分別為R0′和R0，容器內(nèi)液體深度為h，環(huán)體沿y方向作梁式振動(dòng)，建立圖1(b)所示柱坐標(biāo)來描述液體的運(yùn)動(dòng)。

設(shè)液體理想、不可壓縮、無旋，因而存在速度勢函數(shù)Φ(r,θ，z,t),滿足

2

Φ

=0

(1)

式中，2為Laplase算子。

忽略表面波的作用，Φ滿足以下邊界條件：

(2)

Φ|z=h=0，

(3)

(4)

(5)

式中，y1=y1(z,t)，y2=y2(z,t)分別是內(nèi)外筒體沿y方向的位移。

(6)

式中，A、B、C、D、E、F均為待定系數(shù)，In(mr)和Kn(mr)分別是n階第一類和第二類修正Bessel函數(shù)。

根據(jù)邊界條件式(2)～(5)，可得

(7)

利用三角函數(shù)的正交性可得

(8)

(9)

由以上二式可得

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

因而得

Φ=

(15)

2 內(nèi)外筒體振動(dòng)方程

由式(15)可得沿內(nèi)外筒體單位高度在y方向的合力：

在內(nèi)筒體，有

K1(msr0)}cosmsz

(16)

在外筒體，有

K1(msR0)}cosmsz

(17)

式中，ρ是容器內(nèi)液體密度。

由此可得0～h段內(nèi)筒體的彎曲振動(dòng)方程為

(18)

將式(16)代入上式，可得

(19)

式中

(20)

(21)

式(19)可寫成

(22)

式中

(23)

從式(22)可以看出，液體對0～h段內(nèi)筒體振動(dòng)的影響，相當(dāng)于在內(nèi)筒上附著一廣義質(zhì)量m1(z)。

0～h段外筒體的彎曲自振方程為

(24)

將式(17)代入上式，可得

(25)

式中

(26)

(27)

式(25)可寫成

(28)

式中

(29)

從式(28)可以看出，液體對0～h段外筒體振動(dòng)的影響，相當(dāng)于在外筒上附著一廣義分布質(zhì)量m2(z)。

容易得到，h～H段內(nèi)筒體的振動(dòng)方程為

(30)

h～H段外筒體的振動(dòng)方程為

(31)

3 容器振型函數(shù)及固有頻率

由微分方程理論，可知式(22)的齊次通解為

Y1,1=D1cosk1z+D2sink1z+D3chk1z+D4shk1z

(32)

式(22)的非齊次特解為

Y1,2=

(33)

同樣可得式(28)的齊次通解為

Y2,1=C1cosk2z+C2sink2z+C3chk2z+C4shk2z

(34)

式(28)的非齊次特解為

Y2,2=

(35)

式(30)的通解為

Y1′(z)=D1′cosk1z+D2′sink1z+D3′chk1z+D4′shk1z

(36)

式(31)的通解為

Y2′(z)=C1′cosk1z+C2′sink1z+C3′chk1z+C4′shk1z

(37)

綜合以上分析可得內(nèi)外筒體的位移函數(shù)分別為

(38)

(39)

將式(38)代入式(13)，可得

G1s=D1I1s+D2I2s+D3I3s+D4I4s+

(40)

將式(38)代入式(14)，可得

G2s=C1I1s′+C2I2s′+C3I3s′+C4I4s′+

(41)

以上兩式中

(42)

由式(40)和(41)，可解出G1s=G1s(D1,D2,D3,D4;C1,C2,C3,C4)，G2s=G2s(D1,D2,D3,D4;C1,C2,C3,C4)，(s=1,2,3,…)，它們均是Di和Ci(i=1,2,3,4)的線性函數(shù)，所以Y1(z)和Y2(z)也均是Di和Ci(i=1,2,3,4)的線性函數(shù)。

Y1(z)與Y1′(z)以及Y2(z)與Y2′(z)的聯(lián)接條件分別為

(43)

(44)

內(nèi)外筒體的兩端(z=0,z=H)各可提出四個(gè)邊界條件，如一端(z=0)固支，一端(z=H)剛性封閉(蓋)，有

(45)

(46)

兩端其它可能條件就不一一列舉了。

由內(nèi)外筒體的聯(lián)接條件式(43)和(44)以及邊界條件式(45)和(46)共可得到16個(gè)關(guān)于Ci、Ci′、Di、Di′(i=1,2,3,4)的齊次線性代數(shù)方程組，令系數(shù)行列式之值為零，則可得關(guān)于固有頻率的非線性代數(shù)方程，利用非線性代數(shù)方程的求根法，就可得ω及相應(yīng)的各常數(shù)Ci、Ci′、Di、Di′(i=1～4)的相對比值，再將ω及各相應(yīng)常數(shù)代回式(38)和(39)，即得內(nèi)外筒體的振型函數(shù)。

4 結(jié) 語

(1) 液體對內(nèi)外筒體彎曲自由振動(dòng)的影響，等效于在內(nèi)外筒體上分別附著不同的廣義分布質(zhì)量，因而貯液容器的自由振動(dòng)頻率比無液時(shí)的自振頻率低。

(2) 本文求出的振型函數(shù)及固有頻率的計(jì)算公式是精確的，雖然數(shù)學(xué)形式較為復(fù)雜，但利用計(jì)算機(jī)求解是很方便的。

[1] 居榮初，曾心傳. 彈性結(jié)構(gòu)與液體耦聯(lián)振動(dòng)理論[M]. 北京：地震出版社，1983.

[2] 張悉德. 部分埋入水中懸臂圓柱體的彎曲振動(dòng)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)，1982,3(4):537-546.

[3] 梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方程[M]. 北京：人民教育出版社，1979.