共頂點(diǎn)角問題分類探索

任南英

我們把頂點(diǎn)相同的角稱為共頂點(diǎn)角，與共頂點(diǎn)角有關(guān)的問題一般可分為角的計數(shù)問題、角的大小計算問題、角的邊的位置關(guān)系問題，所涉及的知識點(diǎn)是：角的和差倍分，互補(bǔ)、互余及對頂角等.

一、角的計數(shù)問題

由一個頂點(diǎn)發(fā)出若干條射線就可以組成一組共頂點(diǎn)角，這些角的個數(shù)一般與發(fā)出的射線條數(shù)有關(guān)，因為每兩條射線及它所夾的平面部分就可以組成一個角，由此看來這些角的個數(shù)的計算與共線線段條數(shù)的計算方法一樣(這也是由兩個端點(diǎn)及端點(diǎn)所夾部分的線組成)，若線段上共有n個點(diǎn)(包括它的端點(diǎn))可組成1/(2n)（n-1）條線段，同樣從同一個頂點(diǎn)出發(fā)的n條射線(最大角小于平角)可以組成1/(2n)（n-1）個不同的角.

【例1】 如圖，已知∠AOB內(nèi)，由O點(diǎn)發(fā)出6條射線，共組成不同的角(包括∠AOB)有幾個?

解析：從圖中可看出包括∠AOB的兩條邊OA、OB在內(nèi)圖中共有8條射線，因此由這8條射線即n=8，共可組成不同的角共有1/(2n)（n-1）=1/2×8×(8-1)=28個.

說明：這類問題，得有一個前提最大角不超過180°,且所組成的角也只能是小于180°的角，否則就不行，想一想，為什么?

二、角的大小計算問題

1.角的和差倍分

【例2】 如圖，OC、OD、OE是∠AOB內(nèi)的射線，OD平分∠AOB，OC平分∠BOD，∠DOE=13∠AOB，若∠COE=45°，求∠AOB的度數(shù).

解析：設(shè)∠DOE=x°，則∠AOE=3x°，∠AOD=∠AOE+∠EOD=x°+3x°=4x°

∵OD平分∠AOB，

∴∠BOD=∠AOD=4x°.

又∵OC平分∠BOD，

∴∠COD=12∠BOD=12×4x=2x°,

∠COE=∠COD+∠DOE=2x°+x°=3x°,

由已知得∠COE=45°.

∴3x°=45°.

∴x=15.

又∠AOB=2∠AOD=8x°=8×15°=120°.

說明：一般在共頂點(diǎn)角問題中求角的大小均可采用設(shè)某個角的度數(shù)為未知數(shù)，從而可列出含未知數(shù)的方程來解，許多問題均可直接設(shè)所求角度為未知數(shù)(直接設(shè)法)，而本題卻是間接設(shè)元法.

2.互余問題

【例3】 已知OA⊥OB，OC⊥OD，OE⊥OF，∠AOD=146°，OE平分∠BOC，求∠AOF.

解析：設(shè)∠AOF=x,∵OA⊥OB,∴∠AOF+∠BOF=90°,

又∵OE⊥OF，∴∠FOB+∠BOE=90°，

∴∠BOE=∠AOF=x,

∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2x,

而∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB=360°，

∴146°+90°+2x+90°=360°,

解得x=17°,即∠AOF=17°.

說明：本題主要通過互余關(guān)系求解，當(dāng)然還涉及周角問題；本題是采用直接設(shè)元法.

3.平角及互補(bǔ)問題

【例4】 如圖，ABCD為一張長方形紙片，先找到長方形紙的寬DC的中點(diǎn)E，將∠C過E點(diǎn)折任意一個角，折痕為EF，使EC與EC′重合，再將∠D過點(diǎn)E折起，使DE和D′E重合，折痕為GE.

(1)∠FEC和∠GED′互為余角嗎?為什么?

(2)上述折紙中，C點(diǎn)和D點(diǎn)折起之后，分別落在長方形的C′點(diǎn)和D′點(diǎn).G、C′、D′和F是否在同一直線上?

解析：（1）∠FEC和∠GED′互為余角，由操作知，GE、EF分別是∠DEC′、∠CEC′的平分線.而∠DEC為平角，可知∠GEF=90°.因此，∠FEC和∠GED′互為余角.

（2）（略）.

說明：折疊問題的本質(zhì)是軸對稱，成軸對稱的兩個圖形是全等圖形.

4.對頂角

從例4中我們知道在兩條直線相交所成的所有角中，有兩組對頂角和4組鄰補(bǔ)角.

【例5】 如圖,直線AB與CD相交于O，OB平∠DOF，OE⊥AB，O為垂足，∠1=50°，求∠AOC及∠COF.

解析：∵AB、CD相交于O，∴∠AOC=∠BOD，

又∵OE⊥AB,∴∠1+∠BOD=90°.

∴∠BOD=90°-∠1=90°-50°=40°,

∴∠AOC=40°.

∵OB平分∠DOF，

∴∠DOE=2∠BOD=80°，

∴∠COF=180°-∠DOF=180°-80°=100°.

5.平行線

在平行線的有關(guān)知識中，與共頂點(diǎn)角有關(guān)的知識不是比較多的，當(dāng)然，一般的平行線中的共頂點(diǎn)角問題涉及到的知識點(diǎn)以對頂角居多，但也有一些問題例外，如下例題:

【例6】 如圖，若AB∥CD，則（）.

A.∠1=∠2+∠3

B.∠1=∠3-∠2

C.∠1+∠2+∠3=180°

D.∠1-∠2+∠3=180°

解析：過E作EF∥AB，

∴∠1+∠AEF=180°，又∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，

∴∠3+∠CEF=180°,即∠3+∠2+∠AEF=180°.

∴∠1=∠2+∠3，故選A.

說明：本題看似無共頂點(diǎn)角，但在解題過程中，通過輔助線添加而得到與∠2共頂點(diǎn)的∠AEF，并通過∠AEF的過渡完成解答，得到結(jié)果，當(dāng)然本題也可通過延長BA交CE于一點(diǎn)來求解.