《分解因式》復習指導

喻碧濤

一、重點和難點

1. 重點：正確理解分解因式的概念以及它與整式乘法的區(qū)別、聯(lián)系，能夠熟練地運用提公因式法和公式法把多項式分解因式.

2. 難點：能用類比的思想方法去分析、理解整式乘法與分解因式的關(guān)系，能靈活選擇適當?shù)姆椒▽⒁粋€多項式分解因式.

二、知識精析

1. 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式．分解因式的最終結(jié)果必須是幾

個整式的積的形式.

2. 提公因式法的關(guān)鍵是找出各項的公因式．公因式中的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù)，同一字母或因式的指數(shù)則要取各項中最低的指數(shù).

3. 運用公式法的關(guān)鍵是熟悉每一個公式的特征，如項數(shù)、符號、指數(shù)、系數(shù)等．在多項式?jīng)]有公因式的前提下，兩項式常用平方差公式，三項式常用完全平方公式或公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．若各項有公因式，則先提公因式，再考慮運用公式法.

4. 分解因式與整式乘法是兩個互逆的過程，但不是互逆運算（整式乘法的逆運算是整式除法），它們的關(guān)系可以表示為：

5. 分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止.

6. 分解因式的結(jié)果中，相同因式的積應寫成冪的形式，單項式因式應寫在多項式因式前面.

7. 分解因式的過程是恒等變形的過程，在變形前后，式子的值始終保持不變.

8. 感受并領(lǐng)悟滲透于分解因式過程中的類比、轉(zhuǎn)化、整體代換等思想方法，學會運用配方法和逆向思維法.

三、解題技巧

例1 計算：.

解析：根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點，通過觀察，可巧妙利用分解因式，使運算簡便、快捷.

原式===＝.

例2 已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是.

解析：由題設知a-b=1，b-c=-2，a-c=-1．根據(jù)求值代數(shù)式的特點，可利用完全平方公式分解因式，然后整體代入求值.

由已知可得a-b=1，b-c=-2，a-c=-1，所以，原式=x（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=［（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2］=（1+4+1）=3.

例3 求方程x2-y2+2x-2y=-5的整數(shù)解.

解析：根據(jù)方程特點，可先將其左邊分解為幾個因式的積的形式，而右邊為一個常數(shù)，從而可列出方程組求解.

原方程可變形為：（x+y）（x-y）+2（x-y）=-5，即（x-y）（x+y+2）=-5.由-5=-1×5=1×（-5），可得到以下方程組：x-y=-1，

x+y+2=5；或x-y=5，

x+y+2=-1；或x-y=1，

x+y+2=-5；或x-y=-5，

x+y+2=1．解上述各方程組，得到原方程的整數(shù)解：x1=1，

y1=2；x2=1，

y2=-4；x3=-3，

y3=-4；x4=-3，

y4=2.

例4 證明：四個連續(xù)整數(shù)的積加上1是一個奇數(shù)的平方.

解析：由連續(xù)整數(shù)的特點及乘法的交換律，將多項式利用分解因式變形為完全平方式.

設這四個連續(xù)整數(shù)分別為n-1，n，n+1，n+2（n為整數(shù)），于是有（n-1）n·（n+1）（n+2）+1=［（n-1）（n+2）］［n（n+1）］+1=（n2+n-2）（n2+n）+1=（n2+n）2-2（n2+n）+1=（n2+n-1）2.由于n2+n=n（n+1）是兩個連續(xù)整數(shù)的積，必為偶數(shù)，從而n2+n-1必是一個奇數(shù)，故四個連續(xù)整數(shù)的積加上1是一個奇數(shù)的平方.

例5 已知△ABC的三邊長a、b、c滿足關(guān)系式a2-c2+3ab-3bc=0，試判斷△ABC的形狀.

解析：將已知條件的左邊分解為幾個因式的積，因右邊為0，則左邊必有因式為0，從而得到有關(guān)邊之間的等式.

因a2-c2+3ab-3bc=0，故 （a＋c）（a-c）+3b（a-c）=0，即（a-c）（a+c+3b）=0.又a、b、c為△ABC三條邊的長， 所以a+c+3b＞0.故 a-c=0．所以△ABC是等腰三角形.

四、易錯點直擊

1． 對整式的意義理解不正確而出錯.

例6 分解因式：m2-5m+6.

錯解：原式=m21-

+

.

剖析：結(jié)果雖是積的形式，但1-＋不是整式，故分解因式不正確.

正解：原式=（m-2）（m-3）.

2． 不是恒等變形而出錯.

例7 分解因式：3y2-6xy+3y.

錯解：原式=3y（y-2x）.

剖析：“1”作為系數(shù)通?？梢允÷圆粚懀绻麊为毘梢豁棔r就不能漏掉．上面的錯誤就出在多項式的第三項提取3y后，將“1”省略了.

正解：原式=3y（y-2x+1）.

3． 公因式未提盡而出錯.

例8 分解因式：4m（a-b）3-2mc（b-a）2.

錯解：原式=2m［2（a-b）3-c（b-a）2］.

剖析：中括號內(nèi)仍含有公因式（a-b）2.

正解：原式=2m（a-b）2（2a-2b-c）.

4． 公式應用不正確而出錯.

例9 分解因式：4x2-（x2+1）2.

錯解：原式=（2x+x2+1）（2x-x2-1）=（x+1）2（x-1）2.

剖析：錯誤出在二次三項式2x-x2-1不等于（x-1）2，而應等于-（x-1）2.

正解：原式=（2x+x2+1）（2x-x2-1）=-（x+1）2（x2-2x+1）=-（x+1）2（x-1）2.

5． 分解不徹底而出錯.

例10 分解因式：-m4+16.

錯解：原式=16-m4=（4+m2）（4-m2）.

剖析：4-m2在有理數(shù)范圍內(nèi)還可以再分解.

正解：原式=16－m4＝（4+m2）（4-m2）=（4+m2）（2+m）（2-m）.

6． 分解后的因式不是最簡形式而出錯.

例11 分解因式：m（m-n）3+2m2（m-n）2-2mn（m-n）2.

錯解：原式=m（m-n）2［（m-n）+2m-2n］=m（m-n）2（m-n+2m-2n）．

剖析：提取公因式后，剩下的因式中能進一步合并的沒有合并，或相同的因式?jīng)]有寫成冪的形式.

正解：前面分解方法同上解，得：原式=m（m-n）2（3m-3n）=3m（m-n）2（m-n）=3m（m-n）3.

五、相關(guān)中考題鏈接

1. （臨沂市）把45ab2-20a分解因式的結(jié)果是（）．

A. 5ab（9b-4） B. 5a（9b2-4） C. 5a（3b-2）2 D. 5a（3b+2）（3b-2）

2. （天門市）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形．小明將圖1的陰影部分剪拼成了一個矩形，如圖2所示．這一過程可以驗證（）．

A. a2+b2-2ab=（a-b）2B. a2+b2+2ab=（a+b）2

C. a2-b2=（a+b）（a-b） D. 2a2-3ab+b2=（2a-b）（a-b）

3. （淮安市）如果a+b=2 006，a-b=1，那么a2-b2= .

4. （錦州市）若多項式4a2+M能用平方差公式分解因式，則單項式M= （寫出一個即可）.

5. （福建）已知x2+4x-2=0，那么3x2+12x+2 000的值為 .

6. （北京）分解因式：（1）x5-4xy2；（2）a2-2ab+2b2.

7. （濟南市）請你從下列各式中任選兩式作差，并將得到的式子分解因式：

4a2，（x+y）2，1，9b2.

8. （2006年·安徽）老師在黑板上寫出三個算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27．王華接著又寫了具有同樣規(guī)律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22……

（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式．

（2）試用文字表達上述算式的規(guī)律．

（3）證明這個規(guī)律的正確性.

相關(guān)中考題鏈接參考答案

1. D2. C3. 2 0064. -b2（答案不唯一）5. 2 0066. （1）x（x2+2y）（x2-2y）；（2）（a-2b）2． 7. 答案不唯一，略. 8. （1）略． （2）任意兩個奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).（3）設m、n為整數(shù)，兩個奇數(shù)表示為2m+1和2n+1，則（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）.當m、n同為奇數(shù)或偶數(shù)時，m-n一定為偶數(shù)，所以4（m-n）一定是8的倍數(shù)；當m、n一奇一偶時，則m+n+1一定是偶數(shù)，所以4（m+n+1）一定是8的倍數(shù)．由此可知，上述規(guī)律是正確的.