巧解分式方程

張景梅

解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常是把方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母．但對于某些特殊的分式方程，應(yīng)該采用換元法求解.而對于某些較復(fù)雜的分式方程，若能仔細觀察其特點，靈活使用解題技巧，則能簡捷求解．現(xiàn)舉例說明如下．

一、利用換元法

例1解方程：

2－5

＋6＝0.

解：設(shè)y＝，則原方程可以化為y2－5y＋6＝0，所以

（y-2）（y-3）＝0，y1＝2，y2＝3．

當(dāng)y1＝2時，＝2，解得x1＝2．

當(dāng)y2＝3時，＝3，解得x2＝．

經(jīng)檢驗，x1＝2，x2＝均是原方程的解．

二、利用拆分法

例2 解方程：－＝－．

分析：若直接去分母，將得到一個高次方程，解起來比較困難．當(dāng)分式方程中分式的分子次數(shù)大于或等于分母次數(shù)時，可先把分式化成分子次數(shù)小于分母次數(shù)的真分式，然后去分母求解.

解：原方程可化為1＋－1－＝1＋－1－，

－＝－，

＝，

（x＋1）（x＋3）＝（x＋5）（x＋7）．

解之，得 x＝－4．

經(jīng)檢驗，x＝－4是原方程的解.

例3 解方程：＝．

解：由原方程得－1＝－1．

所以＝，所以x＝0或2x－3＝3x－5．解得x1＝0，x2＝2．

經(jīng)檢驗，x1＝0，x2＝2均是原方程的解．

三、利用分解因式

例4解方程：＋＝．

解：原方程化為

＋＝，

－＋－＝－，

＋＝．

去分母，解得x＝－8．

經(jīng)檢驗，x＝－8是原方程的解.

四、利用添項法

例5 解方程：＋＝＋．

解：注意到每個分式的分子、分母均有可抵消的“數(shù)”，方程兩邊都加上2，得

＋1＋＋1＝＋1＋＋1，

＋＝＋，

－＝－，

＝．

于是得x＝0或（x＋2）（x＋3）＝（x＋4）（x＋5），解得x1＝0，x2＝－．

經(jīng)檢驗，x1＝0，x2＝－是原方程的解.