分式通分策略精講

吳行民

有些分式計算題，若按照課本上介紹的方法來進行通分，往往計算量很大．這時如果能根據(jù)分式的特征，運用一定的解題技巧，?？墒盏绞掳牍Ρ兜男Ч旅婢拖蛲瑢W們介紹幾種有用的通分策略．

一、分組通分

例1 計算：－＋－．

精講：直接通分非常繁瑣．因為（x＋2）（x＋3）和x（x＋5）的運算結(jié)果有兩項相同，故可將第一個和第四個分式分在一組，其余分在另一組，最后通分時會給分子運算帶來較大方便．

解：原式＝[ ][－]＝－

＝－．

二、逐步通分

例2 計算：＋＋＋．

精講：這里的幾個分式的分母很有特點：（1－x）（1＋x）＝1－x2，（1－x2）（1＋x2）＝1－x4，（1－x4）（1＋x4）＝1－x8．顯然，可將前兩個分式運算的結(jié)果與第三個分式再運算，再將結(jié)果與第四個分式運算．這種逐步通分的方法比統(tǒng)一通分的方法要好．

解：原式＝＋＋＝＋＝．

三、拆項通分

例3 計算：＋＋＋．

精講：請觀察下面的運算，從中可找出應用于本題的規(guī)律來！

＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝1－＝．

解：原式＝＋＋＋

＝－＝．

四、整體處理再通分

例4 計算：－a－1．

精講：分式部分的分母與整式部分有著特殊的關(guān)系，即（a－1）（a＋1）＝a2－1．由此可將－a－1看作是分母為1的式子進行通分，這是捷徑．

解：原式＝－＝－＝．

五、約分后再通分

例5 計算：－＋－．

精講：先約去各個分式中分子與分母的公因式，然后再通分（注意合理分組），這樣處理比較方便．

解：原式＝－＋－＝－

＝－＝．

六、提取“公因式”后再通分

例6 計算：＋＋．

精講：給出的三個分式均含有，因此可先提取“公因式”，然后再通分，這是妙法．

解：原式＝＋－＝

＝·＝．

七、和差化積后再通分

例7 已知a＋b＋c＝0，abc≠0，化簡＋＋．

精講：待化簡的式子是關(guān)于a、b、c的輪換對稱式（即用a代替b、b代替c、c代替a后，式子不變），因此對一個分式進行的化簡可類似地應用到另外的分式中．由a＋b＋c＝0，得a＝－（b＋c）．于是b2＋c2－a2＝b2＋c2－（b＋c）2＝－2bc．同理，可得c2＋a2－b2＝－2ac，a2＋b2－c2＝－2ab．代入待化簡的式子，結(jié)果馬上得出．

解： ∵ a＋b＋c＝0， ∴ a＝－（b＋c）．

∴ b2＋c2－a2＝b2＋c2－（b＋c）2＝－2bc．

同理，有c2＋a2－b2＝－2ac，a2＋b2－c2＝－2ab．

∴ 原式＝＋＋＝－＝0．

總之，每道分式運算的題目都有其自身的特殊性，因而，計算時應先琢磨一下，以便發(fā)現(xiàn)最簡捷的方法．