《勾股定理的逆定理》測(cè)試題

陳　周

數(shù)學(xué)的題目一定要做，但學(xué)數(shù)學(xué)并非單單解題.題目太多，不加思考，便沒有意義.題目要想，想完之后還要想怎么改進(jìn).

——李信明（美籍華人數(shù)學(xué)家）

命題人：陳 周

一、填空題

1． 若某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為4、4、4，則此三角形為 三角形.

2． 有下面5組線段（所標(biāo)為線段的長(zhǎng)）：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a>0）；⑤m2-n2，2mn，m2+n2（m、n為正數(shù)，且m>n）.其中可以構(gòu)成直角三角形的有 （填序號(hào)）.

3． 有長(zhǎng)為3 cm、 cm、 cm、9 cm、 cm的五根小木棒，要從中選出三根，構(gòu)成直角三角形，則選出三根小木棒的長(zhǎng)應(yīng)分別為 .

4． 木工師傅做一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，量得做出的桌面的長(zhǎng)為80 cm，寬為60 cm，對(duì)角線的長(zhǎng)為100 cm，則這個(gè)桌面 （填“合格”或“不合格”）.

5． 命題“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題為 .

6． 如圖1所示，D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，則BC的長(zhǎng)為 .

7． 一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12，且三邊長(zhǎng)a、b、c有如下的關(guān)系：c=b-1，b=a-1.這個(gè)三角形的面積為 .

8． 如圖2所示，A、B、C、D是四個(gè)小鎮(zhèn)，除B、C外，它們之間都有筆直的公路相連接.公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價(jià)與路程成正比.已知城鎮(zhèn)間的公共汽車票價(jià)如下：A?B：10元；A?C：12.5元；B?D：6元；C?D：4.5元.為了使B、C之間交通方便，將在B、C之間建成筆直的公路.則按上述標(biāo)準(zhǔn)，B、C之間公共汽車的票價(jià)應(yīng)為 元.

二、選擇題

9． 下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）.

A. 3，4，5B. 5，12，13C. 8，15，17D. 10，15，18

10． 五條線段，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25.現(xiàn)打算將它們拼成兩個(gè)直角三角形.下列拼法中正確的是（）.

11． 如圖3所示，分別以△ABC的三邊AC、BC、AB為直徑作三個(gè)半圓，其面積分別為S1、S2、S3 .如果S1=S2+S3，那么△ABC一定是（）.

A. 銳角三角形 B. 直角三角形

C. 鈍角三角形 D. 以上三種情況都有可能

12． 三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足條件（a+b）2-c2=2ab，則此三角形一定是（）.

A. 銳角三角形 B. 直角三角形

C. 鈍角三角形 D. 以上三種情況都有可能

13． 下列說法中錯(cuò)誤的是（）.

A. △ABC中，若∠B=∠C-∠A，則△ABC是直角三角形

B. △ABC中，若三邊a、b、c滿足a2=（b+c）（b-c），則△ABC是直角三角形

C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，則△ABC是直角三角形

D. △ABC中，若三邊a、b、c滿足a∶b∶c=4∶5∶3，則△ABC是直角三角形

14． 下列命題中逆命題仍然成立的是（）.

A. 對(duì)頂角相等

B. 直角相等

C. 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等

D. 全等三角形面積相等

15． 圖4所示的是一塊農(nóng)家菜地ABCD的平面圖，其中AD=4 m，CD=3 m，AB=13 m，BC=12 m，∠ADC=90°，則這塊地的面積為（）.

A. 24 m2B. 30 m2C. 36 m2D. 42 m2

16． 如圖5所示，小麗和小芳二人同時(shí)從公園出發(fā)去圖書館，速度都是50 m/min.小麗走直線到圖書館用了10 min，小芳先回家拿了錢再去圖書館，小芳到家用了6 min，從家到圖書館用了8 min.則小芳從公園到圖書館拐了個(gè)（）.

A. 銳角B. 直角C. 鈍角D. 不能確定

三、解答題

17． 如圖6，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD=，AC=3，CD=.試說明：AB=CD.

18． 如圖7，已知AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=2，求∠DAB的大小.

19． 已知Rt△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，斜邊上的高為h.試判斷以h，c+h，a+b為三邊長(zhǎng)的三角形的形狀.

20． 甲、乙兩艘救生船從A點(diǎn)出發(fā)，分別以每小時(shí)30海里、40海里的速度在海上進(jìn)行搜救，并且一直沿直線前進(jìn).甲船沿北偏東30°方向前進(jìn)，2 h后，甲船發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，向乙船發(fā)出信號(hào)，這時(shí)，甲、乙兩船相距100海里.試問：此時(shí)乙船在A點(diǎn)的什么方向？

21． 何老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了下表（表1）：

（1）請(qǐng)你找出a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n>1）的代數(shù)式表示 .

（2）探究：以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否為直角三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

22． 如圖8，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC.作∠PBQ=60°，且使BQ=BP，連接CQ.

（1）猜想AP與CQ之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

（2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。