巧用勾股定理解題

黃海東

勾股定理及其逆定理在初中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位.它是幾何和代數(shù)的聯(lián)系紐帶之一.在以后學(xué)習(xí)到的幾何計(jì)算及幾何證明中，常要利用勾股定理列出方程或方程組來解決問題.本文著重對有關(guān)的解題技巧作一些闡述，供讀者參考.

[一、直接應(yīng)用勾股定理]

有些題目固然能直接應(yīng)用勾股定理求出某些線段長或列出等式，但離求解的目標(biāo)還有一定的距離，這時(shí)，往往需要通過與其他數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用才能進(jìn)一步求解.

例1直角三角形一條直角邊的長為11，另外兩條邊的長均為自然數(shù)，則該直角三角形的周長為（）.

A. 121 B. 122C. 132D. 144

分析：本題條件不多，解這類題可利用整數(shù)的性質(zhì)及分解因式，列出方程組進(jìn)行求解.

解：設(shè)斜邊長為c，另一直角邊長為b，則c2-b2=112=121.

故（c-b）（c+b）=121.因b、c均為自然數(shù)，c-b

c+b=121.

所以周長為11+b+c=11+121=132，選C.

評析：本題也可求出b、c，再求周長.讀者不妨思考一下已知的直角邊長為合數(shù)（比如為12）的情形，得到的結(jié)果會有許多種，也比較有趣.

[二、翻折問題中應(yīng)用勾股定理]

在翻折問題中，通常是利用圖形翻折的性質(zhì)（如翻折后有關(guān)線段的長度不變，一些角相等等），由勾股定理列出方程，求出有關(guān)的量.

例2如圖1，將矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交 AD于點(diǎn)E.已知AD=8，AB=4.求△BDE的面積.

分析：利用翻折圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，得到△BDE為等腰三角形，CD=C′D，從而AE=C′E.要求S△BDE，只要求出BE即可.因此設(shè)BE=x，則C′E=8-x，由勾股定理可列出方程，從而使問題得到解決.

解：由題意得C′D=CD=AB=4，C′B=CB=AD=8，∠C′BD=∠CBD=∠ADB.

∴△BDE為等腰三角形，BE=DE.

設(shè)BE=x，則C′E=8-x，DE=x.

在Rt△DEC′中，由勾股定理得（8-x）2+42=x2.

解之得x=5.所以S△BDE=BE·C′D=10.

評析：翻折問題中，總是有不少相等的邊和角，也有全等的三角形.解題時(shí)一定要先找出這些關(guān)系.

例3如圖2，矩形ABCD中，AB=3，BC=9 .將矩形沿EF翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，A點(diǎn)落在A′處.求BF的長.

分析：由圖形翻折的性質(zhì)，得到AE=A′E.設(shè)AE=x，則DE=9-x.在Rt△A′DE中，可用勾股定理列出方程，然后加以解決.

解：由題意得AE=A′E，A′D=AB=3，∠DFE=∠BFE=∠DEF.

∴△DEF為等腰三角形，DE=DF=BF.

設(shè)AE=x，則DE=9-x.在Rt△A′DE中，x2+32=（9-x）2.解之得x=4.

∴BF=DE=9-4=5.

評析：矩形的折疊問題中，通過兩邊平行可得到等腰三角形，如例2中的△BDE和本例中的△DEF.一定要注意這個(gè)特點(diǎn).

[三、構(gòu)造直角三角形應(yīng)用勾股定理]

有些題目中雖然沒有可利用的直角三角形，但探求的結(jié)論與勾股定理的形式相似，可通過條件的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形解決問題.

例4如圖3，在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn).DE、DF分別交AC、BC于E、F，DE⊥DF.求證：AE2+BF2=EF2.

分析：雖然 AE、BF、EF不在同一個(gè)三角形中，但從結(jié)論可以看出，只要把這三條線段集中到某個(gè)直角三角形中，問題即可得到解決.

證明：如圖4，延長ED至P，使DP=ED，連BP，則△ADE≌△BDP（SAS）.AE=BP，∠A=∠DBP.

∵∠A+∠ABC=90°，

∴∠FBP=∠DBP+∠ABC=90°.

連接FP.在Rt△FBP中，BP2+BF2=FP2.故AE2+BF2=FP2.

∵FD為EP的中垂線，∴FP=FE.

∴AE2+BF2=EF2.

評析：當(dāng)問題中有中線或過中點(diǎn)的線段時(shí)，通常會將其延長一倍，以構(gòu)造全等三角形.

練習(xí) 1. 已知直角三角形的兩條邊的長為3和4，求第三條邊的長.

提示：分第三條邊為斜邊和直角邊兩種情況.

2. 如圖5 ，四邊形ABCD中，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°.AB=2，CD=1. 求BC和AD的長.

提示：延長BC、AD交于點(diǎn)E.∠E=30°.AE=2AB=4.同理CE=2CD=2.在Rt△ABE中，BE2=AE2-AB2=12，BE=2；在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=3，DE=.

3. 如圖6，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形.∠ACB=∠DCE=90°.D是AB邊上一點(diǎn).求證：（1）△ACE≌△BCD.（2）AD2+AE2=DE2.

提示：（1）利用SAS.（2）易知∠BAC=45°，又由（1）知∠EAC=∠B=45°.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。