定二次函數(shù)圖象位置，探封閉區(qū)域整點(diǎn)個(gè)數(shù)

1引言

在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，函數(shù)圖象所圍成的封閉區(qū)域整點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)重要的研究方向，尤其是二次函數(shù)與其他常見(jiàn)函數(shù)，如反比例函數(shù)、直線(xiàn)函數(shù)，組合形成的封閉區(qū)域，其整點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定對(duì)于深入理解函數(shù)性質(zhì)和空間幾何關(guān)系具有關(guān)鍵意義.此類(lèi)問(wèn)題在中考等數(shù)學(xué)考試中頻繁出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力要求較高，其解題策略與規(guī)律值得深入探究.

2 例題呈現(xiàn)

例1我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn).若有拋物線(xiàn)"""的圖象所圍成的封閉區(qū)域?yàn)閃（不含邊界），求 W 內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解題指導(dǎo)

本題涉及的兩個(gè)函數(shù)的解析式都已告訴我們，要求我們求封閉區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，最好通過(guò)作圖加以觀(guān)察，且注意圖象要盡量精準(zhǔn)，尤其涉及兩個(gè)圖象的交點(diǎn)處時(shí).

如圖1，分別畫(huà)出拋物線(xiàn) 比例函數(shù) 的圖象，由圖可知，在封閉區(qū)域W內(nèi)（不含邊界）有13個(gè)整點(diǎn)（選區(qū)域內(nèi)為整數(shù)的橫坐標(biāo)，確定縱坐標(biāo)可以取整數(shù)的點(diǎn)）.

分析本題解題的關(guān)鍵在于通過(guò)作圖確定兩圖象位置，注意拋物線(xiàn)可確定的整點(diǎn)有 （2，-8） 、（4，-6） 和 （0，-6） ，同時(shí)為謹(jǐn)慎起見(jiàn)，其中橫坐標(biāo)為5時(shí)，應(yīng)計(jì)算其縱坐標(biāo)與一3的大?。浑S后，再確定反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)的整點(diǎn) （2，-4） 和 （4，-2） 及其橫坐標(biāo)為3時(shí)，縱坐標(biāo)與一3的大小.注意這些點(diǎn)屬于區(qū)域的邊界，取點(diǎn)時(shí)應(yīng)舍掉.

例2在平面直角坐標(biāo)系中，有拋物線(xiàn)（20 y=-x²+3x-2 與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn).

（1）拋物線(xiàn)與直線(xiàn) y=x-4 所圍成的封閉圖形中（不含邊界）有多少個(gè)整點(diǎn)？其中能與 ^A，B 構(gòu)成等腰直角三角形的整點(diǎn)坐標(biāo)有哪些？

（2）將拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新拋物線(xiàn) y^′ ，新拋物線(xiàn) y^′ 與直線(xiàn) y=-4 和反比例函數(shù) 的圖象所圍成的封閉圖形中（不含邊界）有多少個(gè)整點(diǎn)？并寫(xiě)出這些整點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）若存在直線(xiàn) y=kx-2 與拋物線(xiàn)所圍成的 封閉圖形（不含邊界）內(nèi)有5個(gè)整點(diǎn)，求 k 的取值 范圍.

解題指導(dǎo)

（1）本題需要求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成封閉圖形的整點(diǎn)，如圖2，畫(huà)出拋物線(xiàn) y=-x²+3x-2 與直線(xiàn) y=x-4 ，由圖可知，在封閉圖形內(nèi)有 （0，-3） ，（1，-1） ， （1，-2） ， （2，-1） 共4個(gè)整點(diǎn)，其中能與點(diǎn) A，B 構(gòu)成等腰直角三角形的整點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，-1） 和 （2，-1） ·

（2）首先根據(jù)平移性質(zhì)，將新拋物線(xiàn) y^′ 的解析式先求出，再作圖觀(guān)察.

因?yàn)?

所以將拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新拋物線(xiàn)的解析式為 y^′

如圖3，畫(huà)出新拋物線(xiàn) ，直線(xiàn) y=-4 和反比例函數(shù) 的圖象.

由圖可知，新拋物線(xiàn) y^′ 與直線(xiàn) y=-4 和反比例函數(shù) 的圖象所圍成的封閉圖形中（不含邊界）有3個(gè)整點(diǎn)，整點(diǎn)坐標(biāo)分別為 （-2，-2） ，（-2，-3） ， （-1，-3） ·

（3）此題屬于已知整點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解取值范圍，與上述題型又有所區(qū)別.在知道整點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下，我們需要確定一次函數(shù)的定點(diǎn)，再找到經(jīng)過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一次函數(shù)與拋物線(xiàn)所圍成的封閉圖形內(nèi)整點(diǎn)分別為圖4和圖5的情況，也就是找“臨界點(diǎn)”.

由題意知，直線(xiàn) y=kx-2 恒過(guò)點(diǎn) （0，-2） ·

如圖4，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) （3，-3） 時(shí)，此時(shí)拋物線(xiàn)與直線(xiàn) y=kx-2 所圍成的封閉圖形（不含邊界）內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，

將 （3，-3） 代人 y=kx-2 中，得 3k-2=-3 ，解得 =

如圖5，當(dāng)直線(xiàn) y=kx-2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) （2，-3） 時(shí)，此時(shí)拋物線(xiàn)與直線(xiàn) y=kx-2 所圍成的封閉圖形（不含邊界）內(nèi)恰好有5個(gè)整點(diǎn)，

將點(diǎn) （2，-3） 代人 y=kx-2 得 2k-2=-3 ， 解得 2

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與直線(xiàn) y=kx-2 所圍成的封閉圖形（不含邊界）內(nèi)有5個(gè)整點(diǎn)，

所以 k 的取值范圍為

分析對(duì)于此類(lèi)整點(diǎn)問(wèn)題，不論是已知解析式求整點(diǎn)個(gè)數(shù)，還是已知整點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式，作圖確定圖象位置是最簡(jiǎn)單直觀(guān)的方法.作圖時(shí)一定要準(zhǔn)確，精確每個(gè)橫坐標(biāo)為整點(diǎn)時(shí)其對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的位置，若縱坐標(biāo)不是整點(diǎn)，也要體現(xiàn)出其所在的準(zhǔn)確的區(qū)間，如果做到這一點(diǎn)，做題的準(zhǔn)確率會(huì)大大提高.同時(shí)，對(duì)于題干的要求也要注意，看好題目中包不包含邊界、劃不劃等、有沒(méi)有限制象限等，堅(jiān)決不在這些細(xì)節(jié)問(wèn)題上丟分.

3結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)上述二次函數(shù)與其他函數(shù)圍成封閉區(qū)域整點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究，我們明確了解題的關(guān)鍵在于精準(zhǔn)繪制函數(shù)圖象，并細(xì)致分析圖象交點(diǎn)及邊界附近的特殊點(diǎn).這些問(wèn)題不僅是為了考查同學(xué)對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握程度，還在于提升大家在平面直角坐標(biāo)系中處理幾何與代數(shù)綜合問(wèn)題的能力.在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，對(duì)于類(lèi)似的函數(shù)綜合問(wèn)題，可借鑒本文的解題思路與方法，進(jìn)一步拓展數(shù)學(xué)思維，探索更復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系與幾何圖形組合問(wèn)題的解決方案，不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題技巧.