與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的綜合性問(wèn)題解題策略探究

1引言

與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的綜合題是中考的重要問(wèn)題，該類問(wèn)題涉及了動(dòng)態(tài)變化，解析過(guò)程較為復(fù)雜，對(duì)學(xué)生而言存在一定的難度，解題時(shí)常沒有頭緒，無(wú)從下手.這類問(wèn)題的實(shí)際解答需要轉(zhuǎn)化動(dòng)點(diǎn)條件，把握臨界點(diǎn)，再結(jié)合線段來(lái)構(gòu)建分段函數(shù).因此需對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行拆解，生成解題思路

2 思路講解

與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的綜合題，教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生拆解過(guò)程，建議拆解為五個(gè)階段：審題 -找臨界點(diǎn)-繪制過(guò)程圖 -求線段推導(dǎo)函數(shù)- 求分段函數(shù).同時(shí)細(xì)化每個(gè)階段的解題重點(diǎn)、指導(dǎo)方法和注意事項(xiàng)，具體如下：

階段1 審題，整合題目信息

該階段指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行讀題審題，整合題目信息，可將關(guān)鍵信息標(biāo)記在圖上，重點(diǎn)關(guān)注動(dòng)點(diǎn)的三大要素：

（1）運(yùn)動(dòng)元素，包括點(diǎn)、線段和圖形；

（2）動(dòng)點(diǎn)起始位置，注意判斷是否與定點(diǎn)重合；

（3）運(yùn)動(dòng)的方向和速度，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式.

階段2 找臨界點(diǎn)

該階段需指導(dǎo)學(xué)生找出運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)，并繪制對(duì)應(yīng)的臨界圖，需要使學(xué)生明晰找臨界點(diǎn)的作用和判斷的依據(jù).

（1）作用

① 找出臨界點(diǎn)，便于后續(xù)找出臨界值；② 根據(jù)臨界值求出相似比，或根據(jù)臨界值求解

三角函數(shù)值.

（2）判斷臨界點(diǎn)的依據(jù)

① 可繪制函數(shù)圖象，提取函數(shù)圖中的特殊點(diǎn)，此特殊點(diǎn)有可能為臨界點(diǎn)；

② 也可繪制幾何圖形，提取圖象中與運(yùn)動(dòng)相關(guān)的點(diǎn)線交叉點(diǎn)，交叉的固定點(diǎn)線可能為運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài).

階段3 繪制過(guò)程圖

該階段指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)臨界點(diǎn)來(lái)繪制臨界圖，便于后續(xù)分類討論，注意需分別繪制臨界圖，不建議將圖合在一起.

階段4求線段，推導(dǎo)函數(shù)

該階段需要指導(dǎo)學(xué)生將動(dòng)態(tài)條件用數(shù)式表示，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)公式來(lái)表示線段，進(jìn)而推導(dǎo)出函數(shù)解析式，教學(xué)中建議重點(diǎn)指導(dǎo)面積和邊長(zhǎng)的推導(dǎo)方法.

（1）求面積

① 規(guī)則圖形，可以直接使用對(duì)應(yīng)的面積公式，如平行四邊形、矩形和正方形；② 不規(guī)則圖形，采用割補(bǔ)法，構(gòu)建 S= 大圖形面積—小圖形面積.

（2）求邊長(zhǎng)

即求線段長(zhǎng)，常用的公式定理方法有三角函數(shù)、相似性質(zhì)、勾股定理、等量代換法等.

階段5 求分段函數(shù)

該階段為整合匯總，指導(dǎo)學(xué)生整合函數(shù)解析式，構(gòu)建為分段函數(shù)，并明確分段函數(shù)的自變量取值范圍，最后得出結(jié)論.

3解題指導(dǎo)

上述總結(jié)了與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的綜合題的解題思路，將過(guò)程拆解為了五個(gè)階段，學(xué)生后續(xù)解題只需根據(jù)分階段重點(diǎn)內(nèi)容逐一梳理即可.具體教學(xué)中建議結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化解題思路策略.

例題如圖1所示，四邊形 ABCD 為矩形， AB 和BC的長(zhǎng)分別為2和 .現(xiàn)對(duì)矩形進(jìn)行裁剪處理，沿著對(duì)角線 AC 剪切開，再進(jìn)行如下兩個(gè)操作，回答相應(yīng)問(wèn)題.

（1）對(duì)得到的 ΔACD 進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理，繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 ΔA^′CD^′ ，旋轉(zhuǎn)角度為 90^° ，繪制出旋轉(zhuǎn)后的 ΔA^′CD^′ ，連接 AA^′ 并求其長(zhǎng)度；

（2）在（1）條件下進(jìn)一步平移操作，平移過(guò)程如下： ΔA^′CD^′ 沿 CB 方向向左平移，平移長(zhǎng)度為 t（0） ，平移后的圖形與 ΔABC 有重疊部分，設(shè)重疊部分的面積為 S ，求 s 與 Ψ_tΨ_t 的函數(shù)關(guān)系式以及對(duì)應(yīng)的 Ψ_tΨ_Ψ 取值范圍.

解題分析本題目主要考查作圖與旋轉(zhuǎn)、平移變換，求解分段函數(shù)需要采用數(shù)形結(jié)合、分類討論的解法策略，第（2）問(wèn)為核心之問(wèn)，后續(xù)解題中建議參考上述總結(jié)的思路方法，逐步拆解，分別構(gòu)建.

過(guò)程構(gòu)建 （1）根據(jù)題設(shè)條件，繪制圖象，見 圖2.

在 RtΔABC 中，有 ∠B=90^°，AB=2，BC= ，可得 （204號(hào) ，可求得 ∠ACB= 30^°，AC=2AB=4

又知 CA=CA^′=4 ∠ACA^′=90^° ，可求得 AA^′ ：

（2）分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可分為兩種情形，下面分別進(jìn)行討論.

① 如圖 3-（a） 所示，當(dāng) 0′M ，已知 CC^′=t ∠ACB=30^° ∠A^′C^′D^′=60^° 可推得 ∠CMC^′=90^° 所以 0 結(jié)合三角形的面積公式可求得

② 如圖 3-（b） 所示，當(dāng) 時(shí)，重疊部分是四邊形 MNC^′D^′ ，采用面積割補(bǔ)法求解面積，結(jié)合上述 ① 求得的線段長(zhǎng)，

可得 S=S_ΔCNC^′-S_ΔCMD^′ 綜上所述，可知

解后總結(jié)上述第（2）問(wèn)求解與面積相關(guān)的函數(shù)關(guān)系時(shí)，利用臨界點(diǎn)分為兩種情形，分別直接使用面積公式和面積割補(bǔ)方法來(lái)求解.整個(gè)過(guò)程中結(jié)合運(yùn)動(dòng)公式，將動(dòng)態(tài)條件轉(zhuǎn)化為線段條件，后續(xù)結(jié)合面積公式來(lái)推導(dǎo)面積函數(shù).

4結(jié)語(yǔ)

與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的綜合性問(wèn)題探究，建議參考上述梳理的流程，把握問(wèn)題重難點(diǎn)，詳細(xì)講解解題思路和方法，并結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用強(qiáng)化.該類問(wèn)題的破解過(guò)程會(huì)涉及大量的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中建議合理滲透數(shù)學(xué)思想，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).