線性代數(shù)微課設計

摘 要：微課程的核心理念在于對單一知識點進行精心設計的教學過程，通過簡潔且高效的內容展示，學習者能夠迅速掌握并理解。鑒于線性代數(shù)學科所具有的復雜性及其理解上的挑戰(zhàn)性，本文選取了“矩陣乘法”這一微課程的設計作為案例研究對象。通過詳細闡述其理論基礎和具體的設計策略，本文深入探討了“如何設計線性代數(shù)微課程”這一問題。本文的目標是通過易于理解的方式向學習者展示相關內容，以期達到最佳的教學效果。將通過精心設計的教學流程，如何將復雜的線性代數(shù)概念轉化為易于理解的知識點，進而協(xié)助學習者更有效地掌握并應用矩陣乘法的相關知識。

關鍵詞：線性代數(shù)；微課設計；矩陣乘法；課程思政

1 概述

作為數(shù)學領域的一個關鍵分支，線性代數(shù)在理論物理學、工程技術和眾多學科中扮演著不可或缺的角色。特別是在當今計算機技術普及的時代，像計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學以及虛擬現(xiàn)實等前沿技術，都以線性代數(shù)作為其理論和算法的核心［1］。因此，深入理解線性代數(shù)的核心概念和方法論顯得尤為關鍵。線性代數(shù)主要探討向量空間和線性變換，其研究手段主要基于矩陣及其運算。其研究結構可以總結為：“以空間為核心，以矩陣為手段”［2］。這門學科的特色在于代數(shù)與幾何的結合、概念的抽象、應用的普遍以及理論的思考［3］。

與其他大學數(shù)學課程相比，線性代數(shù)的基礎知識和理論體系更加抽象，這給教育者帶來了不小的挑戰(zhàn)。幸運的是，微課程設計理念的興起，為線性代數(shù)的教學帶來了新的視角和策略?；谖⒄n程理念，通過深入剖析線性代數(shù)的核心概念及其本質屬性，課程內容以“精練且全面、簡潔而精確”的原則呈現(xiàn)，旨在使學習者在最短時間內掌握一個“數(shù)學敘事”。通過精心設計的教學策略，使得知識點更加明晰，進而營造出一個“淺顯易懂、趣味盎然”的數(shù)學教學氛圍［2］。

矩陣乘法作為線性代數(shù)中最基本的運算之一，與矩陣加法、數(shù)乘等構成了矩陣代數(shù)的基礎，是研究矩陣特征值和特征向量的必經(jīng)之路，是線性代數(shù)教學的重點［4］。學生普遍覺得矩陣乘法的概念抽象，難以理解。本文擬采用高階思維過程的理論框架，構建“矩陣乘法”微課程的教學設計，旨在通過“課程思政”的創(chuàng)新方法，增強學生在課堂上的參與度，進而激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣。

2 “矩陣乘法”的微課設計

首先，通過視頻觀看的方式引入Hill加密，激發(fā)學生對本節(jié)課內容的興趣，通過計算線性變換的復合，引導學生獲得矩陣乘法的“直觀定義”，進而過渡到“嚴格定義”。其次，教師通過詳盡的分析與例題講解，運用幾何直觀的策略，輔助學生深入理解矩陣乘法的性質。最后，與開篇相呼應，對Hill加密的原理進行深入闡釋，使學生能夠熟練掌握矩陣乘法的定義及其性質。同時，融入課程思政元素，激發(fā)學生的愛國情感。

2.1 問題導入

播放視頻片段，教師講解到：在視頻中，解密者正緊張地進行著密碼破譯工作。密碼本質上是通信雙方的一種秘密約定，旨在防止信息被第三方截獲，并隱藏信息的原始形態(tài)，通過生成一組具有隨機性的特定符號來實現(xiàn)。這種符號組合是明文與密文轉換過程中的核心保密機制。加密算法有很多種，今天將重點介紹Hill加密，該加密方法在密碼學史上占據(jù)著舉足輕重的地位。Hill加密的核心算法——矩陣乘法，是我們今天要學習的內容。

2.2 矩陣乘法的定義

教師帶領學生復習上一節(jié)課學習的內容?；仡櫨仃嚨母拍睿仃嚨募臃?、數(shù)乘、轉置，幾類特殊的線性變換，包括恒等變換、對稱變換、旋轉變換、投影變換等，以及線性變換與矩陣之間具有的一一對應關系。

矩陣乘法的本質是線性變換的復合。首先，給出兩個線性變換，一個由變量x1，x2到變量y1，y2，系數(shù)矩陣記作B，線性變換記作：

TB：y1=b11x1+b12x2y2=b21x1+b22x2

另一個由變量y1，y2到變量z1，z2，系數(shù)矩陣記作A，線性變換記作：

TA：z1=a11y1+a12y2z2=a21y1+a22y2

此時，教師引導學生將上述兩個線性變換進行復合，把y1，y2代入z1，z2可得到從x1，x2到z1，z2的線性變換：

z1=（a11b11+a12b21）x1+（a11b12+a12b22）x2

z2=（a21b11+a22b21）x1+（a21b12+a22b22）x2

上述線性變換的系數(shù)矩陣記作C，線性變換記作TC，TC是TA和TB的復合。此時，把矩陣C定義為矩陣A和B的乘積，是非常自然且合理的。即：C=AB。接下來，教師引導學生觀察矩陣A、B和C三者之間的關系。矩陣C中的元素都是乘積之和的形式，具體來講，是矩陣A的行與矩陣B的列對應元素相乘再相加。通過改變矩陣A的行數(shù)及矩陣B的列數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)計算所得的矩陣C與矩陣A的行數(shù)相等，與矩陣B的列數(shù)相等。通過分析，使學生們理解矩陣相乘的直觀定義。進一步，教師給出矩陣乘法的嚴格定義。

定義1［5］設A=（aij）是一個m×s矩陣，B=（bij）是一個s×n矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個m×n矩陣C=（cij），即C=AB，其中cij=∑sk=1aikbkj。

2.3 矩陣乘法的性質

矩陣乘法具有一系列獨特的性質。在探討這些性質時，自然會聯(lián)想到數(shù)乘所滿足的基本定律，如交換律、結合律、分配率和消去律。然而，對于矩陣乘法而言，這些性質并非全部適用。

首先，矩陣乘法不滿足交換律。即對于任意兩個矩陣A和B，一般而言，AB的結果并不等于BA。這一點與數(shù)乘的交換律存在本質區(qū)別。依據(jù)定義1，當矩陣A的行數(shù)與矩陣B的列數(shù)不相等時，矩陣位置的交換將導致兩個矩陣無法進行乘法運算。即便矩陣A的行數(shù)與矩陣B的列數(shù)相匹配，此時雖然可以進行矩陣乘法，但交換后的乘積結果與原結果通常也不相同。通過以下示例，可以直觀地驗證這一結論。

例1.A=100-1，B=0-110，計算AB和BA。

解：通過矩陣乘法的定義計算得到：

AB=10010-110=0-110，

BA=0-110100-1=0110。

根據(jù)計算結果，我們可以得出結論，即矩陣乘法一般不滿足交換律。這一特性與數(shù)乘存在顯著區(qū)別。接下來，我們將從幾何直觀的角度進行闡釋。在例1中，矩陣A所描述的線性變換為關于x軸的對稱變換；矩陣B則是關于原點進行逆時針旋轉90°的旋轉變換。在二維平面上任意選定一個三角形，對于該三角形內的所有點實施線性變換AB，指將三角形先繞原點逆時針旋轉90°，再關于x軸做對稱變換，變換后的三角形位置見圖1。

若對于該三角形內的所有點實施線性變換BA，指先將三角形關于x軸做對稱變換，再繞原點逆時針旋轉90°，變換后的三角形位置見圖2。

通過觀察圖1和圖2中三角形的位置，我們發(fā)現(xiàn)：對三角形施行的線性變換順序不同，三角形的最終位置也不同。鑒于線性變換的復合運算不滿足交換率，變換的先后順序會對最終結果產(chǎn)生影響，所以矩陣的乘法運算通常也不滿足交換律。因此，在矩陣運算中，存在“左乘矩陣”與“右乘矩陣”的概念，用以明確矩陣乘法的執(zhí)行方向。

此外，線性變換的復合滿足結合律與分配律，這一性質在矩陣乘法中同樣得以保留。具體而言，矩陣乘法滿足結合律，即多個矩陣相乘時，乘法的順序可以重新組合而不影響最終結果，表示為：（AB）C=A（BC）。此外，根據(jù)矩陣乘法的定義，可知矩陣乘法滿足分配律，包括左分配律與右分配律，分別表示為：A（B+C）=AB+AC和（A+B）C=AC+BC。這些性質是矩陣運算中的重要法則，對于理解和應用矩陣乘法具有重要意義。

下面，通過舉例說明矩陣乘法一般不滿足消去律。

例2.A=1000，B=0001，計算AB。

解：AB=10000001=0000

利用矩陣乘法的定義，快速計算出AB=0，此時矩陣A和矩陣B都不是零矩陣。因此矩陣乘法不滿足消去律，即：AB=0，不能推出A，B至少有一個為零矩陣。

基于前述示例的計算分析，可以歸納出矩陣乘法具備以下性質：（1）不滿足交換律，即一般來說AB≠BA；（2）滿足結合律：（AB）C=A（BC）；（3）滿足分配率：A（B+C）=AB+AC（左分配律），（A+B）C=AC+BC（右分配律）；（4）AB=0不能推出A=0或B=0。

2.4 矩陣乘法的應用

通過運用矩陣乘法的定義，可以將線性變換巧妙地轉換成一個簡潔的矩陣形式。具體來說，例如：

y1=a11x1+a12x2+…+a1nxn

y2=a21x1+a22x2+…+a2nxn

… … …

ym=am1x1+am2x2+…+amnxn

這是一個n元線性方程組。我們可以將這些方程中的系數(shù)和變量分別寫成矩陣和向量的形式。首先，將等號左側的變量記為列向量y，將系數(shù)矩陣記作A，等號右側的自變量記為列向量x。則原來的線性變換可以寫成y=Ax。通過這種方式，原本復雜的線性方程組也可以被簡化為一個簡潔的矩陣方程，便于進行進一步的數(shù)學處理和計算。

在歷史上占據(jù)重要地位的Hill加密算法的核心原理，即為我們今天所學習的矩陣乘法理論。Hill加密算法是一種經(jīng)典的對稱密鑰加密方法，由數(shù)學家Lester S.Hill在1929年提出。該算法的核心思想是利用線性代數(shù)中的矩陣乘法來實現(xiàn)加密和解密過程。具體來說，Hill加密算法通過將明文分組，并將每個分組轉換為一個向量，然后將這些向量與一個預先設定的密鑰矩陣進行乘法運算，從而得到密文。解密過程則是通過將密文向量與密鑰矩陣的逆矩陣進行乘法運算來實現(xiàn)的。Hill加密算法的優(yōu)點在于其結構簡單、易于實現(xiàn)，但其安全性相對較低，容易受到已知明文攻擊和選擇明文攻擊的威脅。盡管如此，Hill加密算法在密碼學的發(fā)展史上仍然具有重要的地位，因為它奠定了矩陣乘法在加密算法中的基礎應用，為后續(xù)更復雜的加密算法提供了理論基礎［6］。

2.5 課程思政

視頻片段中講述了一名密碼學工作者的故事，為保衛(wèi)國家安全做出巨大貢獻。“沒有網(wǎng)絡安全就沒有國家安全，就沒有經(jīng)濟社會穩(wěn)定運行，廣大人民群眾利益也難以得到保障?！边@一重要論述深刻揭示了網(wǎng)絡安全與國家安全、經(jīng)濟社會穩(wěn)定以及人民群眾利益之間的緊密聯(lián)系［7］。基于這些重要思想，進一步深化和拓展課程思政教學，引導和激勵廣大學生將所學知識與實際應用相結合，真正做到學以致用。提醒學生們要牢記自己的初心和使命，始終保持對黨和人民事業(yè)的忠誠與熱愛。通過這樣的教育和引導，希望學生們能夠積極投身于實現(xiàn)中華民族偉大復興的中國夢的偉大實踐中，為祖國的繁榮昌盛貢獻出自己的一份力量，不懈奮斗，勇往直前。

結語

在進行線性代數(shù)教學的過程中，微課程的引入并非旨在替代傳統(tǒng)課堂的教學模式，而是作為教學輔助手段的一種補充。通過實施預習、課堂互動及課后復習的混合式教學策略，有效緩解了傳統(tǒng)課堂教學所面臨的諸多問題。教師需依據(jù)課程內容的特定需求，合理采納微課程教學法，以促進教學過程的有機整合，提高教學效率。此策略不僅為高等教育注入了新的活力，而且在教學實踐中實現(xiàn)了效率的顯著提升。然而，在眾多課程的教學實踐中，我們不可避免地會遭遇一系列挑戰(zhàn)與難題。這要求一線教師及教育工作者持續(xù)進行教學實踐與方法的優(yōu)化，確保微課程能夠深度融入教學體系，進一步促進高等教育改革的進程［8］。

參考文獻：

［1］王發(fā)興，鄭瑩.淺談線性代數(shù)微課設計：以向量組的最大無關組與秩為例［J］.大學數(shù)學，2020，36（02）：7781.

［2］李尚志.線性代數(shù)教學改革漫談［J］.教育與現(xiàn)代化，2004（01）：3033.

［3］鄔學軍，唐明.線性代數(shù)是藍色的：大學非數(shù)學專業(yè)《線性代數(shù)》的課程設計［J］.大學數(shù)學，2008，24（06）：1216.

［4］段中雨，孔彥玲.線性代數(shù)教學的探索與實踐［J］.科技風，2023（08）：4345.

［5］工程數(shù)學線性代數(shù)［M］.7版.上海：同濟大學數(shù)學科學學院，2022.

［6］孫兵，劉國強，海昕.線性代數(shù)教學中的希爾密碼案例設計［J］.大學數(shù)學，2023，39（01）：102106.

［7］斯偉.習近平網(wǎng)絡空間治理重要論述研究［D］.南京：南京郵電大學，2023.

［8］韓嬋，馬婷，張彥.微課在線性代數(shù)教學中的應用［J］.學周刊，2019（25）：1112.

基金項目：中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金，中國人民公安大學科研基金（No.2024JKF02ZK08）

作者簡介：韓妍妍（1994— ），女，漢族，河南洛陽人，理學博士，講師，從事調和分析、數(shù)學教學方法等研究。