直齒錐齒輪齒面建模及強(qiáng)度對(duì)比研究

中圖分類號(hào)：TH132 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.005

0 引言

直齒錐齒輪被廣泛應(yīng)用于相交軸之間的動(dòng)力傳遞，如航空、航天、汽車等精密傳動(dòng)中。現(xiàn)有的直齒錐齒輪齒面主要有球面漸開線和8字嚙合漸開線，均可由冠狀產(chǎn)形輪展成，區(qū)別在于產(chǎn)形輪的齒面，前者是球面漸開線，后者是平面。因此，平面冠狀產(chǎn)形輪所展成的8字嚙合錐齒輪具有加工刀具廓形簡(jiǎn)單、刃磨容易、精度高等優(yōu)點(diǎn)，有利于提高加工效率、降低加工成本。FIGLIOLINI等[1-2提出了一種適用于球面漸開線和8字嚙合漸開線的公式及實(shí)現(xiàn)算法，并將Camus定理應(yīng)用于空間相交軸的8字嚙合錐齒輪上。FUENTES-AZNAR等研究了由冠狀產(chǎn)形輪展成的球面漸開線和8字嚙合漸開線錐齒輪的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)建模。PARK等4闡述了球面漸開線齒輪的幾何特征和運(yùn)動(dòng)特性，推導(dǎo)了一種球面漸開線函數(shù)來有效表示齒廓，并利用嚙合方程開發(fā)了一種通用的基本齒條來生成球面漸開線齒輪。LIGATA等[5]給出了鍛造球面漸開線直齒錐齒輪中的實(shí)際應(yīng)用，并對(duì)修形齒面的齒面印痕進(jìn)行了預(yù)測(cè)和驗(yàn)證。GARCIA-GARCIA等提出了一種漸開線錐齒輪的幾何設(shè)計(jì)和快速制造方法。FIGLIOLINI等提出了Ca-mus定理在直齒和斜齒輪齒接觸輪廓綜合中的應(yīng)用，采用平面或相應(yīng)的球面對(duì)數(shù)螺線作為輔助中心線，可獲得漸開線直齒和錐齒輪的輪廓。丁撼等8利用球面漸開線齒面形成理論，快速精確地求解邊界曲線和齒廓曲線族，并結(jié)合3次NURBS曲線曲面造型技術(shù)在CAD/CAM中的優(yōu)勢(shì)，完成球面漸開線齒面的精確擬合。CHANG等9-通過分析雙刨刀的創(chuàng)成加工原理，建立了8字嚙合齒廓的直齒錐齒輪數(shù)學(xué)模型。程會(huì)民等推導(dǎo)了圓錐齒輪的漸開線齒面方程，解決了齒面方程計(jì)算過程煩瑣的問題。張展[2詳細(xì)闡述了8字嚙合錐齒輪傳動(dòng)的齒面創(chuàng)成原理，并進(jìn)行了詳細(xì)的計(jì)算推導(dǎo)。林菁[13通過計(jì)算直齒錐齒輪的法線長(zhǎng)度及曲面法矢的方向角，得到了齒面的曲線等式，提出了一種直齒錐齒輪齒面設(shè)計(jì)的新方法。

綜上所述，現(xiàn)有的研究多集中在齒面方程和齒面建模上，對(duì)齒根過渡曲面及強(qiáng)度進(jìn)行對(duì)比分析的較少。本文推導(dǎo)了球面漸開線和8字嚙合錐齒輪的工作齒面模型，借助Hermite插值法獲得兩者的齒根過渡曲面；通過齒面接觸分析、Ease-off法和有限元分析，對(duì)比了兩種錐齒輪的齒面印痕、齒面偏差、齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力，為直齒錐齒輪設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

1球面漸開線數(shù)學(xué)模型

1. 1 球面漸開線

將平面漸開線在三維空間中進(jìn)行延伸拓展就得到球面漸開線。圖1為球面漸開線輪廓的形成示意圖。圖1中，坐標(biāo)系 S₀ 位于圓平面 π 中，圓心 O₀ 與圓C 圓心及球心重合，在圓 C 上取一點(diǎn) P ， z₀ 過點(diǎn) P ， y₀ 垂直于圓平面 π ， x₀ 垂直于平面 坐標(biāo)系 S₃ 定義在基錐上， z₃ 與基錐軸線重合， y₃ 是 在垂直于 z₃ 并經(jīng)過 O₃ 平面上的投影， x₃ 垂直于平面 y₃O₃z₃ 。坐標(biāo)系 S_ν 用于定義圓平面 π 的滾動(dòng)角 φ ，坐標(biāo)系 S₂ 定義了基錐角 γ_b ，兩者均為輔助坐標(biāo)系。當(dāng)圓平面 π 繞基錐做純滾動(dòng)時(shí)， P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為球面漸開線，則有φ=sinγ_bψ 。式中， ψ 為漸開線的滾動(dòng)角。

在 S₀ 坐標(biāo)系中， P 點(diǎn)的位置矢量表示為 r₀^（P）=[0 0 r₀ 1J^r ，經(jīng)過從 S₀ 到 S₃ 的坐標(biāo)變換后，得到的球面漸開線的位置矢量為

r₃^（P）（ψ，φ）=M₃₂（ψ）M₂₁M₁₀（φ）r₀^（P）

式中，矩陣 M₃₂ 、 M₂₁ 和 M₁₀ 分別為從 S_ν2 到 S₃， S_ν 到 S₂ 和 S₀ 到 S₁ 的齊次變換矩陣。同理，可求得另一側(cè)齒面的表達(dá)式。在坐標(biāo)系 S₀ 中，點(diǎn) P 的單位法向量和單位切向量分別為 n₀=[1 0OJT和 t₀=[0 1 0]^r ，其在基錐坐標(biāo)系 S₃ 中的表示分別為

n₃^（P）（ψ，φ）=L₃₂（ψ）L₂₁L₁₀（φ）n₀^（P）

t₃^?（P）（ψ，φ）=L₃₂（ψ）L₂₁L₁₀（φ）t₀^?（P）

式中，矩陣 L 為矩陣 M 消除最后一行和最后一列的3×3 的子矩陣。

1. 2 齒根過渡曲面

完整的齒面包括工作齒面和過渡曲面，球面漸開線錐齒輪的過渡曲面無法用上述方法求得。本文采用Hermite插值法近似構(gòu)建齒根過渡曲面。Hermite曲線由工作齒面 P₀ 和齒根面 P₁ 以及對(duì)應(yīng)的切向矢量T₀ 和 T₁ 定義，如圖2所示。

Hermite曲線的函數(shù)為

r（t）=（2t³-3t²+1）P₀+（-2t³+3t²）P₁+

式中， χ_t 為Hermite曲線參數(shù)； s 為節(jié)錐頂點(diǎn)到齒根的距離； A₀ 為外錐距離； 分別為 T₀ 和 T_?1 的設(shè)計(jì)值，該值越大表示該點(diǎn)對(duì)曲線拉得越緊，越小表示拉得越松。

2平面冠狀產(chǎn)形輪創(chuàng)成8字嚙合錐齒輪齒面

2.1冠狀產(chǎn)形輪參數(shù)

冠狀產(chǎn)形輪是一種節(jié)錐角為 90^° 的特殊錐齒輪。將冠狀產(chǎn)形輪作為假想刀具創(chuàng)成直齒錐齒輪齒面時(shí)，其原理類似于齒條和圓柱齒輪的嚙合。圖3為冠狀產(chǎn)形輪創(chuàng)成直齒錐齒輪的示意圖。其中，冠狀產(chǎn)形輪和直齒錐齒輪之間的軸交角 Σ=90^°+γ₁ ， γ_?1 為被加工齒輪的節(jié)錐角。冠狀產(chǎn)形輪齒數(shù) N_eg=N₁/sinγ₁ ， N_?1 為小輪齒數(shù)。

冠狀產(chǎn)形輪基錐角 γ_b=90^°-α 。其中， α 為齒輪副的壓力角。如圖4所示，圓錐或平面上的輪齒齒厚t_p=180^°/N_eg^°

冠狀產(chǎn)形輪的方位角和節(jié)錐極角分別為

式中， γ_p 為齒輪副的節(jié)錐角。

2.2 齒面創(chuàng)成

在圓 c 附近，球面漸開線齒廓和平面輪廓非常接近。用球面漸開線冠狀產(chǎn)形輪展成球面漸開線直齒錐齒輪，而用平面冠狀產(chǎn)形輪展成8字嚙合錐齒輪。圖5所示為生成8字嚙合錐齒輪的冠狀產(chǎn)形輪坐標(biāo)系。在球面外圓上過坐標(biāo)軸 z₀ 取一點(diǎn) P ，坐標(biāo)軸 x₀ 垂直于創(chuàng)成面，在 S₀ 中 P 點(diǎn)的位矢已知，將 P 點(diǎn)的位矢從坐標(biāo)系 S₀ 變換到坐標(biāo)系 S₃ 中，求得的8字嚙合錐齒輪的冠狀產(chǎn)形輪齒面為

r₃^（P）（ρ，φ）=M₃₂^′M₂₁^′M₁₀^′（φ）r₀^（P）（ρ）

冠狀產(chǎn)形輪的齒面表示為

r_eg（ρ，φ）=M₄₃^（rs）M₃₂M₂₁M₁₀（φ）r₀^（P）（ρ）

化簡(jiǎn)后，創(chuàng)成8字嚙合錐齒輪的冠狀產(chǎn)形輪齒面的表達(dá)式為

式中，正、負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)冠狀產(chǎn)形輪的左、右齒面；φ 為冠狀產(chǎn)形輪的角度參數(shù)。

圖6所示為用冠狀產(chǎn)形輪創(chuàng)成直齒錐齒輪的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系 S_cg 和 S_i 分別為冠狀產(chǎn)形輪的動(dòng)坐標(biāo)系和被加工的錐齒輪的動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)系 S_j?j S_k 和 S_ι 均為輔助坐標(biāo)系， γ_i 為被加工齒輪的節(jié)錐角。

在坐標(biāo)系 S_i 中，直齒錐齒輪齒面為冠狀產(chǎn)形輪齒面族的包絡(luò)線，則小輪 （i=1） 和大輪 （i=2 的工作齒面方程為

r_i（ρ，φ，ψ_i）=M_il（ψ_i）M_lkM_kjM_jcg[ψ_cg（ψ_i）]r_cg（ρ，φ） （9）式中， ψ_cg 和 ψ_i 分別為冠狀產(chǎn)形輪和被加工錐齒輪的旋轉(zhuǎn)角，并且 ψ_cg（ψ_i）=N_i/N_cg ， N_i 為被加工齒輪齒數(shù)。嚙合方程為

同理，可用Hermite插值方法生成8字嚙合直齒錐齒輪的過渡曲面模型。

3算例

表1所示為直齒錐齒輪副的基本參數(shù)。根據(jù)球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪齒面的位矢差向球面漸開線錐齒輪的法矢投影，獲得齒面偏差圖，如圖7所示。在齒頂處，齒面偏差在 -3.5μm 到-1. 3μm 的范圍內(nèi)；在齒根處，齒面偏差在 +2.8μm 到 +7.6μm 的范圍內(nèi)；正（負(fù)）號(hào)表示8字嚙合錐齒輪位于球面漸開線錐齒輪的內(nèi)（外）部。由圖7可知，8字嚙合錐齒輪的齒根處齒厚更大，能夠提高輪齒的彎曲強(qiáng)度。兩種錐齒輪其他部位的齒廓形狀非常接近。因此，用8字嚙合錐齒輪替代球面漸開線錐齒輪是可行的。

圖8為兩種錐齒輪最大齒面偏差隨模數(shù)和壓力角變化的曲線圖。由圖8可知，球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪間的最大齒面偏差隨著模數(shù)和壓力角的增大而增大，并且成線性關(guān)系。

本文根據(jù)SHEVELEVA等4的方法分析兩種齒輪副的齒面印痕。圖9所示為兩種錐齒輪副的齒面接觸分析結(jié)果。由圖9可知，兩種齒輪副均為線接觸且?guī)缀醺采w整個(gè)工作齒面。另外，兩者的幾何傳動(dòng)誤差都接近于0，未在文中列出。

圖10所示為借助有限元分析軟件Abaqus建立的直齒錐齒輪副分析模型。定義大、小輪彈性模量 E=2.06×10⁵MPa ；泊松比 μ=0.3 ；密度為 7.8× 10^-6kg/mm³ 。將大、小輪5對(duì)連續(xù)工作面分別設(shè)置為接觸對(duì)，小輪（主動(dòng)輪）的凹面為主面，大輪（從動(dòng)輪）的凸面為從面。采用罰函數(shù)接觸，計(jì)算方法采用Kinematic接觸。取大、小錐齒輪軸線上任一點(diǎn)為參考點(diǎn)，在輪齒內(nèi)圈和兩端剖面建立耦合約束。采用靜力學(xué)分析算法，設(shè)置多個(gè)分析步，設(shè)置嚙合力、接觸應(yīng)力、位移等場(chǎng)變量為輸出量。編寫.inp文件并進(jìn)行計(jì)算，提取數(shù)據(jù)文件，獲得齒根彎曲應(yīng)力曲線和齒面接觸應(yīng)力曲線。

圖11為8字嚙合錐齒輪齒根最大彎曲應(yīng)力隨切向量參數(shù)值 t₀ 和 t₁ 變化圖。由圖11可知，齒根最大彎曲應(yīng)力隨著切向量參數(shù) t₀ 和 t₁ 的增大而增大。

圖12和圖13分別為小輪輸入轉(zhuǎn)矩為800、1000、1200、 1400N?m 時(shí)，球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的比較圖。由于兩種直齒錐齒輪的過渡曲面插值時(shí)采用了相同的設(shè)計(jì)參數(shù) t₀ 和 t₁ ，因此，具有可比性。隨著輸入轉(zhuǎn)矩的增大，8字嚙合錐齒輪的小輪齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的值始終低于球面漸開線錐齒輪。小輪輸入轉(zhuǎn)矩為 1200N?m 時(shí)，球面漸開線錐齒輪發(fā)生了明顯的邊緣接觸，齒面接觸應(yīng)力的最大值急劇突變，而8字嚙合錐齒輪由于齒頂處的齒厚減薄，起到修形的作用，未發(fā)生邊緣接觸。當(dāng)小輪輸入轉(zhuǎn)矩為 1400N?m 時(shí)，8字嚙合錐齒輪也發(fā)生了邊緣接觸。

圖14為小輪輸入轉(zhuǎn)矩為 1400N?m 時(shí)，球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪的應(yīng)力云圖。可以明顯地看到，兩種錐齒輪都發(fā)生邊緣接觸。綜上所述，當(dāng)齒輪副參數(shù)和輸入轉(zhuǎn)矩相同時(shí)，8字嚙合錐齒輪具有更好的輪齒強(qiáng)度性能。

4結(jié)論

1）根據(jù)漸開線展成原理，推導(dǎo)球面漸開線方程，建立工作齒面的數(shù)學(xué)模型；采用Hermite插值法建立了齒根過渡曲面的數(shù)學(xué)模型，其權(quán)值越大，齒根過渡曲面越彎曲。2）利用坐標(biāo)變換和嚙合方程建立了冠狀產(chǎn)形輪的齒面模型，用平面冠狀產(chǎn)形輪代替空間冠狀產(chǎn)形輪，所獲得的8字嚙合錐齒輪與球面漸開線錐齒輪存在偏差，偏差值隨著壓力角和模數(shù)的增大而增大。3）8字嚙合直齒錐齒輪的齒根齒厚比球面漸開線錐齒輪有所增加，齒根彎曲強(qiáng)度提高了 6.24% 齒頂處有減薄效果，能夠有效地避免齒輪副齒頂邊緣接觸的過早發(fā)生。

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Comparative study on tooth surface model and strength of straight bevel gears

SU Jinzhan CAO Xinlong LIU Bin SUN Linlin GUO Fang （Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipmentof MOE，Chang'an University， Xi'an 710064，China）

Abstract：Objective]Inordertoverifytheadvantagesoftheoctoidalbevelgear inprocessingandmeshing performance， it wascompared withthespherical involute bevel gear.[Methods]Firstly，withthehelpofthespatial involutegenerationtheory andcoordinatetransformation，thetooth surfaceequationofthespherical involute bevelgearwasestablished，andthetooth surfacemodeloftheoctoidalbevelgearwasdevelopedbythecrown-gear.Secondlyacordingtotheconditionofcontinous tangencybetween thefiletsurfaceandboth theworkingtoothsurfaceandthetoothootsurface，the Hermite interpolation was usedto interpolate thetooth filetsurface.Finallythetooth surface deviation，toothsurface patterns andtoth strengthof two kindsofbevelgears wereanalyzedbyEase-offmethod，toothsurfacecontactanalysisandfiniteelementmethod.Results]The results oftheexample showthatthe working toth surface oftheoctoidalbevel gear processd bythe crown-gearis basically closetothe working toothsurfaceofte sphericalinvolutegear，butitbecomes thickernear thetooth filetandthinnernearthe tooth toe，the variationisapproximatelylinear withthemodulusand pressre angle，andbothofthemare linecontactforms.The finite element calculation results show that the bending strength of the tooth fillet is increased by 6.24% .Under light load，the edge contact of tooth toe is avoided.

KeyWords：Straight bevel gear; Octoidal meshing;Spherical involute; Bending stress; Contact stres：