從哥尼斯堡七橋問題談數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)模型思想

七橋問題是一個(gè)經(jīng)典的趣味數(shù)學(xué)問題，也是圖論和拓?fù)鋵W(xué)的本源問題。文章由七橋問題出發(fā)，分析其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)模型思想，并探究數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)模型思想在教學(xué)中的運(yùn)用策略。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)知識往往是最容易被遺忘的，但數(shù)學(xué)思想一經(jīng)掌握，就會形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，難以磨滅。哥尼斯堡七橋問題作為一個(gè)經(jīng)典的趣味數(shù)學(xué)問題，被廣泛收錄在小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)各學(xué)段教材中。其中的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想歷久彌新、引人入勝。探究七橋問題中的數(shù)學(xué)思想，有助于形成良好的思維品質(zhì)和理性精神。

1哥尼斯堡七橋問題的歷史沿革

18世紀(jì)，俄羅斯東普魯士的首府哥尼斯堡（今加里寧格勒）是一個(gè)風(fēng)景秀麗的城市，有一條河穿城而過，河中心有兩個(gè)小島，七座橋。居住在哥尼斯堡城中的市民經(jīng)常沿河過橋散步。當(dāng)時(shí)，散步的人們提出了這樣一個(gè)問題：能不能一次走過所有這些橋，而不重復(fù)不遺漏其中的任何一座呢？

有些人確信這是可能的，但也有另一些人反對，認(rèn)為這樣的路線是找不到的。尋找這樣滿足“既走遍七座橋，又不重復(fù)走過任何一座橋”的路線問題引起了許多人的興趣。有人一遍又一遍地沿河過橋，也有聰明一點(diǎn)的人認(rèn)為：問題挺簡單的呀，在紙上畫畫不就畫出來了？沒想到的是，不論是沿河過橋者，還是紙上畫畫者，他們嘗試了很多個(gè)方案都不成功，絞盡腦汁，就是無法找到答案。

七橋問題初看起來是一個(gè)線路問題，似乎用已有的幾何學(xué)知識就能解決，但事實(shí)上，當(dāng)時(shí)來往此處的居民始終沒能找到答案，最后有人把這個(gè)問題提到了大數(shù)學(xué)家歐拉那里。歐拉對這個(gè)問題進(jìn)行了完整的數(shù)學(xué)研究，并在1736年把研究結(jié)果寫成了一篇論文《論哥尼斯堡的七座橋》，提交給了圣彼得堡科學(xué)院。論文是這樣開頭的：“幾何學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域研究測量大小及方法，它在古代就被仔細(xì)研究過，在這個(gè)領(lǐng)域之外，萊布尼茨首先提出了被他稱之為‘位置幾何’的另一個(gè)領(lǐng)域。這一幾何學(xué)領(lǐng)域研究的是圖形各部分之間相對的分布次序，而不是它們的尺寸。不久之前我聽說了這個(gè)屬于‘位置幾何’的問題，現(xiàn)在我要用我發(fā)現(xiàn)的方法來解答?！边@一數(shù)學(xué)領(lǐng)域在現(xiàn)代被稱為“拓?fù)鋵W(xué)”。

歐拉對七橋問題進(jìn)行了深入思考，他意識到這是一個(gè)不同于歐氏幾何的全新幾何問題。他認(rèn)為七橋問題與小島的形狀、大小沒有關(guān)系，與河岸的形狀、長短沒有關(guān)系，與七座橋的形狀、大小也沒有關(guān)系，重要的是橋與橋、橋與河岸、橋與小島、小島與河岸的位置關(guān)系。于是，歐拉將原來的地圖抽象為了“點(diǎn)線圖”。他將兩個(gè)小島和兩岸抽象為4個(gè)點(diǎn)，將七座橋抽象為7條線，如圖1、圖2。通過抽象，既簡化了問題的條件，又突出了問題的本質(zhì)。

接下來，歐拉將不重復(fù)走遍七座橋的問題抽象為“一筆畫”問題?！耙还P畫”指的是在一個(gè)封閉圖形上，讓筆尖落到封閉圖形的某一位置，中途不能離開紙面，一筆畫出給定圖形，并且不能重復(fù)經(jīng)過圖形中的任何一條線。接著，歐拉對原問題建立了數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言重新敘述了七橋問題。即找到一個(gè)圖形是一筆畫的充要條件，并對是一筆畫的圖形，給出一筆畫的方法。

首先，歐拉對能夠一筆畫的圖形特征進(jìn)行了討論，能夠一筆畫的圖形必須是連通的。又將圖形上的點(diǎn)分成了兩類：有奇數(shù)條線相連的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，有偶數(shù)條線相連的點(diǎn)稱為偶點(diǎn)。歐拉發(fā)現(xiàn)，如果從某一點(diǎn)出發(fā)，中途經(jīng)過的點(diǎn)一定是有進(jìn)有出的偶數(shù)條線與其相連，即為偶點(diǎn)；如果起始點(diǎn)與終止點(diǎn)重合，這個(gè)點(diǎn)也必然有偶數(shù)條線與其相連，也為偶點(diǎn)。如果起始點(diǎn)與終止點(diǎn)是兩個(gè)點(diǎn)，那從起始點(diǎn)出發(fā)的線可以是只出不進(jìn)，回到終止點(diǎn)的線可以是只進(jìn)不出，這種情況下的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)即為奇點(diǎn)。

為了一筆畫成功，顯然圖中偶點(diǎn)要多一些才好。可以證明，無論圖形是什么樣子的，要么根本沒有奇點(diǎn)，要么有2個(gè)、4個(gè)、6個(gè)總之是偶數(shù)個(gè)奇點(diǎn)。如果圖形中沒有奇點(diǎn)，那么它總能被一筆畫出來，從任何地方開始畫都行。如果圖形中只有一對奇點(diǎn)，那么這個(gè)圖形以其中一個(gè)奇點(diǎn)為起始點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終止點(diǎn)，就能被一筆畫出來。如果圖形有超過一對的奇點(diǎn)數(shù)，那么它就完全不可能一筆畫出來。

最后，歐拉總結(jié)出連通的點(diǎn)線圖能夠一筆畫的重要條件是圖形中奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)要么0個(gè)，要么2個(gè)。經(jīng)過上述理論研究，歐拉完美地解決了七橋問題，從圖2可以直觀地辨別出圖中的4個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，這也意味著，哥尼斯堡的七座橋不可能不重復(fù)地一次性通過，即七橋問題是無解的，這是一個(gè)多么令人驚訝的結(jié)果！雖然看似找不到一次性走遍七座橋的路線很遺憾，但是問題的整個(gè)研究過程很有趣，并且得到了有關(guān)一筆畫的充要條件，為圖論和拓?fù)湔撨@兩大新興學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。

2七橋問題中的數(shù)學(xué)思想方法

回顧哥尼斯堡七橋問題的解決過程，歐拉成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)模型兩個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，通過數(shù)學(xué)抽象，將實(shí)際圖形抽象為四個(gè)點(diǎn)和七條線所構(gòu)成的直觀的點(diǎn)線圖；通過數(shù)學(xué)模型，將七橋問題轉(zhuǎn)化為一筆畫問題。在歐拉抽象的過程中可以看到，問題中的河流、橋、島、河岸都不是本質(zhì)的，去掉它們的物質(zhì)屬性，本質(zhì)的只有點(diǎn)、線及它們之間的位置關(guān)系。這樣，透過現(xiàn)象、抓住本質(zhì)，七橋問題迎刃而解。

數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)素材進(jìn)行加工，舍去被研究對象的個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，提煉出共同的本質(zhì)屬性，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)成數(shù)學(xué)理論的過程。數(shù)學(xué)抽象是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法和思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)中無處不在。任何一個(gè)數(shù)學(xué)符號、概念、法則、公式、性質(zhì)、定理等都離不開抽象思想；任何一個(gè)聯(lián)系實(shí)際的問題要用到任何的數(shù)學(xué)知識解決的過程都離不開抽象思想。

數(shù)學(xué)抽象思想很重要，數(shù)學(xué)抽象能力的高低決定了學(xué)生思維水平的深刻程度，甚至影響著一個(gè)人的智力水平。抽象思想是一般化的思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中隨處可見。例如，從數(shù)字的產(chǎn)生，結(jié)繩計(jì)數(shù)、石子計(jì)數(shù)到阿拉伯?dāng)?shù)字1，2，3的形成，從自然數(shù)集N擴(kuò)充到正有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集，從算術(shù)運(yùn)算發(fā)展到代數(shù)式運(yùn)算，從常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué)等等。數(shù)學(xué)抽象思想的作用猶如一盞明燈，為我們探秘神奇的數(shù)學(xué)世界指引了正確的方向。

只要有數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，就一定有數(shù)學(xué)抽象思想的存在。因此，從小學(xué)開始，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程必然也離不開數(shù)學(xué)抽象這一思想方法。根據(jù)小學(xué)生的心理、認(rèn)知特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)往往注重操作和直觀，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。但需要注意的是，操作和直觀只是教學(xué)的手段而非目的，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)適度地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，才能對發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)起到事半功倍的效果。史寧中教授把抽象分為簡約階段、符號階段和普適階段，這三個(gè)階段在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到的作用，是能夠讓學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的認(rèn)識從具體的實(shí)物到個(gè)別的具體的數(shù)學(xué)對象，再從特殊、直觀的認(rèn)知上升到一般、普適的認(rèn)識，這也就是完成數(shù)學(xué)抽象的過程。這個(gè)過程是長期的、反復(fù)的，在教學(xué)中我們可以嘗試抓住以下幾個(gè)方面。 ① 通過操作和直觀，用實(shí)物表達(dá)數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形的具體的概念、關(guān)系、結(jié)構(gòu)等； ② 用圖形表達(dá)數(shù)與形的直觀的概念、關(guān)系、規(guī)律等； ③ 用數(shù)學(xué)符號表達(dá)數(shù)與形的具體的概念、關(guān)系、結(jié)構(gòu)等； ④ 用數(shù)學(xué)語言和符號表達(dá)數(shù)與形的一般的概念、關(guān)系、規(guī)律等。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括、描述關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界事物和為某一特殊目的而作的一個(gè)抽象的、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型屬于數(shù)學(xué)的應(yīng)用，但與通常所說的數(shù)學(xué)應(yīng)用有著本質(zhì)的區(qū)別。這個(gè)區(qū)別可以從數(shù)學(xué)思想方面來看，數(shù)學(xué)模型也稱為一種數(shù)學(xué)思想，當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、原理和方法來解釋、描述和解決現(xiàn)實(shí)世界中的某類問題時(shí)，往往這類問題會蘊(yùn)含著某種事物發(fā)生的規(guī)律性。運(yùn)用模型思想的關(guān)鍵就在于把握現(xiàn)實(shí)世界中這類問題的本質(zhì)與規(guī)律。

數(shù)學(xué)模型并不是新的事物，自從有了數(shù)學(xué)，就有了數(shù)學(xué)模型。目前，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到了各個(gè)領(lǐng)域，在人們?nèi)粘Ｉ畹母鞣N活動中，無時(shí)無刻不留下數(shù)學(xué)模型的烙印，人人都會接觸到它。數(shù)學(xué)模型是連接數(shù)學(xué)與生活應(yīng)用之間的橋梁。數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)生活，建立數(shù)學(xué)模型的過程，就是將數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于實(shí)際問題的過程。通過從數(shù)學(xué)外部進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部，在數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)行推理、演算，再從數(shù)學(xué)內(nèi)部出來，指導(dǎo)外部生活實(shí)踐，這個(gè)過程，不僅是數(shù)學(xué)建模的過程，也是數(shù)學(xué)發(fā)展、創(chuàng)新的過程。著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾提出“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育”的觀點(diǎn)，他主張數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程，這其實(shí)和數(shù)學(xué)模型思想是一致的。只有這樣，學(xué)生才能體會到從現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)展數(shù)學(xué)是獲得再創(chuàng)造數(shù)學(xué)的絕好機(jī)會。在建立模型形成新的數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，更好地體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。因此，數(shù)學(xué)模型意識、模型觀念的培養(yǎng)需要將數(shù)學(xué)知識方法緊密地與現(xiàn)實(shí)世界的問題進(jìn)行聯(lián)系，經(jīng)歷“問題情境一建立模型一生活應(yīng)用”的活動過程，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的基本途徑。

3數(shù)學(xué)抽象思想與數(shù)學(xué)模型思想的運(yùn)用策略

近年來，數(shù)學(xué)教學(xué)越來越注重對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論研究及實(shí)踐研究，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對達(dá)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)是有很大裨益的。一方面，抽象、推理、模型等基本數(shù)學(xué)思想本身就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵指標(biāo)；另一方面，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)融合在數(shù)學(xué)知識、理論之中，通過長期的滲透和培養(yǎng)，也就形成了學(xué)習(xí)者的理性思維、辯證思想等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是很有必要的，下面從數(shù)學(xué)抽象思想和數(shù)學(xué)模型思想方面談一談在教學(xué)中的運(yùn)用策略。

3.1“化繁為簡一去外形、顯本質(zhì)”展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)化過程

在哥尼斯堡七橋中，人們嘗試了多種方法都找不到一次性走遍七座橋的路線。歐拉將這個(gè)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，拋開非本質(zhì)信息，抽象出本質(zhì)特征，并將其簡化為一筆畫問題。這種應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行數(shù)學(xué)化的方法為人們認(rèn)識世界提供了方法論上的指南。

近年來，新課程改革背景下，帶有現(xiàn)實(shí)信息的“情境類”問題在數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)試題中頻頻出現(xiàn)?！扒榫愁悺眴栴}是指以真實(shí)問題為背景，數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生于數(shù)學(xué)情境。解決“情境類”問題，數(shù)學(xué)抽象是一大利器，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象思想方法就能對情境進(jìn)行數(shù)學(xué)化，進(jìn)而對情境中的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行觀察、分析、比較、發(fā)現(xiàn)，形成數(shù)學(xué)問題，最后通過解決問題生成數(shù)學(xué)知識，獲得創(chuàng)造性數(shù)學(xué)成果。

以一個(gè)日常生活中的普通現(xiàn)象為例，一把四只腳的椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，如果稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。這是一個(gè)在日常生活中，特別是在土質(zhì)地面上放置一把椅子或是四腳凳時(shí)會碰到的問題。若是用數(shù)學(xué)的眼光看待這個(gè)問題，該如何進(jìn)行數(shù)學(xué)方式的解釋呢？首先，需要將這個(gè)實(shí)際現(xiàn)象中的椅子和地面做一些必要的假設(shè)，如椅子的四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形，地面高度是連續(xù)變化的、相對平坦的。即地面可視為連續(xù)曲面，椅子在任何位置至少有三條腿同時(shí)著地。這些假設(shè)是對椅子與地面的合理簡化，也為下一步建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了本質(zhì)的抽象。接下來，用數(shù)學(xué)語言表述椅子四只腳同時(shí)著地的條件和結(jié)論。假設(shè)椅子四腳的連線呈正方形，以中心為對稱點(diǎn)，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，再假設(shè)椅子繞中心旋轉(zhuǎn)角度為0，而椅子四只腳與地面有四個(gè)距離，椅子在不同位置時(shí)椅腳與地面的距離不同，這個(gè)距離是椅子位置變量0的函數(shù)。由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)就行了。即其中一對角與地面距離之和為j Ω^c（θ） ，另一對角與地面的距離之和為 g（θ）f（θ） ， g（θ）gt;0 。由于椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的，和中至少有一個(gè)為零。當(dāng) θ=0 時(shí)，不妨設(shè) g（θ）=0，f（θ）gt;0 ，而當(dāng)椅子旋轉(zhuǎn) 90^° 后，對角線互換，此時(shí) ， 。這樣，改變椅子位置要使椅子四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知 f（θ） 和g η（θ） 是0的連續(xù)函數(shù)，對任意的θ f（θ）?g（θ）=0 ，且 ， f（θ）gt;0 ， 。證明存在 ，使得 g（θ₀）=f（θ₀）=0 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，容易證明，必存在這樣的 θ₀ ，使得 ?_y（θ₀）=f（θ₀）=0 。即椅子能在不平的地面上四腳著地、放穩(wěn)。

這個(gè)生活現(xiàn)象與七橋問題有著異曲同工之妙，都有著具體的生活“情境”?？此婆c數(shù)學(xué)無關(guān)，卻最終都用數(shù)學(xué)抽象概括出數(shù)學(xué)信息，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象思想“去外形，顯本質(zhì)”的數(shù)學(xué)化魅力。

3.2“化具體為抽象”展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的一般化優(yōu)勢

面對七橋問題，歐拉不僅將其簡化為一筆畫問題，還進(jìn)一步探求了一筆畫的充要條件，為圖論和拓?fù)鋵W(xué)奠定了基礎(chǔ)。正是通過拋開復(fù)雜的具體問題，再應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象后問題的一般化解法，開創(chuàng)了新的學(xué)科領(lǐng)域。七橋問題原初只是一個(gè)游戲，歐拉把七橋地圖抽象成用7條曲線與4個(gè)點(diǎn)連接的點(diǎn)線圖，把圖看成由彈性很好的橡皮繩結(jié)成的網(wǎng)。點(diǎn)的位置與曲線的長短無關(guān)，每一條邊可以任意收縮，也可以任意曲直變形，只考慮圖形中的點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)及位置關(guān)系，這恰是后期被稱為拓?fù)鋵W(xué)的這門重要數(shù)學(xué)學(xué)科的核心思想方法。這就是數(shù)學(xué)抽象的一般化優(yōu)勢，讓七橋問題催生了圖論和拓?fù)鋵W(xué)的誕生，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活。

例如，每個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最初都離不開數(shù)數(shù)，如1，2，3……那這些被廣泛使用的自然數(shù)又是如何產(chǎn)生的呢？其實(shí)就產(chǎn)生于人們在實(shí)際生活情境中對事物數(shù)量的抽象。在古希臘著名的《荷馬史詩》中，有一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的故事。一位眼睛被刺瞎的牧羊老人每天坐在山洞口照料他的羊群。因?yàn)檠劬床灰?，他只能通過耳朵聽羊群的走動。每天早晨，老人都會預(yù)先準(zhǔn)備好一堆小石子，然后打開羊圈，放羊群出去吃草。當(dāng)他聽到出來了一只羊后，他就從那堆石子中撿起一顆石子。到了晚上，羊群從外面返回羊圈，老人拿著早晨撿起的石子，聽著每一只進(jìn)洞的羊，每進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子剛好扔光時(shí)，他就知道所有的羊都返回了山洞。多么明智的辦法，根本不用計(jì)算羊的數(shù)量，只需要把羊的只數(shù)與石子的顆數(shù)一一對應(yīng)起來，就能知道羊群是否全都返回山洞了。將每一只羊?qū)?yīng)到每一顆石子上的辦法，在數(shù)學(xué)上指的就是“對應(yīng)關(guān)系”，這就是數(shù)學(xué)抽象。也可以把羊換為牛、雞、蘋果等其他事物，都不影響將其抽象為石子。更進(jìn)一步，抽象為數(shù)字1，2，3只要這些事物的數(shù)量與石子的數(shù)量是一樣多的，那么石子就是連接事物數(shù)量與自然數(shù)對應(yīng)關(guān)系之間的橋梁。這樣的表達(dá)方式是具有一般性的，這樣的思想可以應(yīng)用到數(shù)量的“多與少”對應(yīng)于數(shù)的“大與小”。例如“5個(gè)蘋果”與“3個(gè)梨子”之間進(jìn)行一一對應(yīng)，多出了“2個(gè)蘋果”，在數(shù)學(xué)算式上就抽象出： 5gt;3 。當(dāng)然，更為重要的是，數(shù)學(xué)抽象為人們定義自然數(shù)提供了公理化的方法。

3.3“問題情境一建立模型一生活應(yīng)用”展現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的獨(dú)特性

數(shù)學(xué)是一種模型的科學(xué)，建模是構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活應(yīng)用之間的橋梁。歐拉解決七橋問題的獨(dú)特之處就是把七橋問題抽象成了一筆畫這個(gè)“數(shù)學(xué)模型”。他沒有用深奧的幾何理論去思考七橋問題，反而想到的是將一筆畫圖形建立成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，由此，七橋問題的成果極為顯著，結(jié)論也具有普遍性，能應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域。數(shù)學(xué)模型在日常生活、生產(chǎn)乃至科學(xué)研究上都有著重要的作用，它的魅力無處不在。在小學(xué)階段，加法模型、乘法模型、植樹問題、行程問題等無一不是數(shù)學(xué)模型。在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)課本中諸多概念、公式、定律、公理，特別是用圖、表描述數(shù)量之間的關(guān)系，都是直觀的、形象化的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型有著其他手段不可替代的作用。在大學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型更是作為一門課程有著完善、詳盡的知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型既是一種思想，也是一種方法，在很大程度上決定了實(shí)際問題最終能否被解決。

基于“問題情境一建立模型一生活應(yīng)用”這一主線，在教學(xué)活動中，非常有必要為學(xué)生提供一個(gè)完整、真實(shí)的問題背景。這樣，在教學(xué)活動中，學(xué)生就會極易產(chǎn)生濃厚的興趣，形成學(xué)習(xí)的動力。同時(shí)問題情境往往具有鮮明的外部特征，能夠刺激學(xué)生的視覺感官，從而激發(fā)學(xué)生多感官參與到教學(xué)活動中來。比如學(xué)習(xí)小組成員間的互動、交流，形成了可持續(xù)的合作學(xué)習(xí)，反過來合作學(xué)習(xí)又能促進(jìn)個(gè)體的自主學(xué)習(xí)。問題情境應(yīng)蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識和生產(chǎn)生活兩種背景，學(xué)習(xí)知識與真實(shí)生活情境必須相融合，不能處于分離或勉強(qiáng)合成的狀態(tài)。例如前文提到的椅子放穩(wěn)問題，學(xué)生能夠在生活中直觀看到這一情景，通過自主操作感受到椅子挪動前后的狀態(tài)，觀察到?jīng)]放穩(wěn)和放穩(wěn)后椅腳與地面的變化，思考現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)信息。在進(jìn)一步探究建模的過程中，就能提出模型的假設(shè)，建立模型，此時(shí)多種求解的方法也能孕育而出?？赡艿玫降慕Y(jié)果會因人而異，有所不同，這就需要再次建模，讓結(jié)論在多次反復(fù)中得到或修正。這個(gè)過程可概括為：問題情境→一次建?！忉?、評價(jià)模型→二次建模 $$ 修正結(jié)果、模型檢驗(yàn)→拓展應(yīng)用。探究建模往往不是一次建模就能完成的，學(xué)生在一次建模時(shí)提出的數(shù)學(xué)問題并不是一步到位的，這就需要經(jīng)過二次建模、再次建模，或更多次建模，在這個(gè)過程中，教師須進(jìn)行有機(jī)引導(dǎo)，可以針對情境“以問引問”，層層剖析，使情境與數(shù)學(xué)問題有機(jī)地整合起來；也可以合作學(xué)習(xí)，進(jìn)行小組討論，討論的結(jié)果可以使模型中各個(gè)變量的屬性越發(fā)清晰。直到逐漸完善模型，找到正確的解決方法，得到優(yōu)秀的模型結(jié)果，最終形成數(shù)學(xué)知識、思想和方法，獲得新的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。所以說，好的建模過程常常帶有藝術(shù)品的特點(diǎn)，可以被別人品味和欣賞。

4結(jié)語

雖然哥尼斯堡七橋問題的解決策略早已廣為人知，但結(jié)論背后的數(shù)學(xué)思想方法卻并不唯一，也不像表面上看起來那么簡單。探尋數(shù)學(xué)名題背后的歷史沿革、經(jīng)歷數(shù)學(xué)家證明結(jié)論的嘗試過程、挖掘問題解決所需的數(shù)學(xué)思想方法，不僅能夠拓寬學(xué)生的學(xué)科視野，還能使學(xué)生的思維在與歷史名題、趣題的碰撞中摩擦出對數(shù)學(xué)積極求知的火花，具有較強(qiáng)的教育價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有利于建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀，落實(shí)新課程理念，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

基金項(xiàng)目：2023年度云南師范大學(xué)本科課程思政建設(shè)項(xiàng)目“2023年課程思政建設(shè)—小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法”，項(xiàng)目編號：02000205020502038。

（作者單位：云南師范大學(xué)職業(yè)技術(shù)教育學(xué)院）