淺談高考數(shù)學選擇題命制中提高考查信度的重要性

1考題分析

（2019全國高考 I 卷第4題）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是 618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 （20.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為 105cm ，頭頂至脖子下端的長度為 26cm ，則其身高可能是.

A. 165cm B. 175cm （204號 C. 185cm D. 190cm

最近周練，筆者就把這道題讓所教班級學生做，全班52名學生，有21名學生選擇正確，其中學號1-10 號有5人正確，學號 11-20 號有6人正確，學號21一30號有5人正確，學號 31-40 號有3人正確，學號41一52號有2人正確，正確率雖與學生能力有關聯(lián)，但關聯(lián)度不高.通過對這些選擇正確的學生進行調查了解到，只有10名學生的解題思路正確，另有11名學生表示是“蒙的”，認為蒙對的正確率近似 25% .就筆者的調查了解以及個人的認知，這道題的考查信度不高.

2信度分析

作為標準化考試的單項選擇題，其設計應當確保不同能力水平考生的得分呈現(xiàn)合理的區(qū)分度：優(yōu)秀考生正確率應保持較高水平，即使存在知識盲區(qū)，其隨機猜測的正確概率也相對較高；中等考生正確率需呈現(xiàn)適度梯度；基礎薄弱考生雖難以完全規(guī)避隨機猜對可能，但其正確率應顯著低于前兩類考生.這種符合能力遞進規(guī)律的區(qū)分效度，既是保證試題信度的關鍵指標，也是滿足高考人才選拔功能的基本要求.

這道考題能把死記硬背的考生“打蒙”，他們只能根據(jù)腿長 105cm 隨便選個答案.對于能夠理解題意并能轉化為線段比例關系的考生，他們可能會遇到以下困難：首先，在用條件“頭頂至脖子下端的長度為 26cm^′′ 求身高時，存在條件表述相對復雜且界定模糊的問題，特別是容易與“頭頂至咽喉的長度”的概念產(chǎn)生混淆；其次，雖然“腿長為 105cm ”這一條件的運用相對直觀，但考生仍可能對“腿長”與解剖學標準“肚臍至足底的長度”的對應關系產(chǎn)生認知偏差

通過查閱相關資料可知，腿長有狹義的腿長和廣義的腿長之分.解剖學、人體測量學上嚴格定義的腿長學名全腿長，是狹義的腿長.真正的腿長包括股骨與脛骨的長度，是指下肢除去足以外的長度…實際工作中通常使用一些更易測量的數(shù)據(jù)表示腿長，即廣義的腿長，從大到小依次為髂嵴高、臍高、髂后上棘高、髂前上棘點高、大轉子點高、恥骨聯(lián)合高、會陰高、身高減坐高、臀溝高筆者認為，該試題設計存在顯著缺陷：要求考生依據(jù)“腿長 105cm^? 準確推算“肚臍至足底的長度\"的測量學轉化過程具有較高難度閾值.實測數(shù)據(jù)表明，當推算誤差在超過5cm 時，將導致最終身高估算值產(chǎn)生 8cm 以上的偏差，從而造成正確選項的誤判.這種考查方式可能產(chǎn)生嚴重的效度問題一完全不具備相關能力的考生可能通過隨機猜測獲得正確答案，而真正掌握解題方法的考生卻可能因細微誤差而失分.作為選拔考試，高考命題必須杜絕此類有損測試信度與效度的現(xiàn)象發(fā)生.

從命題專業(yè)角度考量，本題可進行如下優(yōu)化改進：直接采用解剖學標準數(shù)據(jù)，明確給出“肚臍至足底長度\"和“頭頂至咽喉長度”的精確測量值，并將選項設置控制在更接近的數(shù)值區(qū)間.這種設計能有效提升試題的區(qū)分效度一一既增加隨機猜測的難度，又能確保真正掌握數(shù)量關系分析能力的考生準確作答.若確實難以選取符合“運用高中數(shù)學知識解決歷史文化或現(xiàn)實問題”要求的素材，建議將試題改編為以下考查形式.

古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是 .618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯\"便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的且 （20長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 .若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且肚臍至足底的長度為 105cm ，頭頂至咽喉的長度為 25cm ，則其身高最接近.

A. 170cm （204號 B. 175cm

C. 180cm （204 D. 185cm

改編能過優(yōu)化設計有效避免了原題的爭議性：能理解題意并能轉化為線段關系的考生，則能準確得到答案A；而那些不能理解題意或不能將問題轉化為線段關系的考生，只能靠“蒙”.由于選項中的身高值很接近，僅憑“肚臍至足底的長度為 105cm^′ 的直觀感受容易產(chǎn)生判斷誤差，這種設計顯著提高了考查的區(qū)分效度.這道改編題，難度有所降低，可作為選擇題的第4、5題.如果把這道改編題為中考題，可能比高考題更有意義.

3案例分析

基于上述分析，該選擇題的考查形式并非不可采用，但必須嚴格遵循以下命題原則：首先，應充分考慮全體考生的認知水平和解題能力分布，確保試題具有良好的信度指標；其次，必須杜絕“高能力考生易錯而低能力考生可能猜對\"的反?，F(xiàn)象.特別需要強調的是，由于選擇題的正確答案包含在選項中，命題者更需著重關注試題的以下信度要素： ① 選項設置的干擾性強度； ② 解題過程的確定性程度； ③ 能力考查的區(qū)分效度.接下來將再列舉一些具體的實例來說明關注選擇題命題的合理性、提高其考查信度的重要性.

3.1不混淆選擇題與填空題

例1已知圓 c 及其內一點 P ，動圓 M 過點 P 且與圓 C 相切，則圓心 M 的軌跡為.

A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓或橢圓

分析：一般情況下，考生作圖時，不會考慮點 P 與點 C 重合的情況，這時他們得到圓心 M 的軌跡為橢圓，由于選項D的原因，他們就要思考，會不會存在點 P 的特殊位置，使得圓心 M 的軌跡為圓，只要注意到點 P 與點 C 重合時的情況，即能選擇正確答案D.

這道選擇題有一定的信度，區(qū)分了考慮問題嚴謹與不嚴謹?shù)目忌?但如果把這道題改為填空題，由于解題難度陡增，可能導致信度指標顯著下降.通常情況下，填空題和解答題需要考生有完全的解題能力（部分填空題也可用特殊方法解決），而選擇題不一定需要考生有完全的解題能力.尤其是較難的選擇題，有一個重要的考查目的，那就是考查考生甄別真假的能力.因此，命題者在命題時應當避免選擇題與填空題的簡單機械轉換，而需要基于考生的實際情況，提高試題考查信度.當然，也有不少數(shù)學問題，作為選擇題或填空題考查，都有較高的考查信度.

例2設函數(shù) f（x） 的定義域為R，滿足 f（x+ _{1）=2f（x）} ，且當 x∈（0，1] 時， f（x）=x（x-1） .若對任意 x∈（-∞，m] ，都有 則 Ψ_m 的取值范圍是（ ）.

A. B.

c.（1∞，] D.

分析：這是2019年全國高考 I 卷第12題，解題的關鍵是考生要理解條件“ f（x+1）=2f（x） ，只要能作出區(qū)間（1，2]，（2，3]上的圖象，即可知 為準確選出選項，最好還是求出區(qū)間（2，3]上的解析式 f（x）=4（x-2）（x-3） ，只需計算 的值，即可確定選B.

這道題難度不大，作為選擇題或填空題考查，都有較高的信度.絕大多數(shù)考生能夠理解 f（x+1）= 2f（x）^; ”.無論是選擇題還是填空題，都需要作出大致圖象，也都要求出區(qū)間（2，3]上的解析式.所不同的是，填空題要通過解方程 f（x）=4（x-2）（x-1） 來確定答案，速度相對慢點.筆者認為像例2這類難度適中的數(shù)學問題，考生能夠運用基本數(shù)學知識方法解決，運算量也不復雜，不包含易錯點或特殊注意事項，作為選擇題與填空題考查，沒有太大區(qū)別.

3.2發(fā)揮選擇題的甄別功能

例3數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線 C：x²+y²=1+∣x∣y 就是其中之一（如圖1）.給出下列三個結論： ① 曲線 c 恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）； ② 曲線 c 上任意一點到原點的距離都不超過 ③ 曲線 C 所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結論的序號是.

A ① （204號 B. ② C. ①② D. ①②③

分析：例3是2019年北京卷第8題，其方程所對應的曲線對于考生是陌生的.若要求考生直接求解相關結論有難度，不適宜用填空題考查學生.給出一些結論，讓考生運用所學知識判斷真假，確是一個很好的命題方向.對于 ① ，根據(jù)曲線關于 軸對稱，考生只要對 x 賦值，并求 y 的值，即能判斷命題的真假；對于 ② ，考生只要研究 x?0 時曲線 c 上任意一點到原點的距離，由x2+y2=1+xy≤1+2+y2 可判斷真假；對于 ③ ，考生可以求出曲線上一些特殊的點，以這些特殊點圍成的多邊形面積與曲線的面積進行比較，從而判斷真假.

例3中3個結論的真假判斷難度逐步上升：能力低的考生難以準確判斷結論 ① ，故而極易選錯；能力較強的考生能準確判斷3個結論的正誤，能夠選出答案；能力一般的考生，會判斷其中1個或2個結論.筆者認為，該題不僅考查了學生用所學知識解決陌生問題的能力，同時又有很好的區(qū)分度，是一道信度很高的高考題.當然，也不是只有這類命題真假判斷的選擇題才有區(qū)分度和信度.

3.3慎重選擇壓軸題的命題

例4已知三棱錐 P -ABC的四個頂點在球 O 的球面上， PA=PB=PC ΔABC 是邊長為2的正三角形， E，F(xiàn) 分別是 PA，AB 的中點， ∠CEF=90^° ，則球 O 的體積為（ ）.

A. （204 B. （204 C. （20 D.

分析：這是一道有一定難度的考題，也是2019年高考試卷的最后一道選擇題.考生先要由條件推理出PA，PB，PC 互相垂直，這一推理過程本就不易；然后若能構造正方體求球 O 的體積，則運算簡單，否則，需要作輔助線求球 O 的半徑，運算量較大.該題難度雖然不是很大，但也只有少數(shù)考生能選對.可能會出現(xiàn)一些數(shù)學基礎較好的考生，花費大量時間還選錯的情況；還會出現(xiàn)基礎較弱的考生，完全不做而“蒙\"對的情況筆者認為，這道題區(qū)分度不大，而且信度不高，

筆者認為，可以將該題直接改編為填空題考查，雖然這種形式的區(qū)分度有限，但比選擇題考查的信度高.不完全會做的考生得不到答案，那些思維、運算能力強的少數(shù)考生能夠完成.作為高考壓軸填空題，能夠把那些學優(yōu)生區(qū)分出來，有一定信度.

若還要以選擇題考查，可將其改編為例3的形式，給出四個命題，讓考生判斷.筆者將其改編為以下形式.

已知三棱錐 P -ABC的四個頂點在球 O 的球面上， PA=PB=PC 新 ΔABC 是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn) 分別是 PA，AB 的中點， ∠CEF=90^° .給出下列4個結論： ① 三棱錐 P -ABC是正四面體； ②PA⊥ PC ③ 三棱錐 P//BC 的體積為 3；④三棱錐P -ABC外接球的體積為

其中，所有正確結論的序號是（ ）.

A. ①③ B. ②③ （20 C. ②④ D. ②③④

改編題相對于原題，難度有所降低，給考生明確的思考方向，即要先推理判斷 PA，PB，PC 的夾角關系.能正確推理的考生，發(fā)現(xiàn) PA，PB，PC 互相垂直，可排除選項A，并能迅速求出三棱錐 P -ABC的體積的確是 ，又可排除選項C.排除AC后，還要求外接球的體積.相對原題，正確率有不少提高，一些會判斷前3個命題而不會判斷最后一個命題的考生，容易選對，既提高了區(qū)分度，又提高了信度.

例5已知平面四邊形ABCD滿足 AB²- AD²=5 ， BC=3 ： ，則 CD 的長為（ ）.

A.2

分析：該題也是某試卷的最后一道壓軸選擇題，難度不小.雖然該題的解題方向明確，主要是基底法與坐標法，但這兩個方法在具體處理時，都有較大的難度.用基底法轉化向量時， 與 很難對稱地轉化為邊長；用坐標法時，由于四邊形長度的不確定性，考生不敢動手做.顯然，作為選擇題根本不適宜，考生只能靠運氣，既無區(qū)分度，也無信度.甚至作為填空題也不適宜，只有極少數(shù)數(shù)學高手（或者所在班級講過類似問題的考生）能做，區(qū)分度太低.當然，它可作為競賽考試的填空題.

筆者覺得，要提高選擇題的信度，要讓大多數(shù)考生能做，解題要有路可循，不能僅僅依靠“蒙”考慮到是選擇題，不宜給考生過大的運算量，這道題的命題還是避開坐標法為宜.筆者將其改編為下題.

例6已知平面四邊形ABCD滿足 ： ，則 的值為（ ）.

A.0 B.1 C.-3 D.-2

改編題難度有所下降，考生難以轉化 與 也很難運用坐標法，但能變換角度得到AB-AD= 與 ，只要將兩式試著相加或相減，即能發(fā)現(xiàn)與 的關系.很顯然，對于這道改編選擇題，分析能力差、向量運算能力弱的考生，仍然束手無策，但相對原選擇題，區(qū)分度和信度明顯提高.

4結語

一道好題，往往不一定等于一道好的考題.命制的考題不能讓大多數(shù)考生完全不會而去“蒙”，也不能讓一些中等生陷于運算，要讓絕大多數(shù)考生有思路做下去；題目靈活，但難度不大，要讓不同能力的考生做出差異.教師要思考如何用試題達到引導學生學習、訓練學生思維能力的目的，從學生應該有的能力方面去思考題目的考查目標，而不是刻意加大難度、設置陷阱，這才是正確的導向，才能促進學生更快、更好地發(fā)展.

2020年，教育部考試中心發(fā)布《中國高考評價體系》，意味著評價體系成了命題和考試的實踐指南，充分體現(xiàn)了高考數(shù)學的科學選拔和育人導向的雙重作用，可以更好地體現(xiàn)區(qū)分選拔功能.選擇題是高考數(shù)學考查的常規(guī)題型.選擇題命制如果具有良好的信度，特別是引導學生更加注重思維的靈活性及策略選擇，將對數(shù)學教與學具有導向作用.它能使數(shù)學教學更具針對性，使學習目標更明確，對數(shù)學理解能力、數(shù)學探究能力的考查能夠起到積極的作用.